(江苏专用)20182019学年高中数学第三章导数其应用34导数在实际生活中的应用学案苏教版选修11

1、3.4导数在实质生活中的应用学习目标：1.掌握利用导数解决简单的实质生活中的优化问题的方法对实质问题的研究，促使学生剖析问题、解决问题以及数学建模能力的提升(要点)2.经过(难点)自主预习探新知1导数的实质应用导数在实质生活中有着宽泛的应用，如用料最省、收益最大、效率最高等问题一般能够归纳为函数的最值问题，进而可用导数来解决2用导数解决实质生活问题的基本思路基础自测1判断正误：(1)应用导数能够解决全部实质问题中的最值问题()(2)应用导数解决实质应用问题，第一应成立函数模型，写出函数关系式()(3)应用导数解决实质问题需明的确际背景()【分析】(1).假如实质问题中所波及的函数不行导、就不可

2、以应用导数求解.求解实质问题一般要成立函数模型，而后利用函数的性质解决实质问题.要依据实质问题的意义确立自变量的取值【答案】(1)(2)(3)2生产某种商品x单位的收益L(x)500 x0.001x2，生产_单位这种商品时收益最大，最大收益是_【分析】L(x)10.002x，令L(x)0，得x500，当x500时，最大收益为750.【答案】500750合作研究攻重难面积容积的最值问题有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r，短半轴长为r，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上设CD2x，梯形的面积为S.求面积S对于x的函数，并写出其定义域；求面积S的最大值

3、.【导学号：95902246】思路研究(1)成立适合的坐标系，依据椭圆方程和对称性求面积S对于x的函数式；依据S的函数的等价函数求最大值【自主解答】(1)依题意，以AB的中点O为原点成立直角坐标系以下图，则点Cx2y2的坐标为(x，y)点C在椭圆上，点C知足方程r24r21(y0)，则y222rx(01xr)，S2(2x2r)222rx2(xr)22rx(0 xr)(2)记S4(xr)2(r2x2)(0 xr)S8(xr)2(r2x)1令S0，解得x2r或xr(舍去)当x变化时，S，S的变化状况以下表：x0，rrr，r222S0S33r22133r233r2x2r时，S获得最大值2，即梯形面积

4、S的最大值为2.规律方法1求面积、体积的最大值问题是生活、生产中的常有问题，解决这种问题的要点是依据题设确立出自变量及其取值范围，利用几何性质写出头积或体积对于自变量的函数，利用导数的方法来求解2选择成立适合的坐标系，利用点的坐标成立函数关系或曲线方程，以利于解决问题追踪训练1.在一个半径为1的半球资猜中截取两个高度均为h的圆柱，其轴截面如图3-4-1所示设两个圆柱体积之和为(h)Vf3-4-1求f(h)的表达式，并写出h的取值范围求两个圆柱体积之和V的最大值【解】(1)自下而上两个圆柱的底面半径分别为：r11h2，r21h2.它们的高均为h，所以体积之和22223Vf(h)r1hr2h(1h

5、)(14h)h(2h5h).由于02h1，所以h的取值范围是10，2.由f(h)(2h5h3)，得f(h)(215h2)，130令f(h)0，由于h0，2，得h15.所以当h30时，f()0；当301时，()0.215153030，1所以f(h)在0，上为增函数，在上为减函数，1515230所以当h15时，f(h)获得极大值也是最大值，f(h)的最大值为f30430.1545答：两个圆柱体积之和430V的最大值为.45用料最省、节能减耗问题如图3-4-2所示，有甲、乙两个工厂，甲厂位于向来线海岸的岸边A处，乙厂与甲厂在海岸的同侧，乙厂位于离海岸40km的B处，乙厂到海岸的垂足D与A相距50km

6、.两厂要在彼岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂铺设的水管花费分别为每千米3a元和5元，则供水站C建在哪处才能使水管花费最省？a【导学号：95902247】3-4-2思路研究先列出自变量，经过三角知识列出水管花费的函数，而后求导，依据单一性求出最小值【自主解答】设C点距D点xkm，则40km，(50)km，BDACx2222y元，依题意，BCBDCD40 x(km)又设总的水管花费为225ax得y3a(50 x)5ax40(0 x50)，则y3ax2402，令y0，解x30.当x0,30)时，y0，当x(30,50时，y0,当x30时函数获得最小值，此时5020(km)，即供水站建在，D

7、之间距ACxA甲厂20km处，可使水管花费最省规律方法1像本例节能减耗问题，背景新奇，信息许多，应正确掌握信息，正确理清关系，才能适合成立函数模型2实质生活顶用料最省、花费最低、消耗最小、最节俭时间等都需要利用导数求解相应函数的最小值，此时依据f()0求出极值点(注意依据实质意义舍弃不适合的极值点)x后，函数知足左减右增，此时唯一的极小值就是所求函数的最小值追踪训练2某工厂需要建一个面积为512m2的矩形堆料场，一边能够利用原有的墙壁，则要使砌墙所用的资料最省，则堆料场的长为_，宽为_【分析】以下图，设场所一边长为xm，则另一边长为512m，x512512512所以新墙总长度L2xx(x0)，

8、L2x2.令L2x20，得x16或x16.x0，x16.L在(0，)上只有一个极值点，它必是最小值点512x16，x32.故当堆料场的宽为16m，长为32m时，可使砌墙所用的资料最省【答案】16m32m收益最大问题研究问题1在相关收益最大问题中，常常波及“成本、单价、销售量”等词语，你能解说它们的含义吗？【提示】成本是指公司进行生产经营所耗资的钱币计量，一般包含固定成本(如建设厂房、购置机器等一次性投入)和可变为本(如生产过程中购置原料、燃料和工人薪资等费)，单价是指单位商品的价钱，销售量是指所销售商品的数目2什么是销售额(销售收入)？什么是收益？【提示】销售额单价销售量，收益销售额成本3依据

9、我们从前所掌握的解决实质应用问题的思路，你以为解决收益最大问题的基本思路是什么？【提示】在解决收益最大问题时，其基本思路以下图某科研小组研究发现：一棵水蜜桃树的产量w(单位：百千克)与肥料花费x(单位：百元)知足以下关系：43，且投入的肥料花费不超出5百元别的，还需要投wx1入其余成本(如施肥的人工费等)2x百元已知这种水蜜桃的市场售价为16元/千克(即16百元/百千克)，且市场需求一直求过于供记该棵水蜜桃树获取的收益为L(x)(单位：百元)求收益函数L(x)的函数关系式，并写出定义域；当投入的肥料花费为多少时，该水蜜桃树获取的收益最大？最大收益是多少？思路研究(1)收益收入总成本此中，收入产

10、量售价，总成本肥料花费其余成本；利用求导、列表、定最值3【自主解答】(1)当肥料花费为x百元时，收入为164x1百元，总成本为(x2x)百元348所以L(x)164x1(x2x)64x13x(百元)，此中x0,5(2)L()4823，0,5xx1x令L(x)0，得x3.列表以下：x0(0,3)3(3,5)5L(x)0L(x)极大值由上表可知，L(x)L(3)43.max答：当投入的肥料花费为300元时，该水蜜桃树获取的收益最大，最大收益是4300元规律方法解决最优化问题的一般步骤：.追踪训练3某食品厂进行蘑菇的深加工，每公斤蘑菇的成本为20元，而且每公斤蘑菇的加工费为t元(t为常数，且2t5)

11、，设该食品厂每公斤蘑菇的出厂价为x元(25x40)，依据市场检查，日销售量q与ex成反比，当每公斤蘑菇的出厂价为30元时，日销售量为100公斤(1)求该工厂的每天收益y元与每公斤蘑菇的出厂价x元的函数关系式；(2)若t5，当每公斤蘑菇的出厂价为多少元时，该工厂的每天收益最大？并求最大值.【导学号：95902248】kk30，x30100e30日销量qex，100e30 x20tyex(25x40)100e30 x25(2)当t5时，yex，100e30 xyex.y0，得25x26，由y0，得26x40，y在25,26)上单一递加，在(26,40上单一递减，4当x26时，ymax100e.故当

12、每公斤蘑菇的出厂价为26元时，该工厂的每天收益最大，最大值为100e4元建立系统当堂达标固双基1一个圆锥形漏斗的母线长为20，高为h，则体积V的表达式为_【分析】设圆锥的高为h，则圆锥的底面半径为r212400h，则V(400h)h.3【答案】1(400h2)h32某产品的销售收入1(万元)是产品x(千台)的函数，y117x2；生产总成本y2(万元)y也是x的函数，y22x3x2(x0)，为使收益最大，应生产_千台.【导学号：95902249】【分析】结构收益函数yy1218x22x3(x0)，36x62，yyxy0是x6(x0舍去)，x6是函数y在(0，)上独一的极大值点，也是最大值点即生产

13、6千台时，收益最大【答案】6260 x3某箱子的容积与底面边长x的关系为V(x)x(0 x60)，则当箱子的容积最大时，箱子底面边长为_【分析】()2x60 xx213260 x3(40)Vx222x2xx令V(x)0，得x40或x0(舍)不难确立x40时，V(x)有最大值即当底面边长为40时，箱子容积最大【答案】404做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其容积是27，且用料最省，则圆柱的底面半径_227【分析】设圆柱的底面半径为R，母线长为L，则VRL27，LR2.2227要使用料最省，只要使圆柱形表面积最小，S表R2RLR2R，54S表2RR2.令S0，解得R3.R(0,3)时，S表单一递减，R(3，)时，S表单一递加，当R3时，S表最小【答案】3235某厂生产某种产品x件的总成本c(x)120075x(万元)，已知产品单价的平方与产品件数x成反比，生产100件这样的产品单价为50万元，则产量定为