(完整word)2017年第二十二届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷试题(小高组a卷)

1、(完整word版)2017年第二十二届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷(小高组a卷)(完整word版)2017年第二十二届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷(小高组a卷)PAGE14第14页（共14页）(完整word版)2017年第二十二届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷(小高组a卷)2017年第二十二届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小高组A卷）一、填空题（每小题10分，共80分）1（10分）用表示不超过的最大整数，例如，则的值为 2（10分）从4个整数中任意选出3个，求出它们的平均值然后再求这个平均值和余下1个数的和，这样可以得到4个数：8、12、和，则原来给定的4个整数的

2、和为 3（10分）在的网格中（每个格子是个的正方形）放两枚相同的棋子，每个格子中最多放一枚棋子，共有 种不同的摆放方法（如果两种放法能够由旋转而重合，则把它们视为同一种摆放方法）4（10分）甲从地出发去找乙，走了80千米后到达地，此时，乙已于半小时前离开地去了地，甲已离开地2小时，于是，甲以原来的速度的2倍去地又经过了2小时后，甲乙两人同时到达地，则乙的速度是 千米小时5（10分）某校开设了书法和朗诵两个兴趣小组已知两个小组都参加的人数是只参加书法小组人数的，是只参加朗诵小组人数的，那么书法小组与朗诵小组的人数比是 6（10分）如图，的面积为100平方厘米，的面积为72平方厘米为边的中点，已知

3、厘米，则的长度为 厘米7（10分）一列数、，记为的所有数字之和，如，若，那么等于 8（10分）如图，六边形的六个顶点分别标志为，开始的时候“华罗庚金杯赛”六个汉字分别位于，顶点处将六个汉字在顶点处任意摆放，最终结果是每个顶点处仍各有一个汉字，每个字在开始位置的相邻顶点处，则不同的摆放方法共有 种二、解答题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）9（10分）平面上有5条不同的直线，这5条直线共形成个交点，则有多少个不同的数值？10（10分）某校给学生提供苹果、香蕉和梨三种水果，用作课间加餐每名学生至少选择一种，也可以多选统计结果显示：的学生选择苹果，的学生选择了香蕉的学生选了梨，那么三种水果都

4、选的学生数占学生总数至多是百分之几？11（10分）箱子里面有两种珠子，一种每个19克，另一种每个17克，所有珠子的重量为2017克，求两种珠子的数量和所有可能的值12（10分）使不为最简分数的三位数之和等于多少三、解答题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程）13（15分）班上共有60位同学，生日记为某月某号，问每个同学两个同样的问题：班上有几个人与你生日的月份相同？班上有几个人与你生日的号数相同（比如生日为1月12日与12月日的号数相同的）结果发现，在所得到的回答中包含了由0到14的所有整数，那么，该班至少有多少个同字生日相同？14（15分）将1至9填入图的网格中要求每个格子填一个整数，

5、不同格子填的数字不同，且每个格子周围的格子（即与该格子有公共边的格子）所填数字之和是该格子中所填数字的整数倍已知左右格子已经填有数字4和5，问：标有字母的格子所填的数字最大是多少？2017年第二十二届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小高组A卷）参考答案与试题解析一、填空题（每小题10分，共80分）1（10分）用表示不超过的最大整数，例如，则的值为6048【分析】可以先将原式化简，将每项化成带分数的形式，然后取整数部分，即可得出和【解答】解：根据分析，原式为：故答案是6048【点评】本题考查了高斯取整，本题突破点是：先将原式化简，将每项化成带分数的形式，然后取整数部分，即可得出和2（10分

6、）从4个整数中任意选出3个，求出它们的平均值然后再求这个平均值和余下1个数的和，这样可以得到4个数：8、12、和，则原来给定的4个整数的和为20【分析】根据题意，设原来给定的4个整数分别是、，则（1），（2），（3），（4），据此求出原来给定的4个整数的和是多少即可【解答】解：设原来给定的4个整数分别是、，（1），（2），（3），（4），（1）（2）（3）（4），可得，所以，所以原来给定的4个整数的和为20故答案为：20【点评】此题主要考查了平均数问题，要熟练掌握，解答这类应用题时，主要是弄清楚总数、份数、一份数三量之间的关系，根据总数除以它相对应的份数，求出一份数，即平均数3（10分）在的网

7、格中（每个格子是个的正方形）放两枚相同的棋子，每个格子中最多放一枚棋子，共有10种不同的摆放方法（如果两种放法能够由旋转而重合，则把它们视为同一种摆放方法）【分析】可以分情况讨论，四个顶点的位值一样，正中间的一个方格一个位值，剩下的四个方格位值相同，故可以分次三种情况分别计算不同的摆放方法【解答】解：根据分析，份三种情况：当正中间即处放一颗棋子，然后另一颗棋子放在外围任意一个位置，除去对称性因素，有2种不同的摆放方法，即、；当两颗棋子都不在正中间处时，而其中有一颗在顶点处时，有4种不同摆法，即、；当两颗棋子都在顶点处时，有2种不同摆法，即、；当两颗棋子都在除顶点和正中间之外的4个方格中，有2种

8、不同摆法，即、综上，共有：种不同摆放方法【点评】本题考查了排列组合，突破点是：分情况讨论，根据不同的位置求出总的不同摆放方法4（10分）甲从地出发去找乙，走了80千米后到达地，此时，乙已于半小时前离开地去了地，甲已离开地2小时，于是，甲以原来的速度的2倍去地又经过了2小时后，甲乙两人同时到达地，则乙的速度是64千米小时【分析】首先知道甲在2小时的路程是80千米，那么甲现在的速度和后来的速度都是可求的，再根据甲的时间和速度可求从到的路程，用路程除以乙的时间即是速度【解答】解：甲在2小时走80千米，甲速为：（千米时）；甲速度加速变成（千米时）；甲再经过2小时路程为：（千米时）乙路程共是160千米，

9、时间是小时，乙速为：（千米时）故答案为：64【点评】本题考查对追及问题的理解和运用，同时关键在求出之间的路程，隐含中知道乙的时间是小时问题解决5（10分）某校开设了书法和朗诵两个兴趣小组已知两个小组都参加的人数是只参加书法小组人数的，是只参加朗诵小组人数的，那么书法小组与朗诵小组的人数比是【分析】把两个小组都参加的人数看作单位“1”，则只参加书法小组人数的分率是，只参加朗诵小组人数的分率是，则参加书法小组人数的分率是，参加朗诵小组人数的分率是，然后根据比的意义解答即可【解答】解：把两个小组都参加的人数看作单位“1”，答：书法小组与朗诵小组的人数比是故答案为：【点评】本题关键是把中间量两个小组都

10、参加的人数看作单位“1”，然后都统一到这个单位“1”就容易解答了6（10分）如图，的面积为100平方厘米，的面积为72平方厘米为边的中点，已知厘米，则的长度为厘米【分析】可以利用面积公式分别求出、的高，而已知厘米，再利用的中位线性质求出的长度【解答】解：根据分析，过，分别作交于，交于，如图：的面积，厘米，的面积，厘米；又厘米故答案是：【点评】本题考查了三角形面积，本题突破点是：利用三角形面积公式先求出高，再利用中位线的关系求出的长7（10分）一列数、，记为的所有数字之和，如，若，那么等于10【分析】首先要分析清楚的含义，即是一个自然数，表示的数字和，再根据的递推式列出数据并找出规律【解答】解：

11、表示自然数的数字和，又，在下表中列出，2，3，4，时的和，120171022243145499514561457101866977101341111212661388141451513416991713418134198820123211122255237724123251012644275528992914530145311013266由上表可以得出：，；，；可以得到规律：当时，所以：【点评】本题重点是弄清楚的含义，通过地推找到规律，再进行求解8（10分）如图，六边形的六个顶点分别标志为，开始的时候“华罗庚金杯赛”六个汉字分别位于，顶点处将六个汉字在顶点处任意摆放，最终结果是每个顶点处仍各有

12、一个汉字，每个字在开始位置的相邻顶点处，则不同的摆放方法共有4种【分析】显然，只有两种情况，分别讨论，相邻两个字互换，以及顺时针移动一个位值，或逆时针移动一个位值，最后可以求得总的不同的摆放方法【解答】解：根据分析，分两类情况：按顺序移动一个位置，顺时针移动一个位置，有1种不同摆放方法，逆时针移动一个位置，有1种不同摆放方法；相邻两个位置互换，则共有：2种不同的摆放方法综上，共有：种不同摆放方法故答案是：4【点评】本题考查排列组合，突破点是：分情况讨论，相邻两个字互换，以及顺时针移动一个位值，或逆时针移动一个位值，最后求和二、解答题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）9（10分）平面上有

13、5条不同的直线，这5条直线共形成个交点，则有多少个不同的数值？【分析】按题意，可以分类讨论，最后确定的取值【解答】解：根据分析，即5条直线互相平行；，即五条直线交于一点；，3，不存在；，5，6，7，8，9，10的情况分别如下图：的取值共有9种不同的数，故答案是：9【点评】本题考查了组合图形的计数，本题突破点是：分类讨论，确定的取值10（10分）某校给学生提供苹果、香蕉和梨三种水果，用作课间加餐每名学生至少选择一种，也可以多选统计结果显示：的学生选择苹果，的学生选择了香蕉的学生选了梨，那么三种水果都选的学生数占学生总数至多是百分之几？【分析】将所有学生分成四种，即三种水果都选的人数、同时选苹果和

14、香蕉的人数、同时选梨和苹果的人数、同时选香蕉和梨的人数，再根据选每种水果的人数列关系式，再利用各个取值范围求出三种水果都选的人数最大值【解答】解：根据分析，设学生总数为100人，故70人的学生选择苹果，40人的学生选择了香蕉30人的学生选了梨，三种水果都选的学生人数有人，同时选了苹果和香蕉的人数有人，同时选了梨和苹果的人数有人，同时选了香蕉和梨的人数有人，则：，又，故当时，取最大值20，即占总数的故答案是【点评】本题考查了分数和百分数的应用，本题突破点是：根据容斥原理列出三种水果都选的人数与总数及两种都选的人数的关系式，再求解11（10分）箱子里面有两种珠子，一种每个19克，另一种每个17克，

15、所有珠子的重量为2017克，求两种珠子的数量和所有可能的值【分析】按题意，可以设每个重量的数量为未知数，19克的珠子有个，17克的珠子有个，再列出关系式，根据正整数的范围逐步取值，最后找出符合题意的值【解答】解：根据分析，设有个19克的珠子，个17克的珠子，则有：，又，均为正整数，；，由余数定理，要使为正整数，必须能被19整除，即余数为0，而2017被9除余数为3，故被19除余数也为3，在所有被19除余数为3既小于2017又能被17整除的数只有：136，即，；459，即，；782，即，；1105，即，；1428，即，；1751，即，综上，两种珠子的数量和即所有可能的值是：107、109、111

16、、113、115、117故答案是：107、109、111、113、115、117【点评】本题考查了不定方程的分析求解，本题突破点是：通过列出关系式，再根据未知数的范围确定取值12（10分）使不为最简分数的三位数之和等于多少【分析】不为最简，表明，根据辗转相除原理有即，则只能等于7，我们可以用尝试来锁定答案，一次尝试可知或6或11或16或21，因为，所以时成立，此时为最小值，且为4，其它值即可顺次找出，只需要将4递加7即可，题中让我们求的是符合条件的三位数，那么最小为102，最大为998，此后利用等差数列求和即可【解答】解：不为最简，表明，根据辗转相除原理有即，则只能等于7，一次尝试可知或6或1

17、1或16或21，因为，所以时成立，此时为最小值，且为4，将4递加7即可，符合条件的三位数，那么最小为102，最大为998，答：使不为最简分数的三位数之和等于70950【点评】考查了辗转相除原理，等差数列求和公式，关键是得到符合条件的三位数，最小为102，最大为998三、解答题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程）13（15分）班上共有60位同学，生日记为某月某号，问每个同学两个同样的问题：班上有几个人与你生日的月份相同？班上有几个人与你生日的号数相同（比如生日为1月12日与12月日的号数相同的）结果发现，在所得到的回答中包含了由0到14的所有整数，那么，该班至少有多少个同字生日相同？【分

18、析】同月份和同号数的回答取遍0到14，即同月份和同号数的人数取遍1到15，进而分析求解【解答】解：回答中包含了由0到14的所有整数，也就是说每种回答包含的学生数量是1到15由于，因此不论是回答同月，还是回答同号，同月份和同号数的人数的数字不会重复（比如说，某一月份生日的人有3个，就不会出现生日号数为某一号的人数有3个），因此统计同月份或同号数的人数时，这15个数字每个数字都只出现一次要使同月同日的人尽量少，则可以使月份情况或者号数情况尽量分散，例如可以将60拆分成：这一种分散情况，不妨设这是同月份的人数，和另一种情况：，这是同号数的人数，分析最大数字15，将15个同号数的人，分配到上面10个月份中，可知，同月同日最少会有两人所以：该班生日相同的人数至少有2人【点评】本题难点是分析出同月份和同号数的人数的数字不会重复，难度较大14（15分）将1至9填入图的网格中要求每个格