对数函数知识点典型例题讲解文档

1、对数函数知识点及典型例题解说1对数：(1)定义：假如abN(a0,且a1)，那么称为，记作，此中a称为对数的底，N称为真数.以10为底的对数称为常用对数，log10N记作_以无理数e(e2.71828)为底的对数称为自然对数，logeN记作_基天性质：真数N为(负数和零无对数)；log10；logaa1；a对数恒等式：alogaNN(3)运算性质：loga(MN)_；logaM_；Nn(nR).logaM换底公式：logN(a0，a1，m0，m1，N0)alogambnna.bm2对数函数：定义：函数称为对数函数，1)函数的定义域为(；2)函数的值域为；当_时，函数为减函数，当_时为增函数；4

2、)函数ylogax与函数yax(a0,且a1)互为反函数.1)图象经过点()，图象在；2)对数函数以为渐近线(当0a1时，图象向上无限靠近y轴；当a1时，图象向下无穷靠近y轴)；4)函数ylogax与的图象对于x轴对称函数值的变化特色：0a1a1x1时x1时x1时x1时0 x1时0 x1时例1计算：（1）log(23)231（2）2(lg2)2+lg2lg5+(lg2)2lg21;（3）1lg32-4lg8+lg245.2493解：（1）方法一利用对数定义求值设log23(23)=x,则(2+3)x=2-3=1=（2+3）-1,x=-1.23方法二利用对数的运算性质求解log23(23)=lo

3、g231=log23(2+3)-1=-1.23（2）原式=lg2（2lg2+lg5）+(lg2)22lg21=lg2(lg2+lg5)+|lg2-1|=lg2+(1-lg2)=1.（3）原式=1（lg32-lg49）-4lg811lg2452+232=1(5lg2-2lg7)-43lg2+1(2lg7+lg5)2322=5lg2-lg7-2lg2+lg7+1lg5=1lg2+1lg52222=1lg(25)=1lg10=1.222变式训练1：化简求值.（1）log27+log212-1log242-1;482（2）(lg2)2+lg2lg50+lg25;（3）(log32+log92)(log

4、43+log83).解：(1)原式=log27+log212-log42-log22=log2712133.2log22log2224848422222）原式=lg2(lg2+lg50)+lg25=2lg2+lg25=lg100=2.（3）原式=(lg2lg2lg3lg33lg25lg35.lg32lg3)()2lg342lg23lg26lg2例2比较以下各组数的大小.（1）log32与log56;（2）log1.10.7与log1.20.7;35（3）已知log1blog1alog1222bac的大小关系.c,比较2,2,2解：（1）log32log31=0,而log56log51=0,lo

5、g32log56.3535(2)方法一00.71,1.11.2,0log0.71.1log0.71.2,11,log0.71.1log0.71.2即由换底公式可得log1.10.7log1.20.7.方法二作出y=log1.1x与y=log1.2x的图象.2如下图两图象与x=0.7订交可知log1.10.7log1.20.7.(3)y=log1x为减函数，且log1blog1alog1c,2222bac,而y=2x是增函数，2b2a2c.变式训练2：已知0a1,b1,ab1，则A.log1logablogb1abbC.logab1loga1logbD.bbloga1,logab,logb1的大

6、小关系是（）bbB.logab11logalogbbb11logbblogablogab解：C例3已知函数f(x)=logax(a0,a1)，假如对于随意x3，+）都有|f(x)|1建立，试求a的取值范围.解：当a1时，对于随意x3，+），都有f(x)0.所以，|f(x)|=f(x),而f(x)=logax在3，+）上为增函数，对于随意x3，+），有f(x)loga3.所以，要使|f(x)|1对于随意x3，+）都建立.只需loga31=logaa即可，1a3.当0a1时，对于x3，+），有f(x)0,|f(x)|=-f(x).f（x）=logax在3，+）上为减函数，-f（x）在3，+）上为增

7、函数.对于随意x3，+）都有|f(x)|=-f(x)-loga3.所以，要使|f(x)|1对于随意x3，+）都建立，只需-loga31建立刻可，loga3-1=loga1,即13,1a1.aa3综上，使|f(x)|1对随意x3，+）都建立的a的取值范围是：(1，31，1）.3变式训练3：已知函数f（x）=log2(x2-ax-a)在区间（-,1-3上是单一递减函数.务实数a的取值范围.解：令g(x)=x2-ax-a,则g(x)=（x-22,由以上知g(x）的图象对于直线x=a对称且此抛物线张口向上.a）-a-a242因为函数f(x)=log2g(x)的底数21,在区间（-,1-3上是减函数，所

8、以g(x)=x2-ax-a在区间（-,1-3上也是单一减函数，且g(x)0.313a，即a2232g(13)0(13)2a(13)a0解得2-23a2.故a的取值范围是a|2-23a2.例4已知过原点O的一条直线与函数y=log8x的图象交于A、B两点，分别过A、B作y轴的平行与函数y=log2x的图象交于C、D两点.1）证明:点C、D和原点O在同向来线上；2）当BC平行于x轴时，求点A的坐标.1）证明设点A、B的横坐标分别为x1、x2,由题设知x1,x21,则点A、B的纵坐标分别为logx、logx.18182因为A、B在过点O的直线上，所以log8x1log8x2x1x2点C、D的坐标分别

9、为(x1,log2x1)、(x2,log2x2),因为logx=log8x1=3logx,log2x=3log8x,21log828122OC的斜率为k1=log2x13log8x1,x1x1OD的斜率为k2log2x23log8x2,由此可知k1=k2,即O、C、D在同向来线上.x2x2（2）解：因为BC平行于x轴，知log2x1=log8x2，即得log2x1=1log2x2,x2=x31,3代入x2log8x1=x1log338x2，得x1log8x1=3x1log8x1,因为x11,知log8x10,故x1=3x1,又因x11,解得x1=3,于是点A的坐标为（3，log83).1办理对数函数的相关问题，重要密联系函数图象，运用数形联合的思想进行求解.2对数函数值的变化特色是解决含对数式问题时使用屡次的要点知识，要达到娴熟、运用自如的水平，使用时经常要联合对数的特别值共同