高中补习班数学归纳法与数列的极限复习课教案

1、2 数学归纳法与数列的极限一、基础学问点1. 推理与证明推理方法有：合情推理与演绎推理 . 合情推理有：类比,不完全归纳,猜想等 . 演绎推理：严格的规律证明 . 2. 数学归纳法：是证明有关自然数的命题的一种方法,属于完全归纳法,其证明步骤如下：第一步：验证当n 取第一个答应值n 时命题成立；nk1 时命题也成立 . 其次步：假设当nk kn 0时命题成立（归纳假设）,证明当完成以上两步,就能断言：对一切nN*,nn ,命题都成立 . 3. 归纳猜想问题指的是给出一组具有某种特定关系的数、式、图形,或是给出与图形有关的操作、变化过程,要求通过观看、分析、推理,探求其中所蕴涵的规律,进而归纳或

2、猜想出一般性的结论,在解答过程中需要经受观看、归纳、猜想、试验、证明等数学活动,以加深同学对相关数学学问的懂得（1）学会探究与发觉的规律方法：演绎 从一般到一般（结论肯定正确）；类比 从特殊到特殊（结论不肯定正确）归纳 从特殊到一般（结论不肯定正确）. （2）归纳猜想得到的结论不肯定正确,必需经过严格的规律证明,而与自然数有关的结论的证明,常用数学归纳法 . 4. 数学归纳法证明过程中的两个步骤缺一不行 步是证明的关键,在归纳假设的前提下完成证明纳法证明 . 多米诺骨牌 . 5. 数学归纳法的原理：（1）1234；（2）1357；3（3）124326. 归纳猜想证明的一般步骤：运算命题取特殊值

3、时的结论；. 第一步是归纳的基础,这是一个成立的实事；其次 . 假如不用归纳假设而完成了证明过程,那不叫数学归对这些结果进行分析,探究数据的变化规律,并猜想命题的一般结论；证明所猜想的结论 . 7. 数列极限（1）定义：一般地,在n 无限增大的变化过程中,假如无穷数列a n中的项a 无限趋近于一个常数 A,那么 A 叫做数列a n的极限,或称作数列a n收敛于 A,记作 lim na nA. 数列极限存在的条件：无限数列；当n 趋向于无穷时,a 无限趋近于某一常数. （ 2）数列极限的运算法就：如 lim nanA , limnb nB ,就a nb nAB ； lim na nb nAB ；

4、 lim n lim na nb nA B ； lim na nb nA B B0. 特殊,如 C 为常数,就 lim nC a nC A . （3）三个常用的极限： lim nCC （C 为常数）；lim n10；nlim nqn0,|q| 1 时1.1,q1 时不存在,|q| 1 或q（4） 无穷等比数列各项的和：如无穷等比数列a n的公比|q| 1,就其各项的和为Slim nS n1a 1. q8. 关于数列极限概念的懂得：极限是一种变化趋势,并不肯定有 a =A；“ 无穷大” 的意思是要有多大就有多大；如 lim a n A,就 lim a n 1 lim a n A . n n n9

5、. 常见数列极限类型：、0型：极限不存在；mk, 0 0、 00 、0 型：极限均为0；、0 0、 0型：极限不确定,有的存在,有的不存在. 0,有理分式型：lim naknka k1nk1a 1na 0a m,mk,b mnmb m1nm1b nb 0b m不存在,mk.二、基础自测1. 一个关于自然数n 的命题,假如验证当n1 时命题成立,并在假设当 nkk1且 kN*时命题成立的基础上,证明白当nk2 时命题成立,那么综合上述,对于BA 一切正整数命题成立B一切正奇数命题成立C一切正偶数命题成立 D以上都不对2. 设平面内有 k 条直线,其中任何两条不平行,任何三条不共点,设 k 条直线

6、的交点个数为 fk,就 f k 1与 fk的关系是 C A fk1fkk1 Bfk 1 fkk1 Cfk1fk k Dfk 1fk k2 解析：当 n k1 时,任取其中 1 条直线,记为 l,就除 l 外的其他 k 条直线的交点的个数为 fk,由于已 知任何两条直线不平行,所以直线 l 必与平面内其他 k 条直线都相交 有 k 个交点 ；又由于已知任何三条直线不过同一点,所以上面的 k 个交点两两不相同,且与平面内其他的 fk个交点也两两不相同,从而平面内交点的个数是 fkkfk1*3. 已知某个关于自然数 n 的命题 P n ,假如当 n k k N 时该命题成立, 那么可得当 n k 1

7、时命题也成立 . 写出当 n=4 时命题成立的全部充分条件：；：写出当 n=4 时命题成立的一个必要条件：；现在已知当n=4 时,该命题不成立,就以下说法正确选项A 当 n=3 时该命题不成立；B当 n=5 时该命题不成立；C当 n=1 时该命题可能成立；D当 n=5 时,该命题可能成立,假如 n=5 时命题成立, 那么对于任意自然数n5,该命题都成立 . 解：是找到推出 “n=4” 成立的条件； 是找到由 “ n=4”能推出什么； 可用等价于逆否命题来判定：“n3 成立n4成立 ”“n4 不成立n3 不成立 ”. n=1 成立、 n=2 成立、 n=3 成立；n=5 或 n=6 或 n=7A

8、、D 均正确4. 已知数列 an满意： a11 3,且对任意正整数Sn,就limn S n m、n,都有 amnaman,如数列 an 的前 n 项和为A.1B.2C.3D2 D4 232【解析】a11 3, a21 3119,a31 31127,a41 81 an是首项为1 3公比为 1 3的等比数列1li m nSn311 2. 【答案】A 135. 如 lim na2bn22n11 2,就实数 ab 为bn 3A 2B2 C 4 【解析】极限值为1 2,分母是 n 的一次式,分子是n 的二次式,a 2b0,lim nb 1 2.得 b4, a 8,ab 4. 【答案】C a3 5 , 就

9、6. 已 知 数 列 log 2an 1 nN*为 等 差数 列 , 且a1 3 ,a21a 1a 31a 2a n1a n等于 1A 2 B. 3 2C1 D. 1 2【解析】令 bnlog 2an 1,就 bn 成等差数列, b1log221,b2log 242,可知数列 bnlog2an11n1 1 n, an 2 n1. 就 an1an 2n112n12n. 1即求 li m n2 1 2 1 2 n 21. 【答案】C 11 27. lim n13532n1= 2 . 12n8. lim nn1nn = 1. 2三、典例解析【例 1】用数学归纳法证明：1n212 1 3 1 n12n

10、 nN *证明：（ 1）当 n1 时,左边 11 2,右边 1 2 1, 3 211 23 2,即命题成立（2）假设当 nk kN *时命题成立,即 1211 21 3 1 k12k,就当 nk1 时,121 3 1 k2 k112 k2 12 k2 1k1k22 k2 k2 1 k1k1 2 . 又 11 21 3 1 k2 k112 k2 12 k2 1 k0, a1 1,由 S2 a1 a21 2 a2 1 a2,得 a2 22a210,a221. 又由 S3a1a2a31 2 a3 1 a3得 a 2 32 2a31 0, a33（2）猜想 annn1 nN* 证明： 当 n1 时,

11、a1110,猜想成立假设当 n k kN* 时猜想成立,即akkk1,就当 nk1 时, ak1Sk1Sk1 2 ak1 1 ak11 2 ak 1 ak,即 ak11 2 ak 1 1 ak11kk1k1k11 2 ak1 1 ak1k,a2 k12kak110, ak1k1k. 即 nk1 时猜想成立由 知, annn1 nN *【例 5】已知数列 an 中, a1 2 3,其前 n 项和 Sn 满意 anSn 1 Sn2n2,运算 S1,S2,S3,S4,猜想 Sn 的表达式,并用数学归纳法加以证明解析： 当 n2 时, anSnSn1Sn1 Sn2. SnSn12n21就有 S1a12

12、3, S2S12 3,S3S22 4, S4S32 5 6. 由此猜想： Snn 1 n 2nN *用数学归纳法证明：当 n1 时, S12 3a1,猜想成立k11 k12. 假设 nkkN*猜想成立,即Sk k 1 k 2成立,那么 nk1 时, Sk11 Sk21k22 k3k1 k2即 nk1 时猜想成立由 可知,对任意自然数n,猜想结论均成立,就lim nan等于（C ）【例 6】（1）lim1 n1111111. 222 342n2解：lim1 n1111111222 342n2lim1 n1111111 31111223nnlim n3 4nn1 1 2nn1）= lim nn11

13、.2 32 32n2（2）等差数列 an、b n的前n项和分别为 S n和T n,如S nT n2n13 nb nA 1 B6C2 3D4 9S n成等差数列 . 3【例 7】设数列an中, a11 ,它的前 n 项和为 Sn,且 2a 1,S n1,（1）求 S 1,S 2,S 3,并猜想 Sn 的表达式,用数学归纳法证明；（2）求 lim nSn；解：（1） S 11,S 23,S 37,猜想Sn21n1,证明略；242n2,nN（2） lim nS n2【例 8】设 f x3x22,如数列an中, a 12 且anf an1（1）写出an的前四项,并猜想a n 的表达式,用数学归纳法证明

14、；（2）求 lim na2 n1；2nn 31,用数学归纳法证明略；（3） b na nn 3n1nN,求 bn的前 n 项之和 Sn ；a解：（1） a12 , a 210,a328,a 482,猜想ann 3（2） lim nn 3n1n1lim n2111；123n3（3） bn3 n1n 33 n113 n3 n113 n3n1113n1n 33 n112Sn1321313313213n113n11p3, ,213n1122【例 9】已知数列an：a 01 ,anp|an1|1 nN* ,0p1 ,（）归纳出an的公式,并证明你的结论；（）求证：1an0 .p解：（）a 01a21p1

15、1p2,a 3p1p21p1p1p推测an11pn,数学归纳法证明（略）. p（）0|p n|,1an;0而an11ppn10 ,p1pn , a n 与 2 的等差an1,得1an0.pp【例 10】设 an是正数组成的数列,其前n 项和为 Sn ,并且对于全部的自然数中项等于 Sn 与 2 的等比中项；（1）写出数列的前3 项；b 2 b nn（2）求数列an的通项公式（写出推证过程）；（3）令 b n1a nn1a n1nN,求lim nb 12aan解：（1）当 n1 时,有a 1222S 1,S 1a1,a1222a1,解得a12,a 2 2当 n 2 时,有 2 S 2,S 2 a

16、 1 a 2,2将 a 1 2 代入,整理得 a 2 2 216 .由 a 2 0,解得 a 2 6当 n 3 时,有 a 3 22 S 3,S 3 a 1 a 2 a 3,2将 a 1 2,a 2 6 代入,整理得 a 3 2 264,由 a 3 0,解得 a 3 10故该数列的前 3 项为 2,6,10；（2）由（ 1）猜想数列 a n 的通项公式 a n 4 n 2 ；下面用数学归纳法证明数列 an 的通项公式是 a n 4 n 2 n N ；当 n 1 时,由于 4 1 2 2,又在（ 1）中已求出 a1 2 ,所以上述结论成立；假设 n k 时结论成立,即有 a k 4 k 2 ,由

17、题意有 a k 22 S k22将 a k 4 k 2 代入上式,得 2 k 2 S k,解得 S k 2 k；由题意有,a k 1 2 2 S k 1,S k 1 S k a k 1,将 S k 2 k 2代入,得22a k 1 22 a k 1 2 k 2 整理得 a k 21 4 a k 1 4 16 k 202由 a k 1 0 ,解得 a k 1 2 4 k,所以 a k 1 2 4 k 4 k 1 2这就是说,当 n k 1时,上述结论成立；依据、上述结论对任意 n N 成立；（3）令 c n b n 1 ,就1 a n 1 a nc n 22 a n a n 11 2 n 1 2

18、 n 11 12 2 n 1 2 n 11 12 n 1 2 n 1四、巩固练习（一）基础练习1. 已知整数对的序列如下：1,1,1,2,2,1,1,3,2,2,3,1,1,4,2,3,3,2,4,1,1,5,2,4, ,就第 60 个数对是 _解析 此题规律： 21 1；31221；4132231；514233241； ；一个整数 n 所拥有数对为 n1对设 123 n160,n1n 260,n11 时仍多 5 对数,且这 5 对数和都为 12,12111210394857,第 60 个数对为 5,72. 已知数列an的前 n 项和S nn2ann2,而1a1,通过运算a2,a3,a4,猜想

19、an（ A ）A n2Bn 21 C2n21D2211 2A ）nn3. 等比数列an的首项 a11,前n项和S n,如S 1031,就 lim nS n等于（S 532A 2B2 3C 2 D2 ）34. 已知数列an满意 S n1a n1,就lim na1a3a5a2n1的值是（4A 3 2B3C2 3D1 2解：由已知S n1an1先确定a n, 4由 S n1an1,得S n11an1144 S n1S n1an1an,即an11an1an44得 an11an,故a是公比为1的等比数列33由 S 11a11,即a 11a 11 得a 14443故数列 a1, a3, a5, , a n

20、1是首项为4, 公比为121的等比数列；3394 lim na1a3a5a2n11313, 选 A 295. 在数列 an 中, a11 3且 Snn2n 1an,通过运算解析 当 n 2 时, a1a26a2,即 a21 5a1 1 15；当 n3 时, a1a2 a3 15a3,即 a31 14a1a235；1a2,a3,a4,猜想 an 的表达式是 _当 n4 时, a1a2 a3 a428a4,5an即 a41 27a1a2a31 63. a11 3 1 13,a2 1 15 1 35,a3 1 35 1 57, a4 1 79,故猜想 an1 2n12n1. 6. 设数列an的前 n 项和为 Sn,已知 Sn=2nan（nN+）,通过运算数列的前四项,猜想7. 如 lim nn xn3n1n 31,就实数 x 的取值范畴是；2