高中数学考前归纳总结导数中的探索性问题

1、导数中的探干脆问题 一、常见基此题型： 1探究图像的交点个数问题,可转化方程解的个数求解,f x 明例 1、 已知函数f x 3 x2 ax3 x, 1 如x1是f x 的极值点,求f x 在 1, a 上的最大值；3（2）在（ 1）的条件下,是否存在实数b ,使得函数g x bx 的图像与函数的图象恰有3 个交点？如存在,恳求出实数b 的取值范畴；如不存在,试说理由；点,解: （1）由于x1是f x 的极值点 , 所以 ,f10,a4,由f 033得:x3,1, 在区间 1,4上,f x 在 1,3 单调减在 3,4 单调增 , 3且f16,f412,所以 ,f x maxf16 2 设F

2、x f x g x 3 x42 x3 xbx , 由题意可得F x 有三个零点 , 又由于 0 是F x 的一个零点 , 所以 , 只要再有两个零点且都不相同即可; 因此 , 方程x24x3b0有两个不等实根且无零根, 所以 , 42b4b30,30所以 , 存在实数b 使得函数g x bx 的图像与函数f x 的图象恰有3 个交b7且b3. （2）探究函数的零点个数问题1 2例 2. 已知函数 f x ax 2 , x g x 2g x 1 f 2 a 1 在 区 间 , e x ea 的取值范畴；如不存在,请说明理由lnx ,是否存在正实数a ,使得函数内 有 两 个 不 同 的 零 点

3、？ 如 存 在 , 请 求 出解： lnxax22a1, 所以 0,x因 x 在区间1, 内有两个不同的零点e即方程2 ax1 2 a xlnx0在区间1, 内有两个不同的实根e设H x 2 ax1 2 a xlnx x0,21 2 ax 1 2 a x 1 2 ax 1 x 1H 2 ax 1 2 x x x令 H 0,由于a为正数,解得 x 1 或 x 1（舍）2 a1当 x ,1 时, H 0 , H x 是减函数；e当 x 1, e 时, H 0,H x 是增函数 . 为满意题意,只需 H x 在1 , 内有两个不相等的零点 , 故eH 1e 01 a e 2eH x min H 1

4、0 , 解得 2 e 1H e 0 3 探究函数图象的位置关系问题例 3. 如存在实常数 k 和 b ,使得函数 f x 和 g x 对其定义域上的任意实数 x 分别满意：f x kx b 和 g x kx b ,就称直线 :l y kx b 为 f x 和 g x 的“ 隔离直线”已2知 h x x , 2 ln x （其中 e 为自然对数的底数） 1 求 F x h x x 的极值； 2 函数 h x 和 x 是否存在隔离直线？如存在,求出此隔离直线方程；如不存在,请说明理由解： 1 F x h x x22 lnx x0,F 2x2e2xexexx 2当 xe时,F 0当 0 xe 时,F

5、 0,此时函数F x 递减；当 xe 时,F 0,此时函数F x 递增；当 xe 时,F x 取微小值,其微小值为0 由（ 1）可知函数hx和x 的图象在xe处有公共点,就G 2 e2e2e ex ,xx当 xe 时,G x 0当 0 xe 时,G 0,此时函数G x 递增；当 xe 时,G 0,此时函数G x 递减；当 xe 时,G x 取极大值,其极大值为0从而G x 2 lnx2exe0,即xy2exe x0恒成立函数h x 和 存在唯独的隔离直线2exe 二、针对性练习 1. 设函数f x x 22x2ln1x . 2 m2 e 恒 1求函数f x的单调区间； 2当x11,e1时 ,

6、是否存在整数m ,使不等式mf x 2 mem 的值；如不存在,请说明理由；成立？如存在,求整数解： 1 由 1x0得函数f x 的定义域为 1, ,fx2x2x212x x12；x由fx0得x0；由fx0得1x0,1, 函数f x 的递增区间是0,；递减区间是1,0 ； 2由 1 知,f x 在1 e1,0上递减 , 在,0 e1上递增；f x minf00又f1111,fe12 e3,且e231e2 e2 ex11,e1时,fxmax2 e3；e不等式fx2 m2 m2 e 恒成立 , ,且Rx 的m2 m2 m2 ef x max,mf x min即2 m02 m2 e2 e32 m2

7、m30mm01m31m0m0 m是整数,m1；存在整数 m ,使不等式mfx2 m2 m2 e 恒成立；2. 已知定义在R 上的二次函数R x ax2bxc满意2R x2Rx 0最小值为 0,函数hx1 nx,又函数fx hxR x ；A（x 1, y 1）,（I ）求f x 的单调区间；（II ）如二次函数R x图象过 （4,2）点,对于给定的函数fx图象上的点当1x3时,探求函数fx图象上是否存在点B（x 2, y2）（x22）,使 A、B 连2线平行于 x 轴,并说明理由； （参考数据： e=2.71828 ）解：（ I ）a2 Rx2 Rx0 ,2 Rx 2 Rx,即R x R x ,0,）0 ,可得b0 ,R x ax2c .又Rx在 x=0 时取得最小值c0 .R x ax2.fx h x R x 1 nxax2,12 ax12 ax2,x ,0fx xxx0,解得x2a.令f2 a当 x 变化时,fx,fx的变化情形如下表：（0,2a）2 a（2ax2 a2a2afx0 x2.fx增函数极大值减函数f x 的单调递增区间是0,2a,fx的单调递减区间是（2a,）；2a2 a（II ）证明：如二次函数3R x ax2图象过（ 4, 2）点,就a1,所以fx1 nx188令gxfxf.由（ I ）知fx在（ 0,