高中数学第二节证明不等式的基本方法数学归纳法证明不等式课时提升作业新人教A版选修

1、【全程复习方略】（福建专用）2022 版高中数学 数学归纳法证明不等式课时提升作业1.已知 a1,求证 : a1aaa1.11. zxyz12.已知 x,y,z 均为正数 ,求证 :yzzxxyxy3.已知 a2,求证 :logaa-10, 其中 r 为有理数 ,且 0r0,求证 :3a3+2b33a2b+2ab2. 6.已知 a,b,c0,且互不相等 ,abc=1,证明abc2111.abc7.已知 ab0,求证 : ab2a2babab.8a8b8.2022 无锡模拟 设 a,b,c 是不全相等的正实数. 求证 :lga2blgb2clgc2algalgblgc.59.已知 a,b,cR,

2、fx=ax2+bx+c. 如 a+c=0,fx 在-1,1 上最大值为2,最小值为 -2 , b求证 :a 0 且| a |Tn. 答案解析满意 a1=2,an-1=anan+1-1,bn=an-1, 数列 bn 的前 n 项和为 Sn. 1.【证明】方法一:a1aaa1a1aaa1a 1,1a11a1a1aaa1,a-10,且 a-1a+1, a 1 a 1, a 1 a 1 0, a 1 a a a 12,a-11. logaa-10,loga+1a0. logaa1logaa1logaa12=log a2 a12, 由于loga 1a=logaa-1 logaa+122logaa212l

3、og a22=1, 即logaa1loga 1a2,0logaa2-10, logaa-1loga+1a. 4.【解析】 1f x=r-rxr-1=r1-xr-1, 令 fx=0, 解得 x=1. 当 0 x1 时,fx1 时,fx0, 所以 fx 在1,+内是增函数 . 故函数 fx 在 x=1 处取得最小值f1=0. 2由1知 ,当 x0,+时 ,有 fx f1=0, 即 xrrx+1-r.如 a1,a2 中至少有一个为0,就b a ab2a1b1+a2b2 成立 ; 2如 a1,a2 均不为 0,又 b1+b2=1,可得 b2=1-b1,于是在中令x=a 1,r=b1,可得a 11bb1

4、a 1+1-b1, b a ab2a1b1+a2b2.a2a2a 2即b a a1 b 12a1b1+a21-b1,亦即b a ab 22a1b1+a2b2. 综上 ,对 a10,a20,b1,b2 为正有理数且b1+b2=1,总有232 中命题的推广形式为: 设 a1,a2, ,an 为非负实数 ,b1,b2, ,bn 为正有理数 . 如 b1+b2+ +bn=1, 就b a ab 22ab nna1b1+a2b2+ +anbn.用数学归纳法证明如下: 当 n=1 时,b1=1,有 a1a1,成立 . 假设当 n=k 时,成立 ,即如 a1,a2, ,ak 为非负实数 ,b1,b2, ,bk

5、 为正有理数 ,且 b1+b2+ +bk=1, 就b a ab 22ab kka1b1+a2b2+ +akbk. 当 n=k+1 时,已知 a1,a2, , ak,ak+1 为非负实数 ,b1,b2, ,bk,bk+1 为正有理数 , 且 b1+b2+ +bk+bk+1=1, 此时 0bk+10, 于是b ba a 22b a ab k 1k 1=b a ab2abkab k 1k 1b2b ka11b 1k 12kb 1b2bk=1 b a 1k 11 b a 2k 11 b a kk 11 b k 1a bk 1k 1,因1b 1k 11b2k 11bkk 11,由归纳假设可得b 1bbb

6、1 b a 1k 1a 1 b2k 11 b a kk 1bb2bka b 1a b 2a bk+a21bk 1+ +ak1bk 1=1bk 1, 从而b ba a 22b a abk 1a b1a b 2bk 1a bk1 bk 1ab k 1k 1.1k 1又因 1-bk+1+bk+1=1, 由得a b1a b2k 1a b k1 b k 1ab k 1k 1a b1a b2bk 1a bk1-bk+1+ak+1bk+1, 1b1从而b ba a 22ab k 1k 1a1b1+a2b2+ +akbk+ak+1bk+1. 故当 n=k+1 时,成立 , 由可知 ,对一切正整数 n,所推广的

7、命题成立 . 说明 :3 中假如推广中指出式对 n2 成立 ,就后续证明中不需讨 论 n=1 的情形 . 5.【证明】 3a3+2b3-3a2b+2ab2=3a2a-b+2b2b-a=3a2-2b2a-b. 由于 ab0,故 a-b0,3a2-2b22a2-2b2=2a+ba-b 0, 所以 3a2-2b2a-b 0,即 3a3+2b33a2b+2ab2. 6.【证明】方法一:a,b,c0,且互不相等 ,abc=1. 121121111.111121abcbcacabbcacababc即abc111.abc11212 c,方法二 :abab11211 2 a,c1212 b,bcbcaac11

8、1abc.以上三式相加 ,得abc又 a,b,c 互不相等 ,等号不成立 , 即abc111.2,abc7.【证明】要证原不等式组成立, 只需证ab2a+b-2 abab4a4b即证ab2ab2ab2,2 a2 b只需证ababab,2 a2 b即证ab1ab,2 a2 bbaba即a 1b ,只需证a 1b0,a 1lga+lgb+lgc, ab bc caca0,只需证 :lg222lgabc, ab bc ca只需证 :222abc. a2bab0,b2cbc0,c2aab bc ca. 222 abc0 成立 . a,b,c 为不全相等的正数,上式中等号不成立 原不等式成立 . 方法二

9、 : a,b,c正实数 , a2bab0,b2cbc0,c2aca0,又 a,b,c 为不全相等的实数, ab bc ca222abc, ab bc calg222lgabc, 即lga2blgb2clgc2alga+lgb+lgc. 9.【证明】由a+c=0 得 c=-a, fx=ax2+bx-a. b假设 a=0 或| a |2. 1由 a=0,得 fx=bx, 依题意知 b 0,又 fx 在-1,1 上是单调函数 , fx 的最大值为 |b|,最小值为 -|b|. 5于是 |b|=2,-|b|=-2 ,明显冲突 ,故 a 0. 2由|bba |2,得|-2a |1 且 a 0, 因 fx 在-1,1 上单 调,故其最大值为 |b|,最小值为