空间曲线曲率和挠率的介绍市公开课金奖市赛课一等奖课件

1、曲率和挠率介绍空间曲线第1页微分几何应用理论物理广义相对论将物理量解释为几何量。详细说，空间和时间结合在一起由一个流形描述：不一样参考系给出不一样局部坐标；不一样参考系之间关系即是坐标变换。时空流形度量由所谓Lorentz度量给出，象Riemann几何一样计算出曲率等几何量。Einstein方程说：时空物理量（能量动量张量）等于时空几何量（Ricci曲率张量）。第2页给出 类曲线 得一单位向量 ， 称 为 曲线（C）上 P 点单位切向量。 称 为曲线在 P 点主法向量, 它垂直于单位切向量。 称 为曲线在 P 点次法向量。把两两正交单位向量 称为曲线在 P 点伏雷内（Frenet)标架。 1.

2、空间曲线基本三棱形、伏雷内标架第3页3)由任意两个基本向量所确定平面 分别叫做:亲密平面：法平面：从切平面：而由三个基本向量和上面三个平面所组成图形叫做曲线基本三棱形。2) 对于曲线（C）普通参数表示 有第4页 4）伏雷内（Frenet)公式 由定义可得 又 于是有 这个公式称为空间曲线伏雷内（Frenet)公式。它系 数组成一反称方阵第5页2.空间曲线曲率，挠率 设空间曲线(C)为 ，且以 s 为参数。 定义（C）在 P 点曲率为 越小就越靠近曲线在P点弯曲程度,深入令则极限就应该是曲线在P点弯曲程度。 曲率几何意义是曲线切向量对于弧长旋转速度。曲率越大，曲线弯曲程度就越大，所以它反应了曲线

3、弯曲程度。1）曲率第6页例. 求半径为R 圆上任意点处曲率 .解: 如图所表示 ,可见: R 愈小, 则K 愈大 , 圆弧弯曲得愈厉害 ;R 愈大, 则K 愈小 , 圆弧弯曲得愈小 .第7页第8页例： 空间曲线， 为直线充要条件是曲率证实：若为直线 其中 都是常向量， 而且 ，则 反之, 若 , 则 于是 所以该曲线是直线.第9页2)挠率 与曲率类似有 定义 曲线（C）在 P 点挠率为挠率绝对值是曲线次法向量对于弧长旋转速度。挠率恒为零曲线是平面曲线第10页3曲率和挠率普通参数表示式 给出 类曲线（C）：所以所以由此得到曲率普通参数表示式1）曲率第11页 由可得挠率公式为第12页有曲率近似计算

4、公式则曲率计算公式为二阶可导,设曲线弧说明: 若曲线由参数方程给出, 则若曲线方程为则若曲线由参数方程给出, 则第13页4）亲密园（曲率园） 过曲线（C）上一点 P 主法线正侧取线段 PC，使 PC 长为1/k。以C 为园心，以1/k为半径在亲密平面上确定一个园，这个园称为曲线在 P 点亲密园或曲率园，园中心叫曲率中心，园半径叫曲率半径。第14页曲率中心轨迹设对应Y=(x,y,z)，则有轻易证实C在P点与曲率圆相切，且在P点曲率相同在点P 处曲率圆与曲线有以下亲密关系:(1) 有公切线;(2) 凹向一致;(3) 曲率相同 .第15页例 求圆柱螺线r=a cos t, a sin t, bt(a0, b0均为常数) 曲率、挠率、曲率中心和曲率圆. 解 =-a sin t, a cos t, b， =-a cos t, -a sin t, 0， =a sin t, -a cos t, 0.于是 = =所以圆柱螺线曲率和挠率都是常数. 第16页 . 故曲率中心半径向量为能够求出亲密平面为于是曲率圆为第17页设曲线方程为且求曲线上点M 处曲率半径及曲率中心设点M 处曲率圆方程为故曲率半径公式为满足方程组坐标公式 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 第18页由此可得曲率中心公式(注意与异号 )第19页例. 设一工件内表面截痕为一椭圆, 现要用砂轮磨削其内表面 , 问选择多大砂轮