基于正交有限脊波变换的图像压缩

1、基于正交有限脊波变换的图像压缩摘要对于纹理线奇异性丰富的图像，脊波可以获得比小波更加稀疏的表示。统计说明边缘表示了图像的主要信息。利用脊波对“线奇异性图像的最优逼近的思想，设计出基于正交有限脊波变换的图像压缩算法。通过对图像的脊波系数进展量化和编码到达压缩图像的目的。实验结果说明,与基于小波的压缩算法相比,该算法能获得更高的压缩率，同时保持较高的峰值信噪比和良好的重建图像视觉效果。关键词图像压缩；脊波变换；稀疏表示；算术编码小波的出如今许多领域获得了广泛的应用，并迅速成为诸多学科的重要分析工具之一。小波变换以其良好的时频局域特性以及多分辨分析才能在数字信号处理和数字图像压缩方面获得了宏大的成功

2、12。在新的静止图像压缩标准IS15444即JPEG2000中就是把小波变换作为其核心技术。但是小波变换只能反映信号的零维奇异性，对于具有二维分段光滑的信号或一维直线奇异性的图像，小波变换却不是最“稀疏的表示方法34。自然图像中包含有大量的纹理特征，线奇异性表现比拟突出，小波变换不能到达最优的逼近5。为了克制小波的这种缺乏，ands等人提出了一种新的多尺度变换脊波变换Ridgelettransfr3，它特别合适于具有直线或超平面奇性的高维信号的描绘，可以有效地处理二维图像的线奇异性，较好的对此类信号进展“逼近，是比小波更好的稀疏表示图像的工具5。本文利用正交有限脊波变换对图像进展分解，然后对变

3、换后的系数进展量化和熵编码，以到达图像压缩的目的。实验说明,同基于小波变换的压缩算法相比,该算法能进步图像的压缩比,同时保持较低的失真度。1.1连续脊波变换给定一个双变量可积的函数f(x)，它在R2空间二维实空间上的二维连续脊波变换2Dntinuusridgelettransfr34定义为：1其中是二维的脊波函数，它的定义为：(2)式2中，是小波类的一维函数，参数满足如下的条件：a0，bR，。脊波逆变换可以通过如下的公式完成：(3)考虑到在R2空间上小波变换可以写成如下式子：4式中二维小波函数是由一维小波所长成的，即满足：5其中一维小波。可以看出脊波变换和二维小波变换非常类似，只是脊波用线参数

4、来代替小波中的点参数。小波在处理具有孤立的点奇异性图像时非常有效，而脊波变换在表示线奇异性图像时表现更优。实际上，我们可以把脊波变换看成是在直线上的一维小波变换。而在二维空间点和直线是通过Radn变换联络在一起的。Radn变换可以写作为：(6)由(6)式可见，f(x)的Radn变换是f(x)沿不同方向的投影；而f(x)的脊波变换看作是先对f(x)进展Radn变换，然后沿着每个积分方向做一维小波变换的结果，即：(7)正因为脊波变换在Radn域上对各个方向进展一维小波变换，将图像的线奇异性转换为点奇异性，充分利用小波变换对点奇异性的良好表示特性来得到具有线奇异性图像的稀疏表示。脊波逆变换可以通过沿

5、每一方向做一维小波逆变换，然后进展Radn逆变换得到。1.2有限脊波变换脊波变换离散化是通过离散Randn变换外加离散小波变换得到。然而Randn变换的离散化是一个比拟复杂的问题，在众多的离散化算法中，有些存在大量的冗余，有些虽然克制了大的冗余度，但是得到其所对应的逆变换又比拟困难。其中有限Radn变换FRATFiniteRadnTransfr67是其中比拟好的离散化算法之一。有限Radn变换是有限大小的二维离散图像实现Radn变换的离散化方法。一个NNN要求是一个素数大小的图像f(i,j)，其中0,1,2,N1。它的有限Radn变换FRAT定义为：(8)其中，是满足斜率k和截距l的直线上的所

6、有象素点的集合，定义如下：,当k0,1,2,N1,当(9)由式8(9)可知，有限Radn变换是满足要求的直线上的图像象素点灰度值的累加和。一个NN大小的图像经有限Radn变换后，将得到(N1)N大小的矩阵，它有N1个斜率方向，每个方向上有N个系数。有限Radn变换的逆变换可以通过有限逆投影变换FBPFiniteBakPrjetin来得到：(10)其中Pij指的是所有通过点(i,j)的直线的斜率k和截距l的集合，即：(11)为了获得更好的能量集中性，由式(8)和(10)所定义的有限Radn变换FRAT和反变换FBP要求变换的图像均值为零8，对于均值不为零的图像可以在变换前先减去均值，以保证变换前

7、的图像均值为零；反变换回来后再加上图像均值即可恢复原图像。可逆的脊波变换可以通过在FRAT每个方向上进展一维离散小波变换得到，这种过程称作为有限脊波变换FRIT。考虑到FRAT系数的周期特性，所以小波变换也要选择周期性的小波。有限脊波变换的示意图如图1所示。1.3正交有限脊波变换FRAT变换本身具有一定的冗余，这种冗余可以通过采用一维小波变换来去除，由此可以获得正交有限脊波变换。当小波变换采用正交树构造滤波器组，所有小波基函数具有零均值时，可以得到正交FRIT变换。inhN.D等在文献8中已经证明只要满足Z条件nditinZ的基函数，就可以定义正交有限脊波变换如下：12在小波对FRAT的方向系

8、数进展每一层分解过程中，将把系数的冗余都放到尺度系数中，而当小波采用最大分解层数时，各个不同的方向上的尺度系数是一样的，所以我们可以只保存一个系数以去除这种冗余性，这样就得到了非冗余的正交FRIT变换。图像压缩在于对图像的量化和编码上，假如待压缩的矩阵元素中小系数分布比拟广泛，同时小系数所代表的内容为整个图像的次要内容时，压缩效果就比拟明显。由于FRIT对图像的稀疏表示，使其在图像矩阵分解后的系数矩阵中大系数较少，大局部都是小系数，非常合适进展图像压缩。本文采用正交有限脊波变换对图像进展分解,考虑到有限脊波变换要求输入图像的尺寸为素数大小，所以先要对图像进展预处理。算法描绘：1将图像转换为素数

9、大校2提取图像的均值。3用正交有限脊波变换对零均值矩阵进展分解。4对系数进展标量量化。5对量化后的矩阵进展扫描、算术编码。在使用正交有限脊波变换时，采用了正交小波db9/7,量化采用循环逐级量化，以此可以控制调节压缩率，扫描方式为逐列扫描。对于许多测试的图像来看，算术编码一般比赫夫曼编码有更高的压缩效率，所以在这里采用算术编码。在对图像矩阵进展正交有限脊波变换之前提取出图像的均值，是为了使得变换矩阵有更好的能量集中性8。为了证明压缩的有效性，本文用这种算法对标准图像Lenna(2562568bit)和Huse(2562568bit)进展的实验，并且同小波变换压缩算法进展了比拟。为了使得比拟有意

10、义，小波也采用db9/7，扫描方式用zigzag方式，并且采用一样的算术编码方法。图2给出了Lenna标准测试图像用正交有限脊波变换压缩时在不同压缩率下的重建图像。表1给出了在不同的压缩比下，两种方法分别对两个标准图像的进展压缩后重建图像的峰值信噪比PSNR。图3给出了Lenna图像在这两种压缩算法下的压缩性能比拟。很明显可以看出，本文方法有比拟好的压缩效果。在一样的压缩比下，正交有限脊波变换可以获得比小波变换更高的峰值信噪比。对于含有明显的直线奇异特征的图像，压缩性能更好。表1两种方法重建图像的峰值信噪比3结论本文阐述了正交有限脊波变换FRIT理论及实现方法，并将此变换理论应用于图像压缩领域

11、。由于FRIT的描绘线奇异性的优势，在表征图像方面比小波有更严密地支撑特性，用其对图像进展压缩具有很好的效果。实验说明应用正交有限脊波变换对图像进展压缩，可以正确地重建图像，并且在比拟高的压缩率下有较高的信噪比，其重建图像也有很好的主观视觉效果。通过比照试验，我们完全可以看出本文方法是比小波压缩更好的压缩算法。同小波压缩相比，它进步了压缩性能和图像复原的质量。本文的后继工作就是找出正交有限脊波系数的特点，利用其系数的一些相关性有效的去除冗余，进步压缩效率。图3Lenna图像在两种压缩算法下的压缩性能1allatS.ATheryfrultireslutinsignaldepsitins:Thea

12、veletrepresentatinJIEEETrans.nPAI,1989,7(11):674-693.2DaubehiesI.rthnralbaesefpatlysupprtedaveletJ.nPureandAppl.ath.1998,4(31):532-540.3andsEJ.Ridgelets:TheryandAppliatinsA.Ph.D.Thesis,DepartentfStatistis,StanfrdUniversity,19984andsEJ,DnhDL.Ridgelets:akeythigher-diensinalinterittenyJ.PhilTransRSLndA,1999,357:2495-2509.5焦李成,谭山，刘芳.脊波理论：从脊波变换到urvelet变换J.工程数学学报，2022,225:761-7736BeylkinG.DisreteRadntransfrJ.IEEETransASSP,1987,351:162-172.7Frantis