微积分基础知识演示文稿

1、微积分基础知识演示文稿第一页，共四十三页。微积分基础知识第二页，共四十三页。1. 分析基础: 函数 , 极限, 连续 2. 微积分学: 一元微积分(上册)(下册)3. 向量代数与空间解析几何4. 无穷级数5. 常微分方程二、主要内容多元微积分第三页，共四十三页。三、如何学习高等数学 ?1. 认识高等数学的重要性, 培养浓厚的学习兴趣.会运用数学能力。2. 学数学最好的方式是做数学.聪明在于学习 , 天才在于积累 .学而优则用 , 学而优则创 .由薄到厚 , 由厚到薄 .马克思 一门科学, 只有当它成功地运用数学时,才能达到真正完善的地步 .华罗庚第四页，共四十三页。3、极限的思维方法1） 计算

2、圆的周长圆内接正n 边形Or)第五页，共四十三页。第六页，共四十三页。abxyo3)计算曲边梯形面积曲边梯形面积为第七页，共四十三页。4)无穷级数第八页，共四十三页。具备的数学素质： 从实际问题抽象出数学模型的能力 计算与分析的能力 了解和使用现代数学语言和符号的能力 使用数学软件学习和应用数学的能力第九页，共四十三页。一、基本概念1.集合:具有某种特定性质的对象的全体.组成集合的事物称为该集合的元素.P（x)表示元素具有性质 第0章 基本知识第十页，共四十三页。2.邻域:第十一页，共四十三页。二、函数第十二页，共四十三页。函数类别： 显函数 y=f(x) 隐函数 F(x,y)=0 参量函数

3、初等代数函数(只含代数运算显函数） 分段表达函数 单值函数 多值函数基本初等函数（幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数）.第十三页，共四十三页。 (1) 符号函数几个特殊的函数举例1-1xyo第十四页，共四十三页。(2) 取整函数 y=xx表示不超过 的最大整数 1 2 3 4 5 -2-4-4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1-3xyo阶梯曲线第十五页，共四十三页。有理数点无理数点1xyo(3) 狄利克雷函数第十六页，共四十三页。(4) 取最值函数yxoyxo 在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的式子来表示的函数,称为分段函数.第十七页，共四十三页。复合函数定义: 设

4、函数y=f(u),uU，函数u=(x), x X, 其值域为(X)=uu= (x), xX U，则称函数y=f(x)为x的复合函数。代入法第十八页，共四十三页。复合函数 则设有函数链称为由, 确定的复合函数 , 复合映射的特例 u 称为中间变量. 注意: 构成复合函数的条件 不可少. 例如, 函数链 :函数但函数链不能构成复合函数 .可定义复合第十九页，共四十三页。注:复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.复合函数代入法第二十页，共四十三页。 初等函数定义: 由基本初等函数经过有限次四则运算及有限次复合运算所构成并可用一个式子表示的显函数，称为初等函数。例：不是初等函数为初等函数不是初等函

5、数为初等函数可表为故为初等函数.第二十一页，共四十三页。双曲函数与反双曲函数奇函数.偶函数.双曲函数第二十二页，共四十三页。奇函数,有界函数,第二十三页，共四十三页。双曲函数常用公式第二十四页，共四十三页。2.反双曲函数奇函数,第二十五页，共四十三页。第二十六页，共四十三页。奇函数,第二十七页，共四十三页。三. 函数的几种特性设函数且有区间(1) 有界性使称 A为上界，B为下界。 (2) 单调性为有界函数.当时,称 为 I 上的单调增函数 ;称 为 I 上的单调减函数 .第二十八页，共四十三页。(3) 奇偶性且有若则称 f (x) 为偶函数;若则称 f (x) 为奇函数. 说明: 若在 x =

6、 0 有定义 ,为奇函数时,则当必有例如, 偶函数双曲余弦 记第二十九页，共四十三页。例1 判断函数 的奇偶性.解： f(x)是奇函数.例2 设f(x)在R上定义，证明f(x)可分解为一个奇函数与一个偶函数的和。证明：设显然 g(x)是偶函数，h(x)是奇函数,而 故命题的证. 第三十页，共四十三页。(4) 周期性且则称为周期函数 ,若称 l 为周期( 一般指最小正周期 ).周期为 周期为注: 周期函数不一定存在最小正周期 .例如, 常量函数狄里克雷函数x 为有理数x 为无理数第三十一页，共四十三页。四. 反函数若函数为单射,则存在逆映射习惯上,的反函数记成称此映射为 f 的反函数 .其反函数

7、(减)(减) .1) yf (x) 单调递增且也单调递增 性质: 第三十二页，共四十三页。2) 函数与其反函数的图形关于直线对称 .例如 ,对数函数互为反函数 ,它们都单调递增,其图形关于直线对称 .指数函数第三十三页，共四十三页。例1 证明若函数 y = f (x)是奇函数且存在反函数 x = f 1(y), 则反函数也是奇函数。证明：反函数是奇函数。例2解: 当x0时,y1,当x0时,y N2 时, 有收敛数列的极限唯一.使当 n N1 时, 假设从而矛盾.因此收敛数列的极限必唯一.则当 n N 时, 故假设不真 !满足的不等式第三十八页，共四十三页。两边夹准则证: 由条件 (2) ,当时,当时,令则当时, 有由条件 (1)即故 第三十九页，共四十三页。两边夹法则.若则：第四十页，共四十三页。例. 证明数列是发散的. 证: 用反证法.假设数列收敛 , 则有唯一极限 a 存在 .取则存在 N ,但因交替取值 1 与1 , 内,而此二数不可能同时落在长度为 1 的开区间 使当 n N 时 , 有因此该数列发散 .第四十一页，共四十三页。例(P10) 证明 若X2k-1a,X2ka(k), 则数列Xn收敛于a。证：对任0,K1,当kK1 时X2k 落在a-,a