初中数学北师大版八年级下册第一章三角形的证明本章复习与测试-整合提升密码

1、专训1.构造全等三角形的六种常用方法名师点金：在进行几何题的证明或计算时，需要在图形中添加一些辅助线，辅助线能使题目中的条件比较集中，能比较容易找到一些量之间的关系，使数学问题较轻松地解决常见的辅助线作法有：构造法、平移法、旋转法、翻折法、倍长中线法和截长补短法，目的都是构造全等三角形 翻折法1如图，在ABC中，BE是ABC的平分线，ADBE，垂足为D.求证：21C.(第1题) 构造基础三角形法2如图，在RtABC中，ACB90，ACBC，点D为BC的中点，CEAD于点E，其延长线交AB于点F，连接DF.求证：ADCBDF.(第2题) 旋转法3如图，在正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为C

2、D上的一点，BEDFEF，求EAF的度数(第3题) 平移法4在ABC中，BAC60，C40，AP平分BAC交BC于点P，BQ平分ABC交AC于点Q，且AP与BQ相交于点O.求证：ABBPBQAQ.(第4题) 倍长中线法5如图，在ABC中，D为BC的中点(1)求证：ABAC2AD；(2)若AB5，AC3，求AD的取值范围(第5题) 截长补短法6如图，ABCD，CE，BE分别平分BCD和CBA，点E在AD上求证：BCABCD.(第6题)专训2.三角形中的五种常见证明类型名师点金：学习了全等三角形及等腰三角形的性质和判定后，与此相关的几何证明题的类型非常丰富，常见的类型有：证明数量关系，位置关系，线

3、段的和差关系，倍分关系，不等关系等 证明数量关系题型1证明线段相等1如图，在ABC中，ABAC，D是BC的中点，E，F分别是AB，AC上的点，且AEAF，求证：DEDF.(第1题)题型2证明角相等2如图，在ABC中，ABAC，AD平分BAC.求证：DBCDCB.(第2题) 证明位置关系题型1证明平行关系3已知ABC为等边三角形，点P在AB上，以CP为边长作等边三角形PCE.求证：AEBC.(第3题)题型2证明垂直关系4如图，在ABC中，ABAC，点D，E，F分别在边BC，AB，AC上，且BDCF，BECD，G是EF的中点，求证：DGEF.(第4题) 证明倍分关系5如图，在ABC中，ABAC，A

4、D，BE是ABC的高，AD，BE相交于点H，且AEBE，求证：AH2BD.(第5题) 证明和、差关系6如图，在ABC中，ABC2C，AD平分BAC，求证：ABBDAC.(第6题) 证明不等关系7如图，AD是ABC中BAC的平分线，P是AD上的任意一点，且ABAC，求证：ABACPBPC.(第7题) 证明面积关系6如图，已知RtABC中，ABCA，ACB90，D为AB边的中点，EDF90，EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC，CB(或它们的延长线)于点E，F.(第8题)当EDF绕D点旋转到DEAC于点E时(如图)，易证SDEFSCEFeq f(1,2)SABC.当EDF绕D点旋转到DE和AC不垂

5、直时，在图和图这两种情况下，上述结论是否仍成立？若成立，请给予证明；若不成立，SDEF、SCEF、SABC又有怎样的关系？请写出你的猜想，不需证明专训3.全章热门考点整合应用名师点金：三角形的证明是中考的必考点，考查方式以填空题、选择题和中档解答题为主主要考查等腰三角形、直角三角形中角度、边长的计算或证明角、线段相等或推导角之间的关系及线段之间的关系，利用线段的垂直平分线、角的平分线的性质作图也是常见的题型本章考点可概括为：三个概念，六个性质，四个判定，四个技巧，一个应用 三个概念概念1反证法1用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45”时，应先假设()A有一个锐角小于45B每

6、一个锐角都小于45C有一个锐角大于45 D每一个锐角都大于452求证：在一个三角形中，如果两个角不相等，那么它们所对的边也不相等概念2互逆命题3有下列这些命题：直角都相等；内错角相等，两直线平行；如果ab0，那么a0，b0；相等的角都是直角；如果a0，b0，那么ab0；两直线平行，内错角相等(1)和是互逆命题吗？(2)你能说明和的逆命题各是什么吗？(3)请指出哪几个命题是互逆命题概念3互逆定理4下列三个定理中，存在逆定理的有()个(1)有两个角相等的三角形是等腰三角形；(2)全等三角形的周长相等；(3)同位角相等，两直线平行A0B1C2D35写出下列各命题的逆命题，并判断是不是互逆定理(1)全

7、等三角形的对应边相等；(2)同角的补角相等 六个性质性质1全等三角形的性质6如图，已知ABCADE，BC的延长线交DE于点F.若D25，AED105，DAC10，求DFB的度数(第6题)性质2等腰三角形的性质7如图，已知ABAC，ADAE，求证：BDCE.(第7题)性质3等边三角形的性质8如图，已知ABC和BDE均为等边三角形，求证：BDCDAD.(第8题)性质4直角三角形的性质9如图，在ABC中，AD是BC边上的高线，BE是一条角平分线，AD，BE相交于点P，已知EPD125，求BAD的度数(第9题)性质5线段垂直平分线的性质10如图，在ABC中，ABAC，A120，AB的垂直平分线MN分别

8、交BC，AB于点M，N.求证：CM2BM.(第10题)性质6角平分线的性质11如图，已知在RtABC中，A90，BD是ABC的平分线，DE是BC的垂直平分线试说明BC2AB.(第11题) 四个判定判定1三角形全等的判定12(2023南充)如图，在ABC中，ABAC，ADBC，CEAB，AECE.求证：(1)AEFCEB；(2)AF2CD.(第12题)判定2等腰(边)三角形的判定13如图，在四边形ABCD中，ABBCCDDA，BD60，连接AC.点E，F分别在BC，CD上，BECF.求证：(1)ABEACF；(2)AEF是等边三角形(第13题)判定3直角三角形的判定14如图，P是等边三角形ABC

9、内的一点，连接PA，PB，PC，以BP为边作PBQ60，且BQBP，连接CQ，PQ.(1)观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论；(2)若PAPBPC345，试判断PQC的形状，并说明理由(第14题)判定4线段的垂直平分线与角平分线的判定15(2023株洲)如图，在RtABC中，C90，BD是RtABC的一条角平分线，点O，E，F分别在BD，BC，AC上，且四边形OECF是正方形(1)求证：点O在BAC的平分线上；(2)若AC5，BC12，求OE的长(第15题) 四个技巧技巧1构造全等三角形16如图，E是BC的中点，点A在DE上，且BAECDE.求证：ABCD.(第16题)技巧2构

10、造等腰三角形的“三线合一”17如图，已知ADAE，BDCE，试探究AB和AC的大小关系，并说明理由(第17题)技巧3构造线段垂直平分线上的点到线段两端的线段18如图，在ABC中，B，AB的垂直平分线交AB于点Q，交BC于点P，PEAC于E，ADBC于D，AD，PE交于F，求证DFDC.(第18题)技巧4构造角平分线上的点到角两边的垂线段19如图，ABBC，DCBC，E是BC的中点，AE平分BAD.求证：DE平分ADC.(第19题) 一个应用最短路线的应用20如图，A，B两点在直线l的两侧，在直线l上找一点C，使点C到点A，B的距离之差最大(第20题)答案专训11证明：如图，延长AD交BC于点F

11、.(相当于将AB边向下翻折，与BC边重合，A点落在F点处，折痕为BE)BE平分ABC，ABECBE.BDAD，ADBBDF90.在ABD和FBD中，eq blc(avs4alco1(ABDFBD，,BDBD，,ADBFDB90，)ABDFBD(ASA)2DFB.又DFB1C，21C.(第1题)2证明：如图，过点B作BGBC交CF的延长线于点G.ACB90，2ACF90.CEAD，AEC90.1ACF180AEC1809090.12.在ACD和CBG中，eq blc(avs4alco1(12，,ACCB，,ACDCBG90，)ACDCBG(ASA)ADCG，CDBG.点D为BC的中点，CDBD.

12、BDBG.又DBG90，DBFBAC45，GBFDBGDBF904545.DBFGBF.在BDF和BGF中，eq blc(avs4alco1(BDBG，,DBFGBF，,BFBF，)BDFBGF(SAS)BDFG.ADCBDF.(第2题)点拨：本题运用了构造法，通过作辅助线构造CBG，BGF是解题的关键3解：如图，延长CB到点H，使得BHDF，连接AH.ABE90，D90，DABH90.在ABH和ADF中，eq blc(avs4alco1(ABAD，,ABHADF90，,BHDF，)ABHADF.AHAF，BAHDAF.BAHBAFDAFBAF.即HAFBAD90.BEDFEF，BEBHEF，

13、即HEEF.在AEH和AEF中，eq blc(avs4alco1(AHAF，,AEAE，,EHEF，)AEHAEF.EAHEAF.EAFeq f(1,2)HAF45.(第3题)点拨：图中所作辅助线，相当于将ADF绕点A顺时针旋转90，使AD边与AB边重合，得到ABH.(第4题)4证明：如图，过点O作ODBC交AB于点D，ADOABC.BAC60，C40，ABC80.ADO80.BQ平分ABC，QBC40.AQOCQBC80.ADOAQB.易知DAOQAO，OAOA，ADOAQO.ODOQ，ADAQ.又ODBP，PBODOB.又PBODBO，DBODOB.DOB是等腰三角形BDOD.BDOQ.B

14、AC60，ABC80，BQ平分ABC，AP平分BAC，BAP30，ABQ40，BOP70.BAP30，ABC80，APB70.BOPAPB，BOP是等腰三角形，BOBP.ABBPADDBBPAQOQBOBQAQ.(第5题)5(1)证明：如图，延长AD至点E，使DEAD，连接BE.D为BC的中点，CDBD.又ADED，ADCEDB，ADCEDB.ACEB.ABBEAE，ABAC2AD.(2)解：ABBEAEABBE，ABAC2ADABAC.AB5，AC3，22AD8.1AD0，而的结论是ab0，故不是由交换命题的题设和结论得到的，所以和不是互逆命题(2)的逆命题是如果a0，b0，那么ab0.的逆

15、命题是如果ab0，那么a0，b0.(3)与、与分别是互逆命题4C5解：(1)逆命题：三条边对应相等的两个三角形全等原命题与其逆命题都是真命题，所以它们是互逆定理(2)逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的补角，原命题是真命题，但其逆命题是假命题，所以它们不是互逆定理6解：D25，AED105，DAE50.又ABCADE，BD25，ACBAED105，BACDAE50.DAC10，BAD60，AMFBADB602585，DFBAMFD852560.7证明：(方法1：等边对等角)ABAC，ADAE，BC，ADEAED，BADADEBAEDCCAE.在ABD和ACE中，eq blc(avs

16、4alco1(BC，,ABAC，,BADCAE，)ABDACE，BDCE.(第7题)(方法2：三线合一)如图，过点A作AFBC于点F.ABAC，BFCF.又ADAE，DFEF，BFDFCFEF，即BDCE.8证明：ABC，BDE均为等边三角形，BEBDDE，ABBC，ABCEBD60.ABEEBCDBCEBC.ABEDBC.在ABE与CBD中，eq blc(avs4alco1(ABCB，,ABECBD，,BEBD，)ABECBD(SAS)，AECD.又ADAEED，EDBD，BDCDAD.点拨：利用等边三角形的性质证明线段间的和差关系问题时，往往结合具体问题选择三角形全等的判定方法，再运用全等

17、三角形的性质进行线段之间关系的论证9解：AD是BC边上的高线，EPD125，CBEEPDADB1259035.BE是一条角平分线， ABD2CBE23570.在RtABD中，BAD90ABD907020.10证明：如图，连接AM，(第10题)MN是AB的垂直平分线，AMBM，MABB.又ABAC，BAC120，BC30，MAB30，MAC90.C30，CM2AM，CM2BM.11解：因为DE是BC的垂直平分线，所以BEEC，DEBC.因为A90，所以DAAB.又BD是ABC的平分线，所以DADE.又BDBD，所以RtABDRtEBD，所以ABBE，所以BC2AB.12证明：(1)ADBC，BB

18、AD90. CEAB，BBCE90.EAFECB.在AEF和CEB中，eq blc(avs4alco1(AEFCEB90，,AECE，,EAFECB，)AEFCEB.(2)AEFCEB，AFBC.ABAC，ADBC，CDBD，BC2CD.AF2CD.13证明：(1)ABBC，B60，ABC是等边三角形ABAC.同理可得ACD为等边三角形，ACD60.在ABE和ACF中，ABAC，BACF60，BECF，ABEACF.(2)ABEACF，AEAF，BAECAF.BAEEAC60，CAFEAC60，即EAF60.AEF是等边三角形14解：(1)APCQ.证明：ABC是等边三角形，ABCB.ABCP

19、BQ60，ABPABCPBCPBQPBCCBQ.又BPBQ，ABPCBQ.APCQ.(2)PQC是直角三角形理由如下：由PAPBPC345.可设PA3a，PB4a，PC5a(a0)在PBQ中，由于PBBQ4a，PBQ60，PBQ是等边三角形，PQ4a.又由(1)知APCQ，PQ2QC2PQ2AP216a29a225a2PC2.PQC是直角三角形15(1)证明：如图，过点O作OMAB于点M.四边形OECF是正方形，OEECCFOF，OEBC于点E，OFAC于点F.BD平分ABC，OMOEOF.OMAB于点M，OFAC于点F，点O在BAC的平分线上(第15题)(2)解：AC5，BC12，AB13.

20、设OEx.则AFAM5x，BEBM12x.BMAMAB13，12x5x13，解得x2.OE2.16思路导引：观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证ABCD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形，进行证明证明：(方法1)如图，延长DE至点F，使EFDE，连接BF.BECE，BEFCED，EFDE，BEFCED(SAS)，BFCD，FCDE.又BAECDE，FBAE，BFAB，ABCD.(第16题)(方法2)如图，分别过点B，C作BFAE，交AE的延长线于点F，CGAE，交AE于点G.BEFCEG，BFECGE90，BECE，

21、BEFCEG(AAS)，BFCG.又AFBDGC90，BAFCDG，ABFDCG(AAS)，ABCD.(方法3)如图，过点C作CFAB，交DE的延长线于点F，则BAEF.BEACEF，BECE，BEACEF(AAS)，ABFC.又DBAE，FD，CFCD，ABCD.点拨：添加辅助线构造全等三角形的方法：(1)如果两条线段分别在两个三角形中，并且这两个三角形明显不全等，无法直接证明这两条线段相等，此时需要寻找一条与这两条线段都相等的线段；(2)当题目中有线段的中点时，往往要寻找或构建中心对称型的全等三角形17解：ABAC.理由：因为ADAE，所以ADE是等腰三角形，取线段DE的中点F，连接AF，则AF既是ADE的中线，又是底边上