高中函数的全部归纳总结

1、变量与函数 变量和常量 在一个变化过程中,数值发生变化的量,我们称之为变量,而数值始终保持不 变的量,我们称之为常量； 函数 一般地,在一个变化过程中,假如有两个变量 x 与 ,并且对于 x 的每一个 确定的值, y 都有唯独确定的值与其对应,那么我们就说 x 是自变量, y 是 x的 函数；假如当 x a 时 y b ,那么 b 叫做当自变量的值为 a 时的函数值； 自变量取值范畴的确定方法 1, 自变量的取值范畴必需使解析式有意义； 当解析式为整式时,自变量的取值范畴是全体实数；当解析式为分数形式 时,自变量的取值范畴是使分母不为 0 的全部实数；当解析式中含有二次根式 时,自变量的取值范

2、畴是使被开方数大于等于 0 的全部实数； 2,自变量的取值范畴必需使实际问题有意义； 函数的图像 一般来说,对于一个函数,假如把自变量与函数的每对对应值分别作为点的 横,纵坐标,那么坐标平面内由这些点组成的图形,就是这个函数的图象 描点法画函数图形的一般步骤 第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值） ； 其次步：描点（在直角坐标系中,以自变量的值为横坐标,相应的函数值为纵 1第 1 页,共 32 页坐标,描出表格中数值对应的各点） ； 第三步：连线（依据横坐标由小到大的次序把所描出的各点用平滑曲线连接起 来）； 函数的表示方法 列表法：一目了然,使用起来便利,但列出的对应值是有限

3、的,不易看出 自变量与函数之间的对应规律； 解析式法：简洁明白,能够精确地反映整个变化过程中自变量与函数之间 的相依关系,但有些实际问题中的函数关系,不能用解析式表示； 图象法：形象直观,但只能近似地表达两个变量之间的函数关系； 正比例函数 一般地, .形如 y=.kx.（ k 是常数, .k 0.）的函数, .叫做正比例函数 （ proportional function ）,其中 k 叫做比例系数也就是说,形如 y=.kx+b, 且 b0 的函数是正比例函数； 正比例函数图象和性质 一般地,正比例函数 y=kx（k 是常数, k 0）的图象是一条经过原点和 （ 1,k）的直线 我们称它为直

4、线 y=kx. 当 k0 时,直线 y=kx 经过三,一象限, 从左向右上升,即随 x 的增大 y 也增大；当 k0 时,图像经过一,三象限； k0, y 随 x 的增大而增大； k0 时,向上平移；当 b0 ,图象经过第一,三象限； 3k0 ,图象经过第一,二象限； b0 , y 随 x 的增大而增大； k0 时,将直线 y=kx 的图象向上平移 b 个单位； 当 b0【或向下 k0【或左 h0 【或左 h0【或左 h0 【或下 k0 【或下 k1,且 n N 根, 负数没有偶次方根； 0 的任何次方根都是 0,记作 n0 0 ； n n a a 0 当 n 是奇数时, n a n a ,当

5、 n 是偶数时, a | a | a a 0 2分数指数幂 正数的分数指数幂的意义,规定： mna n a m a 0, m, n N * ,n 1 ma n 1m n 1m a 0,m, n N , n 1 *a n a0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义 3实数指数幂的运算性质 s （ 1） a a r a r a 0, r , s R ； r s rs （ 2） a a a 0, r, s R ； r（ 3） ab a r a s a 0, r , s R （二）指数函数及其性质 1,指数函数的概念：一般地,函数 y ax a 数函数,其中 x 是自变量,函数的定义域为

6、 0,且 a 1 叫做指 R 留意：指数函数的底数的取值范畴,底数不能是负数,零和 1 2,指数函数的图象和性质 a1 0a1 0a|cosx| sinxcosx|cosx|sinx| O |cosx|sinx| O x x cosxsinx 7. 三角函数的定义域： sintan |sinx|cosx| 3 如 ox ,就 sinxxtanx 2三角函数 定义域 f x sinx x | x Rf x cosx x | x Rf x tanx x | x x R 且 k 1, k Z 2f x cotx x | x x R 且 k , k Z f x secx x | x x R 且 k 1

7、, k Z 2f x cscx x | x x R 且 k , k Z 8,同角三角函数的基本关系式： c o s s i nc o t cos tan cot 1csc sin 1sec cos 112 sin 2 cos 12 sec2 tan 12 csc 2 cot 9,诱导公式： 把 k 2的三角函数化为 的三角函数,概括为： “奇变偶不变,符号看象限” 25 第 25 页,共 32 页三角函数的公式：（一）基本关系 公 式 组 二 公式组三 公式组一 sinx cscx=1 tanx= sin x cos x 2 2 sin x+cos x=1 sin2k x sin x s i

8、n x s i xncosxsecx=1 cos2k x cosx c o s x c o xs cosx x= sin x 2 21+tan x =sec x tan2k x tan x t an x t a xntanxcotx=1 2 2 1+cot x=csc x cot2k x cot x c o t x c o xt 公式组四 公式组五 公式组六 sin x sin x s in2 x s i xns i n x s i xncos x cosx c o2s x c o xs c o s x c o xs tanx tan x t an2x t a xnt a n x t a xn

9、 x cot x c o2t x c o xt c o t x c o xt cot （二）角与角之间的互换 公式组一 公式组二 cos cos cos sin sin s in22 s i n c o s cos cos cos sin sin c o 2s c o 2s s i 2n 2 c o 2s 11 2 s i2n sin sin cos cos sin t a2n12 t a n t a 2n sin sin cos cos sin s i n 2 1c os 2 tan tan tan cos 21 cos 1 tan tan 2tan tan tan tan 21cos 1s

10、in 1 cos 1 tan tan 公 1cos cos sin 公式组三 sin cos 1sin公式组四2式组五 cos sin sin1sin sin 2cos cos 1cos cos 2sin sin 1cos co2s62第 26 页,共 32 页sin 2 tan 2cos 12sin 3 . 2 1 tan 2sin 12cos cos 2 1 tan 21 tan 2cot cos 12sin 2 1 tan 2sin sin 2 sin 2cos 22 tan 22sin sin 2 cos 2sin 221 tan 2cot tan cos cos 2 cos 2cos

11、 2cos sin 122 1 tan 2cos cos 62sin sin 2 22 ,tan 15 cot 75 4sin 15 cos 75 64, sin 75 cos15 3 , tan 75 cot 15 210. 正弦,余弦,正切,余切函数的图象的性质： y sin x y cosx y tan x y cot x y A sin x （ A, 0） 定 义 RRx | x R 且 x k 1, k Z x | x R 且 x k , k Z R2域 值域 1, 1 1, 1 RRA, A 周 期 222性 27 第 27 页,共 32 页奇 偶 奇 函 偶 函 奇函数 奇函数

12、当 0, 非奇非 性 数 数 偶 22k , 2k 1 , ； 2k , 2k k , k 1上为减 当 0, 奇函数 2k 2k 2 A, 22k 上 为 增 上 为 增 函 数 函数（ k Z ） 2k 1 A 上 为 增 函 数 （ k Z ） 2函 数 ； 2k , 上为增函数； 2k 1 22k , 上 为 减 2k 2 A, 32k 函数 2k 3 A 22单 调 上 为 减 （ k Z ） 上 为 减 函 数 性 函 数 （ k Z ） （ k Z ） 留意： y sin x 与 y sin x 的单调性正好相反； y cosx 与 y cosx 的单调性也同样 y 相反 .一般

13、地,如 y f x 在 a, b 上递增（减）,就 y f x 在 a, b 上递减（增） . y sin x 与 y cosx 的周期是 . x O y sin x 或 y cos x （ 0 ）的周期 T 2 . y tan x 2 的周期为 2 （ T T 2,如图,翻折无效） . y sin x 的对称轴方程是 x k （ k Z ）,对称中心（ k ,0）； y soc x 的 2对称轴方程是 x k （ k Z ）,对称中心（ k 1 ,0）；y nat x 的对称中心（ k ,0 ）. 2 2原点对称 y cos2x y cos 2 x cos2x 当 tan tan 1, k

14、2 k Z ； tan tan 1, k 2 k Z . y cosx 与 y sin x 2k 是同一函数 ,而 y x 是偶函数,就 2y x sin x k 1 cos x .228 第 28 页,共 32 页函数 y tan x R上为增函数 .（） 只能在某个单调区间单调递增 . 如在整个 在 定义域, y tan x 为增函数,同样也是错误 . 的 定义域关于原点对称是 f x 具有奇偶性的必要不充分条件 .（奇偶性的两个条 件：一是定义域关于原点对称（奇偶都要） ,二是中意奇偶性条件,偶函数： f x f x ,奇函数： f x f x ） 奇偶性的单调性：奇同偶反 . 例如：

15、y tan x 是奇函 y tan x 1 是非奇非偶 . 数, 3（定义域不关于原点对称） 奇函数特有性质：如 0 x 的定义域,就 f x 确定有 f 0 0.（ 0 x 的定义域,就无 此性质） y y x y sin x 不是周期函数； y sin x 为周期函数（ T ）； x 1/2 y cos x 是周期函数（如图） ； y cos x 为周期函数（ T ）； y=cos|x|图象 y=|cos2x+1/2| 图象 y cos 2x 1的周期为 （如图）,并非全部周期函数都有最小正周期,例如： 2y f x 5f x k , k R . y acos b sin 2 a 2 b

16、sin cos b有 2 a 2 b y . a11,三角函数图象的作法： ）,几何法： ）,描点法及其特例 五点作图法（正,余弦曲线） ,三点二线作图法 （正,余切曲线） . ）,利用图象变换作三角函数图象 三角函数的图象变换有振幅变换,周期变换和相位变换等 函数 y Asin（x）的振幅 |A| ,周期 T 2,频率 f | 1| | ,相位 x ; | T 2初相 （即当 x 0时的相位）（当 A0, 0时以上公式可去确定值符号） , 由 ysinx 的图象上的点的横坐标保持不变,纵坐标伸长（当 |A|1）或缩 29 第 29 页,共 32 页短（当 0|A| 1）到原先的 |A|倍,得

17、到 yAsinx 的图象,叫做 振幅变换 或叫沿 y 轴的伸缩变换（用 y/A 替换 y） 由 ysinx 的图象上的点的纵坐标保持不变,横坐标伸长（ 0| 1）或 缩短（ | |1）到原先的 | 1 | 倍,得到 ysin x 的图象,叫做 周期变换 或叫做 沿 x 轴的伸缩变换 用 x 替换 x 由 ysinx的图象上全部的点向左 （当 0）或向右（当 0）平行移动 个单位,得到 ysin（ x ）的图象,叫做 相位变换 或叫做沿 x 轴方向的平 移 用 x 替换 x 由 ysinx 的图象上全部的点向上 （当 b0）或向下（当 b0）平行移动 b个单位,得到 ysinxb 的图象叫做沿

18、y 轴方向的平移（用 y+-b 替换 y） 由 ysinx 的图象利用图象变换作函数 yAsin（x）（A 0,0） （ xR）的图象,要特别留意：当周期变换和相位变换的先后次序不同时,原 图象延 x 轴量伸缩量的区分； 4,反三角函数： 函数 ysinx, x , 2 2 的反函数叫做 反正弦函数 ,记作 yarcsinx,它的定义域 是 1,1,值域是 , 2 2 函数 ycosx,（ x 0,）的反应函数叫做 反余弦函数 ,记作 yarccosx, 它的定义域是 1, 1,值域是 0, 函数 ytanx, x , 的反函数叫做 反正切函数 ,记作 yarctanx,它的定 2 2 义域是

19、（,） ,值域是 , 2 2 函数 yctgx, x（ 0, ）的反函数叫做 反余切函数 ,记作 yarcctgx, 它的定义域是（,） ,值域是（ 0, ） 30 第 30 页,共 32 页竞赛学问要点 一,反三角函数 .1. 反三角函数：反正弦函数 y arcsin x 是奇函数,故 arcsin x arcsin x , x 1,1 （确定要注明定义域,如 x , ,没有 x 与 y 一一对应,故 y sin x 无反函数） 注： sinarcsin x x , x 1,1 , arcsin x , . 2 2 反余弦函数 y arccos x 非奇非偶,但有 arccos x arcc

20、osx 2k , x 1,1 . 注： cosarccos x x , x 1,1 , arccos x 0, . y cos x 是偶函数, y arccosx 非奇非偶,y sin x 和 y arcsin x 为奇函数 . 而 反正切函数： y arctanx ,定义域 , ,值域（ , ）, ynatcra x 是奇函数, 2 2arctan x arctan x, x , . 注： tanarctan x x , x , . 反余切函数： y arc cot x ,定义域 , ,值域（ , ）, y cra toc x 是非奇非 2 2 偶. arc cot x arc cot x 2k , x , . arccosx 与 y arc cot x 非 注： cot arc cot x x , x , . y arcsin x 与 y arcsin1 x 互为奇函数, y arctan x 同理为奇而 y 奇非偶但中意 arccos x arccos x 2k , x 1,1arc cot x arc cot x 2k , x 1,1 . 正弦,余弦,正切,余切函数的解集： a 的取值范畴 解集 Z a =1 a 的取值范畴 解集 s