高中数学必修+选修全部知识点精华归纳总结

1、精选文档高中数学必修 + 选修学问点归纳新课标人教 A 版复习寄语：引言1.课程内容：必修课程 由 5 个模块组成：必修 1：集合、函数概念与基本初等函数（指、. 精选文档对、幂函数）必修 2：立体几何初步、平面解析几何初步；必修 3：算法初步、统计、概率；必修 4：基本初等函数（三角函数） 、平面对量、三角恒等变换；必修 5：解三角形、数列、不等式；以上是每一个高中同学所必需学习的；上述内容掩盖了高中阶段传统的数学基础学问和基本技能的主要部分,其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等；不同的是在保证打 好基础的同时, 进一步强调了这些学问的发生、进展过程和

2、实际应用,而不在技巧与难度上做过高的要求；此外,基础内容仍增加了向量、算法、概率、统计等内容；选修课程 有 4 个系列：系列 1：由 2 个模块组成；选修 11：常用规律用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用；选修 12：统计案例、推理与证明、数系的扩 充与复数、框图系列 2：由 3 个模块组成；选修 21：常用规律用语、圆锥曲线与方程、空间向量与立体几何；选修 22：导数及其应用,推理与证明、数系 的扩充与复数选修 23：计数原理、随机变量及其分布列,统计案例；系列 3：由 6 个专题组成；选修 31：数学史选讲；选修 32：信息安全与密码；选修 33：球面上的几何；选修 34：对称与群；选修

3、35：欧拉公式与闭曲面分类；选修 36：三等分角与数域扩充；系列 4：由 10个专题组成；选修 41：几何证明选讲；选修 42：矩阵与变换；选修 43：数列与差分；. 精选文档概率与统计：概率、分布列、期望、方差、抽样、正态分布 导数：导数的概念、求导、导数的应用 复数：复数的概念与运算必修 1 数学学问点第一章：集合与函数概念 1.1.1、集合 1、 把争论的对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫做集合；集合三要素：确定性、互异性、无 序性；2、 只要构成两个集合的元素是一样的,就称这两个集合相等；全一样,就称这两个函数相等. 1.2.2、函数的表示法1、 函数的三种表示方法：解析法、图象法

4、、列表法. 1.3.1、单调性与最大（小）值 1、留意函数单调性的证明方法：1定义法： 设x 、x 2a,b ,x 1x2那么fx1fx 20fx 在a,b 上是增函数；fx1fx 20fx在 a ,b 上是减函数 .步骤：取值作差变形定号判定格 式 ： 解 ： 设x 1,x2a,b且x1x 2, 就 ：fx1fx2= 2导数法： 设函数yfx在某个区间内可导,如fx0,就fx为增函数；3、 常见集合：正整数集合：N*或 N,整数集合：如fx0,就fx为减函数 .Z ,有理数集合：Q ,实数集合：R . 1.3.2、奇偶性1、 一般地,假如对于函数fx的定义域内任意一个4、集合的表示方法：列举

5、法、描述法. 1.1.2、集合间的基本关系x ,都有fxfx,那么就称函数fx为1、 一般地,对于两个集合A、B,假如集合 A 中任意偶函数 .偶函数图象关于y 轴对称 .一个元素都是集合B 中的元素,就称集合A 是集合 B 的子集；记作AB.2、 假如集合AB,但存在元素xB,且xA,2、 一般地,假如对于函数fx的定义域内任意一个就称集合 A 是集合 B 的真子集 .记作： AB.3、 把不含任何元素的集合叫做空集.记作：.并规定：x ,都有fxfx,那么就称函数fx为空集合是任何集合的子集.奇函数 .奇函数图象关于原点对称.4、 假如集合 A 中含有 n 个元素, 就集合 A 有n 2

6、个子学问链接：函数与导数集, 2n1个真子集 .1、函数yfx在点0 x 处的导数的几何意义： 1.1.3、集合间的基本运算函数yfx在点x 处的导数是曲线yfx在1、 一般地,由全部属于集合A 或集合 B 的元素组成Px0,fx0处的切线的斜率fx0,相应的切线方的集合,称为集合A 与 B 的并集 .记作：AB.程是yy0fx0 xx0.2、 一般地,由属于集合A 且属于集合B 的全部元素2、几种常见函数的导数组成的集合,称为A 与 B 的交集 .记作：AB.C0 ；xnnxn1；3、全集、补集？C Ax xU,且xU 1.2.1、函数的概念 1、 设 A、B 是非空的数集, 假如依据某种确

7、定的对应sinxcosx； cosxsinx；axaxlna；exex；关系 f ,使对于集合A 中的任意一个数x ,在集合 B 中都有惟一确定的数fx和它对应, 那么就logaxx1a；lnx1称f :AB为集合 A 到集合 B 的一个函数, 记lnx作：yfx,xA.3、导数的运算法就2、 一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值 域 .假如两个函数的定义域相同,并且对应关系完（1）uvu v . （2）uv u v uv . . 精选文档（3）u v u vv2uvv0.3、 我们规定：；.1anmanm4、复合函数求导法就复合函数yf g x 的导数和函数a0,m ,nN* m1y

8、f u u g x 的导数间的关系为 y x y u u x,即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的an1n0；anQ；乘积 .解题步骤 :分层层层求导作积仍原.4、 运算性质：5、函数的极值arasarsa0,r,s1极值定义：极值是在x 邻近全部的点,都有 0fxfx0,arsarsa,0r,sQ；就fx 0是函数fx的极大值；0,rQabrarbra0,b极值是在x 邻近全部的点,都有fxfx0,a 2.1.2、指数函数及其性质11、记住图象：yaxa,0 a就fx 0是函数fx的微小值 .yy=ax2判别方法：0a1x0假如在x 邻近的左侧f x0,右侧

9、f x0,1a1o那么fx 0是极大值；假如在x 邻近的左侧f x0,右侧f x0,图象那么fx 0是微小值 .；性;6、求函数的最值1定义域： R1求yf x 在 , a b 内的极值（极大或者微小值）（2）值域：（0, + ）2将yf x 的各极值点与f a ,f b 比较,其中质（3）过定点（ 0, 1）,即 x=0 时, y=1（4）在R 上是增函数（4）在 R 上是减函数最大的一个为最大值,最小的一个为微小值；5x0,ax1 x a;15x0,0 xax1x0, 0 x0,a1注：极值是在局部对函数值进行比较（局部性质）最值是在整体区间上对函数值进行比较整体性质 ；其次章：基本初等函

10、数（） 2.1.1、指数与指数幂的运算2、性质： 2.2.1、对数与对数运算1、 一般地,假如xna,那么 x 叫做 a的 n 次方根；1、指数与对数互化式：,axNax1.logaN ；2、对数恒等式：alog a NN .其中n,1nN.3、基本性质：log a10,loga2、 当 n 为奇数时,nana；当 n 为偶数时,n4、运算性质：当a0a1 ,M0 ,N0时：ana. 精选文档logaMNlogaMlogaN；,1b0 ,b1.第三章：函数的应用logaMlogaMlogaN；NlogaMnnlogaM. 3.1.1、方程的根与函数的零点5、换底公式：logablogcb1、方

11、程fx0有实根logcaa函数yfx的图象与 x 轴有交点a0,a,1c0,c,1b0.函数yfx有零点 .6、重要公式：loganbmmlogab2、 零点存在性定理：n7、倒数关系：logab1aa0 ,假如函数yfx在区间a,b上的图象是连续不断logb 2.2.2、对数函数及其性质1的一条曲线,并且有fafb0,那么函数yfx在区间a,b内有零点,即存在ca,b,1、记住图象：ylogaxa0 ,ay2、性质：1oy=log axx0a1使得fc0,这个 c 也就是方程fx0的根 .0a1 3.2.1、几类不同增长的函数模型 3.2.2、函数模型的应用举例a1、解决问题的常规方法：先画

12、散点图,再用适当的函数拟合,最终检验.图1111必修 2 数学学问点00象性1定义域：（0,+）第一章：空间几何体1、空间几何体的结构（2）值域： R常见的多面体有：棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体有：质（3）过定点（ 1,0）,即 x=1 时, y=0圆柱、圆锥、圆台、球；（4）在 （0, +）上是增函数（4）在（ 0,+）上是减函数5x 0,1 xlog ,1a xloga0 x；5xx,1 log a,1 logxx0；棱柱： 有两个面相互平行,其余各面都是四边形,并且000每相邻两个四边形的公共边都相互平行,由这些面所围a 2.3、幂函数 1、几种幂函数的图象：. 精选文档 判定： 一个

13、平面内的两条相交直线与另一个平面平行,就这两个平面平行（简称线面平行,就面面平行）；性质： 假如两个平行平面同时和第三个平面相交,那么圆柱侧面积；S 侧面2rl它们的交线平行（简称面面平行,就线线平行）；11、线面垂直：定义： 假如一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线,那么就说这条直线和这个平面垂直；判定： 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,就该直线与此平面垂直（简称线线垂直,就线面垂直）；性质： 垂直于同一个平面的两条直线平行；圆锥侧面积：S侧面rl12、面面垂直：定义： 两个平面相交,假如它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面相互垂直；判定： 一个平面经过另一个平面的一条垂线

14、,就这两个 平面垂直（简称线面垂直,就面面垂直）；性质： 两个平面相互垂直,就一个平面内垂直于交线的圆台侧面积：S侧面rlRl直线垂直于另一个平面； （简称面面垂直, 就线面垂直）；第三章：直线与方程体积公式：V柱体Sh；V 锥体1Sh；1、倾斜角与斜率：ktany2y13x2x 1V 台体1S 上S 上S 下S 下h32、直线方程：球的表面积和体积：点斜式：yy0kxx 0S球4R2,V球4R3.3斜截式：ykxb其次章：点、直线、平面之间的位置关系 1、公理 1：假如一条直线上两点在一个平面内,那么这条 直线在此平面内；两点式：yy 1y 2y 1xx 1x 2x 12、公理 2：过不在一

15、条直线上的三点,有且只有一个平面；3、公理 3：假如两个不重合的平面有一个公共点,那么它 们有且只有一条过该点的公共直线；截距式：xy1ab4、公理 4：平行于同一条直线的两条直线平行.一般式：AxByC05、定理： 空间中假如两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补；6、线线位置关系：平行、相交、异面；3、对于直线：b 1,l2:yk2xb 2有：7、线面位置关系：直线在平面内、直线和平面平行、直l1:yk1x线和平面相交；8、面面位置关系：平行、相交；l1/l2k 1k 2b 2；9、线面平行：b 1判定： 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,就1l 和2l 相交该直线与此平面

16、平行（简称线线平行,就线面平行）；k 1k ；性质： 一条直线与一个平面平行,就过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行（简称线面平行,就k 1k21l 和2l 重合线线平行）；b 1b 210、面面平行：. 精选文档l1l2k 1k21.dr相切0;4x x 2z 124、对于直线：dr相交0. 弦长公式：l2r2d2l1:A 1xB 1yC 12,0有：l2:A 2xB 2yC01k2x 1x 22l1/l2A 1B 2A 2B 1；3、两圆位置关系：dO 1O 2B 1 C2B 2C 1外离：dRr；y 12z21l 和2l 相交A 1B2A2B 1；外切：dRr；相交：RrdRr

17、；1l 和2l 重合A 1B 2A 2B 1；内切：dRr；内含：dRr.B 1C2B 2C 13、空间中两点间距离公式：l1l2A 1A 2B 1B20.P 1P 2x2x12y25、两点间距离公式：P 1P 2x2x 12y2y 12必修 3 数学学问点6、点到直线距离公式：第一章：算法dAx 0A2By02C1、算法三种语言：自然语言、流程图、程序语言；B2、流程图中的图框：7、两平行线间的距离公式：起止框、输入输出框、处理框、判定框、流程线等1l ：AxByC10与2l ：AxByC20平行,规范表示方法；当型循环结构3、算法的三种基本结构：就dC 12C22次序结构、条件结构、循环结

18、构AB直到型循环结构第四章：圆与方程次序结构示意图：1、圆的方程：标准方程：xa2yb22r20.bE24F . 语句 n 否其中 圆心为 , a b ,半径为 r .F语句 n+1 一般方程：x2y2DxEyD2（图 1）其中 圆心为 D,E,半径为r12222、直线与圆的位置关系直线AxByC0与圆xay2r2条件结构示意图：IF-THEN-ELSE格式：的位置关系有三种:;dr相离0满意条件？是语句 1 语句 2 精选文档 输出语句的一般格式：PRINT “ 提示内容” ；表达式赋值语句的一般格式：变量表达式（“ =” 有时也用“ ”）.条件语句的一般格式有两种：IF THEN ELSE

19、 语句的一般格式为：（图 2）IF 条件THENIF-THEN格式：语句 1 ELSE 语句 2 是 满意条件？END IF （图 2）否语句IF THEN 语句的一般格式为：（图 3）循环结构示意图：当型 （WHILE 型）循环结构示意图：IF 条件 THEN语句END IF （图 3）循环语句的一般格式是两种：满意条件？循环体当型循环（ WHILE ）语句的一般格式：是WHILE 条件循环体 WEND （图 4）否直到型循环（ UNTIL ）语句的一般格式：（图 4）直到型 （UNTIL型）循环结构示意图：DO 循环体循环体否LOOP UNTIL 条件（图 5）满意条件？算法案例：辗转相除

20、法结果是以相除余数为0 而得到是利用辗转相除法求最大公约数的步骤如下：（图 5）4、基本算法语句：）：用较大的数 m 除以较小的数 n 得到一个商 S 和一个余数 R ；）：如 R 0,就 n 为 m,n 的最大公约数；如 R 0 0,就用除数 n 除以余数 R 得到一个商 S 和一个余数 R ；输入语句的一般格式：INPUT “ 提示内容”；变量）：如R 0,就R 为 m,n 的最大公约数；如R 1. 精选文档 0,就用除数R 除以余数R 得到一个商S 和一个余标准差：s1inxix2数R ； 1n依次运算直至R 0,此时所得到的R n1即为所求的最大公约数；注：方差与标准差越小,说明样本数

21、据越稳固；平均数反映数据总体水平；方差与标准差反映数据的稳固水平；更相减损术结果是以减数与差相等而得到利用更相减损术求最大公约数的步骤如下：）：任意给出两个正数；判定它们是否都是偶数；如是,用 2 约简；如不是,执行其次步；）：以较大的数减去较小的数,接着把较小的数与 所得的差比较,并以大数减小数；连续这个操作,直线性回来方程 变量之间的两类关系：函数关系与相关关系；制作散点图,判定线性相关关系到所得的数相等为止,就这个数（等数）就是所求的线性回来方程：ybxa（最小二乘法）最大公约数；nx ,y ；进位制x y inx y十进制数化为k 进制数 除 k 取余法bi1x2nx2nk 进制数化为

22、十进制数i其次章：统计i11、抽样方法：aybx简洁随机抽样（总体个数较少）留意：线性回来直线经过定点系统抽样（总体个数较多）分层抽样（总体中差异明显）留意：在 N 个个体的总体中抽取出 每个个体被抽到的机会（概率）均为n 个个体组成样本,n ；N2、总体分布的估量：一表二图：频率分布表数据详实 频率分布直方图分布直观 频率分布折线图便于观看总体分布趋势 注：总体分布的密度曲线与横轴围成的面积为 1；茎叶图：茎叶图适用于数据较少的情形,从中便于看出数据 的分布,以及中位数、众位数等；个位数为叶,十位数为茎,右侧数据依据从小到大 书写,相同的数据重复写；3、总体特点数的估量：平均数：xx 1x2

23、x3xn；n第三章：概率 1、随机大事及其概率：大事：试验的每一种可能的结果,用大写英文字母 表示；必定大事、不行能大事、随机大事的特点；随机大事A 的概率：P A m, 0PA 1.n2、古典概型：基本领件： 一次试验中可能显现的每一个基本结果；古典概型的特点：全部的基本领件只有有限个；每个基本领件都是等可能发生；古典概型概率运算公式：一次试验的等可能基本领件共有 n 个,大事 A 包含了其中的m 个基本领件,就大事 A 发生的概率P A m.n3、几何概型：几何概型的特点：取值为x 1,x2,xn的频率分别为p 1,p 2,pn,就其全部的基本领件是无限个；每个基本领件都是等可能发生；平均

24、数为x 1p1x2p2xnp n；留意：频率分布表运算平均数要取组中值；几何概型概率运算公式：PA d 的测度；D 的测度其中测度依据题目确定,一般为线段、角度、面积、方差与标准差：一组样本数据x 1,x 2,xn体积等；就称方差：s21inxix2；4、互斥大事：不行能同时发生的两个大事称为互斥大事；n1假如大事A 1,A 2,A n任意两个都是互斥大事,. 精选文档大事A 1,A 2,A n彼此互斥；3、sin,cos, tan在四个象限的符号和三角函数线的画法 .y假如大事A,B 互斥,那么大事A+B 发生的概率,PT等于大事 A,B 发生的概率的和,正弦线： MP; 即：P AB P

25、A P B余弦线： OM; OMAx正切线： AT5、 特殊角 0 , 30 , 45 , 60 ,假如大事A 1,A 2,A n彼此互斥,就有：P A 1A 2A nP A 1PA 2PA n对立大事：两个互斥大事中必有一个要发生,就称 这两个大事为对立大事；90 , 180 , 270 等的三角函数值.064322 33 432大事 A 的对立大事记作A2sin costanPAPA,1PA1PA对立大事肯定是互斥大事,互斥大事未必是对立事 1.2.2、同角三角函数的基本关系式件；1、 平方关系：sin2cos21.ZkZ）必修 4 数学学问点2、 商数关系：tansin.第一章：三角函数

26、cos 1.1.1、任意角3、 倒数关系： tan1cot1、 正角、负角、零角、象限角的概念. 1.3、三角函数的诱导公式2、 与角终边相同的角的集合：（概括为 “ 奇变偶不变,符号看象限”2 k ,kZ.1、 诱导公式一：）sin2 ksin, 1.1.2、弧度制cos2 kcos,（其中：k1、 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1 弧度的角 .tan2ktan.2、l.2、 诱导公式二：rsinsin,3、弧长公式：lnRR.coscos,180tantan.4、扇形面积公式：SnR21lR.3、诱导公式三：3602 1.2.1、任意角的三角函数sinsin,coscos,1、 设是

27、一个任意角,它的终边与单位圆交于点Px ,y,那么：siny,cosx,tanytantan.x4、诱导公式四：2、 设点A x,y为角终边上任意一点, 那么：（设sinsin,rx22 y ）coscos,tantan.siny,cosx,tany,cotx5、诱导公式五：rrxy. 精选文档sin2cos,5374xy=cosxyxcos2sin.-4-7-3-5-2-3-212325374222o-16、诱导公式六：222sin2cos,2、能够对比图象讲出正弦、余弦函数的相关性质：定义域、值域、最大最小值、对称轴、对称中心、奇偶性、单调性、周期性.cos2sin.3、会用五点法作图.

28、1.4.1、正弦、余弦函数的图象和性质ysinx 在x0, 2 上的五个关键点为：1、记住正弦、余弦函数图象：（ ,）（, ,）（, ,）（,32 2,）（,2,）.y=sinxy-4-7-3-5-2-3-21 o-1232222222 1.4.3、正切函数的图象与性质1、记住正切函数的图象：2、记住余切函数的图象：-3y=tanxyo23x-yo232xy=cotx- 2- 22223、能够对比图象讲出正切函数的相关性质：定义域、值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性 .周期函数定义：对于函数fxf,假如存在一个非零常数T,使得当 x 取定义域内的每一个值时,都有fxTfx,那么函数x就叫做

29、周期函数,非零常数T 叫做这个函数的周期 .图表归纳：正弦、余弦、正切函数的图像及其性质ysinxycosxytanx图象定义域RRx|x2k,kZ. 精选文档值域-1,1-1,1,TR最值x2k2,kZ 时,ymax1x2k,kZ时,y max1无x2k2,kZ 时,ymin1x2k,kZ时,y min1周期性T2T2奇偶性奇偶k奇在 2k2,2k2上单调递增在 2k,2k上单调递增单调性2上单调递增在 2k,2k上单调递减在 k2kZ在2k2,2k3上单调递减2对称性对称轴方程：xk2对称轴方程：xk无对称轴k, 0对称中心 k2, 0对称中心kZ对称中心 k,02 1.5、函数yAsin

30、x的图象ysinx横坐标不变yAsinx1、对于函数：纵坐标变为原先的A 倍yAsinxB A0,0有：振幅 A,周纵坐标不变yAsinx期T2,初相,相位x,频率f1 T2.横坐标变为原先的|1| 倍2、能够讲出函数ysinx的图象与平移个单位yAsinxyAsinxB 的图象之间的平移伸缩变（左加右减）换关系 .平移 |B|个单位yAsinxB先平移后伸缩：ysinx平移 | 个单位ysinx（上加下减）3、三角函数的周期,对称轴和对称中心（左加右减）函数ysinx,xR 及函数ycosx,横坐标不变yAsinxxRA,为常数,且A 0的周期T2|；函数|纵坐标变为原先的A 倍ytanx,

31、xk2,kZ A,为常数,纵坐标不变yAsinx横坐标变为原先的|1| 倍且 A 0的周期T|.对 于yAsinx和yAcosx来平移 |B|个单位yAsinxB说, 对称中心与零点相联系,对称轴与最值点联系.（上加下减）求函数yAsinx图像的对称轴与对称中心,先伸缩后平移：只需令xk2kZ与xkkZ解出 x 即可 .余弦函数可与正弦函数类比可得. 精选文档4、由图像确定三角函数的解析式2ymin.3、tan212tan.cos2利用图像特点：Ay max2ymin,Bymaxtan2要依据周期来求,要用图像的关键点来求.4、tan1sin 21cos2.sin 2 1.6、三角函数模型的简

32、洁应用 3.2、简洁的三角恒等变换1、 要求熟识课本例题.1、 留意正切化弦、平方降次2、帮助角公式第三章、三角恒等变换yasinxbcosxa2b2sinx 3.1.1、两角差的余弦公式记住 15 的三角函数值：（ 其 中 辅 助 角所 在 象 限 由 点 , 的 象 限 决12sin2cos2tan362644 3.1.2、两角和与差的正弦、余弦、正切公式定, tan b.a其次章：平面对量 2.1.1、向量的物理背景与概念1、sinsincoscossin1、 明白四种常见向量：力、位移、速度、加速度.2、2、 既有大小又有方向的量叫做向量.sinsincoscossin 2.1.2、向

33、量的几何表示1、 带有方向的线段叫做有向线段,有向线段包含三3、coscoscossinsin个要素：起点、方向、长度.4、coscoscossinsin2、向量 AB 的大小,也就是向量AB 的长度（或称模）,uuur 记作 AB；长度为零的向量叫做零向量；长度等5、tantan 1 tantan tan.于 1 个单位的向量叫做单位向量.6、tantan 1 tantan tan.3、 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共线向量） .规定：零向量与任意向量平行. 3.1.3、二倍角的正弦、余弦、正切公式 2.1.3、相等向量与共线向量1、sin22sincos,1、 长度相等且方向相

34、同的向量叫做相等向量.变形 ：sincos1 2sin 2. 2.2.1、向量加法运算及其几何意义1、 三角形加法法就和平行四边形加法法就.2、cos2cos2sin22cos2112sin2.变形如下：升幂公式：1cos21 22cos22、abab.a 的相反向量 .1cos22sin2 2.2.2、向量减法运算及其几何意义1、 与 a 长度相等方向相反的向量叫做2 cos1cos2 降幂公式：2、 三角形减法法就和平行四边形减法法就.sin21cos2 1 2. 精选文档 2.2.3、向量数乘运算及其几何意义1、设Ax 1,y1,Bx2,y2,Cx 3,y3,就线段 AB 中点坐标为x

35、1x2,y 12y 2,21、 规定：实数与向量 a 的积是一个向量,这种运 ABC 的重心坐标为x 1x 2x 3,y 1y 2y 3.33算叫做向量的数乘.记作：a ,它的长度和方向 2.4.1、平面对量数量积的物理背景及其含义1、ababcos.规定如下：aa,2、a 在 b 方向上的投影为：acos.当0 时, a 的方向与a 的方向相同；当3、a2a2.4、aa2.0时, a 的方向与 a 的方向相反 .2、 平面对量共线定理：向量aa0与 b共线,当5、abab0.且仅当有唯独一个实数,使ba. 2.4.2、平面对量数量积的坐标表示、模、夹角 2.3.1、平面对量基本定理1、 设a

36、x 1,y 1,bx2,y2,就：1、 平面对量基本定理：假如e 1,e 2是同一平面内的两abx 1x2y 1y2个不共线向量, 那么对于这一平面内任一向量a ,a2 x 12 y 1有且只有一对实数1,2,使a1e 12e 2.r ar br r a b0 x x 2y y 20 2.3.2、平面对量的正交分解及坐标表示r a/ /r br ar bx y 1 2x y 2 101、aixyjx ,y.2、 设Ax1,y 1,Bx2,y2,就： 2.3.3、平面对量的坐标运算1、 设ax 1,y 1,bx2,y2,就：ABx2x 12y2y12.abx 1x 2,y 1y 2,3、 两向量

37、的夹角公式 r r a b cos r r a bx 12x x 2y y2y22abx 1x2,y 1y 2,2 y 1x 22ax 1, y 1,4、点的平移公式平移前的点为P x y （原坐标）,平移后的对应点a/bx 1y2x 2y 1.为P x y（新坐标） ,平移向量为uuur PP , ,2、 设Ax 1,y 1,Bx2,y2,就：就xxh.ABx 2x 1,y 2y 1.yyk 2.3.4、平面对量共线的坐标表示函数yf x 的图像按向量r a , 平移后的. 精选文档r r图像的解析式为 y k f x h . 设直线 l 1 , l 的方向向量分别是 a、 ,就要证明 1l

38、 2.5.1、平面几何中的向量方法 r r r r 2.5.2、向量在物理中的应用举例 2l ,只需证明 a b,即 a kb k R .即：两直线平行或重合 两直线的方向向量共线；学问链接：空间向量空间向量的很多学问可由平面对量的学问类比而得 . 线面平行下面对空间向量在立体几何中证明,求值的应用进行 r总结归纳 . （法一） 设直线 l 的方向向量是 a,平面 的法向r r r r r1、直线的方向向量和平面的法向量 量是 u,就要证明 l ,只需证明 a u,即 a u 0 .直线的方向向量：即：直线与平面平行 直线的方向向量与该平面uuur如 A、B 是直线 l 上的任意两点, 就 A

39、B 为直线 l 的 的法向量垂直且直线在平面外uuur （法二）要证明一条直线和一个平面平行,也可一个方向向量； 与 AB 平行的任意非零向量也是直线 l 以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线的方向向量 . 向量即可 .平面的法向量：面面平行r r r如向量 n 所在直线垂直于平面,就称这个向量 如平面 的法向量为 u,平面 的法向量为 v,要r r r r r r r垂直于平面,记作 n,假如 n,那么向量 n 证,只需证 u v,即证 u v .叫做平面 的法向量 . 即：两平面平行或重合 两平面的法向量共线；平面的法向量的求法（待定系数法）：建立适当的坐标系3、用向量方法判定空

40、间的垂直关系设平面的法向量为r n , , 0.线线垂直.设直线l1,l 的方向向量分别是r ar、 ,就要证明求出平面内两个不共线向量的坐标r aa a 1 2,a 3,ur bb b b 1 2 3l1r l ,只需证明 ar b,即r r a b0.依据法向量定义建立方程组r r n a r r n b即：两直线垂直两直线的方向向量垂直；0线面垂直解方程组, 取其中一组解, 即得平面的法向量 . （法一） 设直线 l 的方向向量是r a,平面的法向（如图）r 量是 u,就要证明 lr,只需证明 ar ur,即 ar u2、 用向量方法判定空间中的平行关系（法二） 设直线 l 的方向向量是

41、r a,平面内的两个相交向量分别为ur uur m、 ,如r ur a m r r a n0,就l.0即：直线与平面垂直直线的方向向量与平面的线线平行法向量共线直线的方向向量与平面内两条不共线. 精选文档直线的方向向量都垂直；面面垂直ur 分 别 为 mr ur、 , 再 设 mr、 的 夹 角 为, 二 面 角如平面r 的法向量为 u,平面r 的法向量为 v,要l的平面角为,就二面角ur 为 mr、 的夹角证r,只需证 ur v,即证r ru v0.或其补角.依据详细图形确定是锐角或是钝角：即：两平面垂直两平面的法向量垂直；4、利用向量求空间角 求异面直线所成的角 假如是锐角,就 cosco

42、sur r m n ur r ,m n已知a b 为两异面直线, A,C 与 B,D 分别是a b 上即arccosur r m n ur r m n；的任意两点,a b 所成的角为,就 cosuuur uuur AC BD uuur uuur AC BD.假如是钝角,就 coscosur r m n ur r ,m n求直线和平面所成的角 定义： 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成 的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角即arccosur r m n ur r m n.求法： 设直线 l 的方向向量为r a,平面的法向量5、利用法向量求空间距离点 Q 到直线 l 距离如 Q 为直线 l 外的

43、一点 , P 在直线 l 上, ar为直线 l 的r uuur方向向量, b = PQ,就点 Q 到直线 l 距离为h| a 1r | | a r | b r| 2 a b r r 2r 为 u,直线与平面所成的角为r, ar 与 u的夹角为,就为的余角或的补角的余角 .即有：r r a ur a u.s incos点 A 到平面的距离如点 P 为平面外一点,点M 为平面内任一点,求二面角 定义： 平面内的一条直线把平面分为两个部分,其中的每一部分叫做半平面；从一条直线动身的两个 半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面平面的法向量为r n,就P 到平面的距离就等于uuur MPr 在法

44、向量 n方向上的投影的确定值. 角的棱,每个半平面叫做二面角的面二面角的平面角是指在二面角 l 的棱上任 取 一 点 O , 分 别 在 两 个 半 平 面 内 作 射 线AO l , BO l,就 AOB为二面角 l 的平面角 .如图：A B l 求法：设二面角O O lB 的两个半平面的法向量 A . 精选文档为求直线上任一点到平面的距离,即转化为点面距离；所成的角为1, AD与 AC 所成的角为2, AB 与即dr uuur n MPr n.AC 所成的角为就coscos1cos2.两平行平面,之间的距离8、 面积射影定理利用两平行平面间的距离到处相等,可将两平行平 面间的距离转化为求点

45、面距离；r uuur n MP 即 d r .n异面直线间的距离已知平面内一个多边形的面积为S S原,它在平面内的射影图形的面积为S S射,平面与平面所成的二面角的大小为锐二面角,就cos S=S 射.r 设向量 n与两异面直线a b 都垂直,Ma Pb ,S 原S9、一个结论 长度为 l 的线段在三条两两相互垂直的直线上的射就两异面直线uuur a b 间的距离 d 就是 MPr 在向量 n方向影长分别为l1、 、2l3,夹角分别为1、2、3,就有上投影的确定值；r uuur n MP即 d r n.l2l2l2l22 cos12 cos22 cos311232 sin12 sin22 si

46、n32 .（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）.6、三垂线定理及其逆定理三垂线定理：在平面内的一条直线,假如它和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直推理模式：PPO , OPA I A a PA Oa , a OA A a概括为：垂直于射影就垂直于斜线 .三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线,假如和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂直推理模式：POI,OaAOPAaAaAP必修 5 数学 学问点第一章：解三角形 1、正弦定理：abc2 R .B sin CABC 外接圆的半径）2RsinC;sin A sin（其中 R为a2RsinA b2RsinB c

47、sinAa,sinBb,sinCc 2 R;2R2Ra b csinA:sinB:sinC.用途：已知三角形两角和任一边,求其它元素；已知三角形两边和其中一边的对角,求其它 元素；概括为：垂直于斜线就垂直于射影.2、余弦定理：2 bccos ,a22 bc27、三余弦定理2 ba2c22 accos ,设 AC 是平面内的任一条直线, AD 是的一c2a22 b2 abcos .条斜线 AB 在内的射影,且BD AD ,垂足为 D.设AB 与BAD. A1D2C精选文档cosAb2c2a2,S nna 1n n1dn a 12an2bc2cosBa2c2b2,常用性质：2ac如mnpqm ,n

48、,p,qN,就cosCa22 bc2.2abamanapaq；用途：已知三角形两边及其夹角,求其它元素；已知三角形三边,求其它元素；做题中两个定理常常结合使用 .3、三角形面积公式：下标为等差数列的项ak,akm,ak2m,仍组成等差数列；数列a nb（,b为常数）仍为等差数列；S ABC1absinC1bcsinA1acsinB如 an、b n是等差数列,就 ka n、ka npbn222 k 、 p 是非零常数 、a p nqp q* N、, 也成等4、三角形内角和定理：在 ABC 中,有差数列；ABCCAB单调性：an的公差为 d ,就：C2A2B2C22AB .2）d0an为递增数列；

49、5、一个常用结论：）d0an为递减数列；在ABC 中,absinAsinBAB ;如 sin 2Asin 2 ,就AB 或AB. 特殊留意,2B 不成立；）d0an为常数列；数列 a 为等差数列a npnq （p,q 是常数）在三角函数中,sinAsinBA如等差数列an的前 n 项和S ,就S 、S2kS k、其次章：数列1、数列中a 与S 之间的关系：S 3 kS 2k是等差数列；3、等比数列a nS 1S n, n1留意通项能否合并；定义：假如一个数列从第2 项起,每一项与它的前S n1,n2.一项的比等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列；2、等差数列：等比中项：如三数a、G、 成

50、等比数列G2ab,定义：假如一个数列从第2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,即a a n1=d ,（n（ ab同号）；反之不肯定成立；2, nN）,通项公式：ana qn1a qn m那么这个数列就叫做等差数列；前 n 项和公式：S na 11qna 1a q n等差中项：如三数a、 、b成等差数列1q1qAa2b常用性质如mnpqm ,n,p,qN,就通项公式：ana 1n1 damnm damanapa ；或anpnqp、 是常数） .ak,akm,ak2m,为等比数列,公比为qk下标成前 n 项和公式：等差数列 ,就对应的项成等比数列. 精选文档数列a n（为不等于零的常数）

51、 仍是公比为 q 的a na n1f n1于 n 的函数）可 构造：a n1a n2f n2等比数列；正项等比数列a n；就 lga n是公差为. .lg q 的 等差 数列；a 2a 1f1 如an是等比数列,就ca n,a n2,1,将上述n1个式子两边分别相加,可得：a nanf n1f n2. 2f1a 1,n2a nrrZ是等比数列, 公比依次是q,q2 1, ,qqr.如f n 是关于 n 的一次函数, 累加后可转化为等差数列求和 ;单调性： 如f n 是关于 n 的指数函数,累加后可转化为等a 10,q1 或a 10,0q1a n为递增数列；比数列求和 ;a 10,0q1 或 a

52、 10,q1a n为递减数列；如f n 是关于 n 的二次函数,累加后可分组求和; q1a n为常数列；如f n 是关于 n 的分式函数,累加后可裂项求和. q0a n为摇摆数列；类型累乘法：形如a n1anf n a n1f n 型的递推数列 （其既是等差数列又是等比数列的数列是常数列；a n如等比数列an的前 n 项和S ,就S 、S2kS k、an1f n1S 3kS 2k是等比数列 .a n4、非等差、等比数列通项公式的求法中fn是关于 n 的函数） 可构造：an1f n2a n2类型观看法： 已知数列前如干项,求该数列. .的通项时,一般对所给的项观看分析,查找规律,从 而依据规律写

53、出此数列的一个通项；a 2f1 a 1类型公式法：如已知数列的前n 项和S 与an将上述n1个式子两边分别相乘,可得：的关系,求数列an的通项a 可用公式a nS 1S n, n1构造两式作差求解；anf n1f n2 .f2f1a 1,n2S n1,n2有时如不能直接用,可变形成这种形式,然后用这 种方法求解；用此公式时要留意结论有两种可能,一种是“ 一分为二” ,即分段式； 另一种是 “ 合二为一”,即a 和an类型构造数列法：合为一个表达,（要先分n1和n2两种情形分别进形如an 1panq（其中p q 均为常数且p0）行运算,然后验证能否统一）；类型累加法：型的递推式：形如an1anf

54、n型的递推数列 （其中fn是关（1）如p1时,数列 a 为等差数列 ; （2）如q0时,数列 a 为等比数列 ;. 精选文档（3）如p1且q0时,数列 a 为线性递推数列,an1panf n ,a npan1f n1两式相减其通项可通过待定系数法构造等比数列来求.方法有如得：an1anp ana n1d ,令b na n1a 得：下两种：法一： 设a n1p an,绽开移项整理得b npb n1d 转化为 类型 求出nb ,再用 类型an1panp1,与题设an1panq 比较系（累加法） 便可求出na.数（待定系数法）得当f n 为指数函数类型（即等比数列）时：q1,p0an1q1p a n

55、pq1法一：设a nf n p a n1f n1,通过ppanq1p a n1pq 1,即anq1构成待定系数法确定的值, 转化成以a 1f1为首项,pp以 p 为公比的等比数列a nf n ,再利用等比数以a 1pq1为首项,以p 为公比的等比数列.再利用列的通项公式求出a nf n 的通项整理可得a n.法二： 当f n 的公比为 q 时,由递推式得：等比数列的通项公式求出anpq1的通项整理可an1panf n ,anpan1f n1,两得an.边同时乘以 q 得a qpqan1qf n1 ,由法二：由a n 1panq得a npan1q n2两式相减并整理得an1anp,即a n1a

56、n构成以两式相减得an1a qp anqan1,即ana n1a2a 为首项,以p 为公比的等比数列.求出an1qanp,在转化为 类型 便可求出an.a n1a n的通项再转化为类型（累加法）便可求n1aqan出an.法三：递推公式为a n1panqn（其中 p,q 均形如a n1panf n p1型的递推式：当f n 为一次函数类型（即等差数列）时：为常数） 或a n1pann rq （其中 p,q, r 均为常数）法一：设a nAnBp a n1A n1B ,时,要先在原递推公式两边同时除以qn1,得：an1p.an1,引入帮助数列b n（其中通过待定系数法确定A、 的值,转化成以1aA

57、Bqn1qqnq为首项, 以 p 为公比的等比数列a nAnB ,再利bnan）,得：b n1pb n1再应用 类型 的方用等比数列的通项公式求出a nAnB 的通项整qnqq法解决；理可得na.当f n 为任意数列时,可用通法：法二：当f n 的公差为 d 时,由递推式得：在an1panf n 两边同时除以pn1可得到. 精选文档a n1anf n ,令anb n,就b n1b nnf n ,an 1panq型；pn1pnpn1pnpn1总之,求数列通项公式可依据数列特点采纳以上在转化为 类型 （累加法）,求出b 之后得an p b .不同方法求解,对不能转化为以上方法求解的数列,类型对数变

58、换法：可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式an.形如a n1paqp0,a n0型的递推式：5、非等差、等比数列前n 项和公式的求法错位相减法在原递推式a n1q pa 两边取对数得型,求出nb如数列a n为等差数列,数列b n为等比数列,lgan1qlga nlgp ,令b nlga 得：就数列a nb n的求和就要采纳此法.b n1qbnlgp ,化归为an 1panq之后得nab 10 .（留意：底数不肯定要取10,可依据将数列a nb n的每一项分别乘以b n的公比,题意挑选）；0）的递推然后在错位相减,进而可得到数列a nb n的前 n 项和.类型倒数变换法：此法是在推导等比数列

59、的前n 项和公式时所用的方形如a n1a npan1a （ p 为常数且p法.裂项相消法式： 两边同除于an1 a ,转化为1a11p形式,一般地,当数列的通项a nanb 1canb2ann化归为a n 1panq型求出1的表达式,再求a ；an , a b b c为常数） 时,往往可将a 变成两项的差,仍有形如a n1manq的递推式, 也可采纳取倒数方pa n采纳裂项相消法求和.法转化成a11m1m形式,化归为an 1panq可用待定系数法进行裂项：nq anp设ananb 1anb 2,通分整理后与原式相型求出1的表达式,再求a .a n类型形如an2pan1qan型的递推式：比较,依

60、据对应项系数相等得b2cb 1,从而可得用待定系数法,化为特殊数列anan1的形式anb 1cb2=b 2cb 1an1b 1an1b2.求解； 方法为： 设an2kan1h an1ka n,比较an系数得hkp,hkq,可解得 h、 ,于是常见的拆项公式有：111n11；a n1ka n是公比为 h 的等比数列,这样就化归为n nn. 精选文档2n1n11 2 211211;（异向正数 可除性）ab0,0cdabcd12nna1ba1bab;（平方法就）ab0anbnnN,且n1（开方法就）ab0nanb nN,且n1Cm1Cm1Cm;（倒数法就）ab011;ab011nnnababn n.