北京市西城区普通中学2021-2022学年数学高二第二学期期末学业质量监测模拟试题含解析

1、2021-2022高二下数学模拟试卷注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角条形码粘贴处。2作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题

2、卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 “1x2”是“x1”成立的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件2已知双曲线的左、右焦点分别为、，过作垂直于实轴的弦，若，则的离心率为（ ）ABCD3命题“，使得”的否定形式是（ ）A，使得B，使得C，使得D，使得4已知满足，则（ ）ABCD5已知定义在上的函数，若是奇函数，是偶函数，当时，则 （ ）ABCD6用反证法证明命题：若整系数一元二次方程有有理数根，那么、中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是（ ）A假设、都是偶数B假设、都不是偶数C假

3、设、至多有一个偶数D假设、至多有两个偶数7定义函数为不大于的最大整数，对于函数有以下四个命题：；在每一个区间，上，都是增函数；的定义域是，值域是.其中真命题的序号是（ ）ABCD8设集合，那么集合中满足条件“ ”的元素个数为（ ）A60B65C80D819设随机变量服从正态分布，且，则（ ）ABCD10已知是虚数单位，则在复平面内对应的点位于A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限11若集合M1，3，N1，3，5，则满足MXN的集合X的个数为()A1B2C3D412设随机变量服从分布，且，则（ ）A，B，C，D，二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知函数为自然对数的底数与 的

4、图象上存在关于 轴对称的点，则实数 的最小值是_.14在如图三角形数阵中，从第3行开始，每一行除1以外，其它每一个数字是它上一行的左右两个数字之和.已知这个三角形数阵开头几行如图所示，若在此数阵中存在某一行，满足该行中有三个相邻的数字之比为，则这一行是第_行（填行数）.15在极坐标系中，圆上的点到直线的距离的最小值是 _16设x，y满足约束条件，则的最小值为_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）已知集合，其中，集合若，求；若，求实数的取值范围18（12分）在ABC中，a=3，bc=2，cosB=（）求b，c的值；（）求sin（BC）的值19（12分）已

5、知函数.()若函数在处取得极值，求的值；()设，若函数在定义域上为单调增函数，求的最大整数值.20（12分）如图，已知三棱柱，平面平面,，分别是的中点.（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的余弦值.21（12分）设数列的前n项和为已知直角坐标平面上的点均在函数的图像上.（1）求数列的通项公式；（2）若已知点，为直角坐标平面上的点，且有，求数列的通项公式；（3）在（2）的条件下，若使对于任意恒成立，求实数t的取值范围.22（10分）袋中装有黑色球和白色球共个，从中任取个球都是白色球的概率为，现有甲、乙两人从袋中轮流摸出个球，甲先摸，乙后摸，然后甲再摸，摸后均不放回，直到有一个人摸到白色球后终止

6、，每个球在每一次被摸出的机会都是等可能的，用表示摸球终止时所需摸球的次数.（1）求随机变量的分布和均值；（2）求甲摸到白色球的概率.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】解不等式，进而根据充要条件的定义，可得答案【详解】由题意，不等式，解得或，故“”是“”成立的充分不必要条件，故选A【点睛】本题主要考查了不等式的求解，以及充分、必要条件的判定，其中解答熟记充分条件、必要条件的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题2、C【解析】由题意得到关于a,c的齐次式，然后求解双曲线的离心率即可.【详解

7、】由双曲线的通径公式可得，由结合双曲线的对称性可知是等腰直角三角形，由直角三角形的性质有：，即：，据此有：，解得：，双曲线中，故的离心率为.本题选择C选项.【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：求出a，c，代入公式；只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2c2a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)3、D【解析】试题分析：的否定是，的否定是，的否定是故选D【考点】全称命题与特称命题的否定【方法点睛】全称命题的否定是特称命题

8、，特称命题的否定是全称命题对含有存在（全称）量词的命题进行否定需要两步操作： 将存在（全称）量词改成全称（存在）量词；将结论加以否定4、A【解析】，选A.5、A【解析】根据是偶函数判出是函数的对称轴，结合是奇函数可判断出函数是周期为的周期函数，由此求得的值.【详解】由于是偶函数，所以函数的一条对称轴为，由于函数是奇函数，函数图像关于原点对称，故函数是周期为的周期函数，故，故选A.【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性、考查函数的对称性、考查函数的周期性，考查函数值的求法，属于基础题.6、B【解析】分析：本题考查反证法的概念，逻辑用语，否命题与命题的否定的概念，逻辑词语的否定根据反证法的步骤，假设是

9、对原命题结论的否定，故只须对“b、c中至少有一个偶数”写出否定即可解答：解：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定“至少有一个”的否定“都不是”即假设正确的是：假设a、b、c都不是偶数故选B点评：一些正面词语的否定：“是”的否定：“不是”；“能”的否定：“不能”；“都是”的否定：“不都是”；“至多有一个”的否定：“至少有两个”；“至少有一个”的否定：“一个也没有”；“是至多有n个”的否定：“至少有n+1个”；“任意的”的否定：“某个”；“任意两个”的否定：“某两个”；“所有的”的否定：“某些”7、D【解析】画出函数的图象，根据图象可知函数的周期性、单调性、定义域与值域，从而可判断各命题的真

10、假.【详解】画出的图象，如图所示，可知是最小正周期为1的函数，当时，可得，正确；由图可知，在每一个区间，上，都是增函数，正确；由图可知，的定义域是，值域是，正确；由图可知，是错误的.真命题的序号是，故选D.【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查函数的单调性、函数的周期性、函数的定义域与值域，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.8、D【解析】由题意可得，成立，需要分五种情况讨论：当 时，只

11、有一种情况，即；当 时，即，有种；当 时，即，有种；当 时，即，有种当 时，即，有种，综合以上五种情况，则总共为：种，故选D.【点睛】本题主要考查了创新型问题，往往涉及方程，不等式，函数等，对涉及的不同内容，先要弄清题意，看是先分类还是先步，再处理每一类或每一步，本题抓住只能取相应的几个整数值的特点进行分类，对于涉及多个变量的排列，组合问题，要注意分类列举方法的运用，且要注意变量取值的检验，切勿漏掉特殊情况.9、B【解析】根据正态密度曲线的对称性得出，再由可计算出答案【详解】由于随机变量服从正态分布，由正态密度曲线的对称性可知，因此，故选B【点睛】本题考查正态分布概率的计算，充分利用正态密度曲

12、线的对称性是解题的关键，考查计算能力，属于基础题10、A【解析】分子分母同时乘以，化简整理，得出，再判断象限【详解】，在复平面内对应的点为（），所以位于第一象限故选A【点睛】本题考查复数的基本运算及复数的几何意义，属于基础题.11、D【解析】可以是共4个，选D.12、A【解析】分析：根据随机变量符合二项分布，根据二项分布的期望和方差公式得到关于的方程组，注意两个方程之间的关系，把一个代入另一个，以整体思想来解决，求出P的值，再求出n的值，得到结果.详解：随机变量服从分布，且，即可求得，.故选：A点睛：本题考查离散型随机变量的期望和方差，考查二项分布的期望和方差公式，考查方差思想，是一个比较好的

13、题目，技巧性比较强.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】由题意可得：在区间上有解，即：在区间上有解，整理可得：在区间上有解，令，则，导函数在区间上单调递增，则，即的最小值是.14、98【解析】通过杨辉三角可知每一行由二项式系数构成，于是可得方程组，求出行数.【详解】三角形数阵中，每一行的数由二项式系数，组成.如多第行中有，那么，解得，因此答案为98.【点睛】本题主要考查杨辉三角，二项式定理，意在考查学生数感的建立，计算能力及分析能力，难度中等.15、1【解析】试题分析：圆的直角坐标方程为，直线的直角坐标方程为，圆心到直线的距离，圆上的点到直线的距离的最小值为.考点：直

14、角坐标与极坐标、距离公式.16、【解析】先画出可行域，根据表示可行域内的点到定点的距离的平方，即可求出最小值。【详解】作出不等式组表示的可行域为一个三角形区域（包括边界），表示可行域内的点到定点的距离的平方，由图可知，该距离的最小值为点到直线的距离，故.【点睛】本题考查线性规划，属于基础题。三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；【解析】解出二次不等式以及分式不等式得到集合和，根据并集的定义求并集；由集合是集合的子集，可得，根据包含关系列出不等式，求出的取值范围.【详解】集合，由，则，解得，即，则，则，即，可得，解得，故m的取值范围是【点睛】本题考查集合的交

15、并运算，以及由集合的包含关系求参数问题，属于基础题在解有关集合的题的过程中，要注意在求补集与交集时要考虑端点是否可以取到，这是一个易错点，同时将不等式与集合融合，体现了知识点之间的交汇.18、 () ；() .【解析】()由题意列出关于a,b,c的方程组，求解方程组即可确定b,c的值；()由题意结合正弦定理和两角和差正余弦公式可得的值.【详解】()由题意可得：，解得：.()由同角三角函数基本关系可得：，结合正弦定理可得：，很明显角C为锐角，故，故.【点睛】本题主要考查余弦定理、正弦定理的应用，两角和差正余弦公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19、 (1) ;(2) 的最大

16、整数值为2.【解析】分析：(1)先求导数，再根据根据极值定义得 0，解得的值,最后列表验证.(2)先转化为恒成立，再利用结论（需证明），得，可得当时，恒成立；最后举反例说明当时，即不恒成立.详解：()，若函数在处取得极值，则，解得.经检验，当时，函数在处取得极值.综上，.()由题意知，.若函数在定义域上为单调增函数，则恒成立.先证明.设，则.则函数在上单调递减，在上单调递增.所以，即.同理，可证，所以，所以.当时，恒成立；当时，即不恒成立.综上所述，的最大整数值为2.点睛：函数单调性问题，往往转化为导函数符号是否变号或怎样变号问题，即转化为方程或不等式解的问题（有解，恒成立，无解等），而不等式

17、有解或恒成立问题，又可通过适当的变量分离转化为对应函数最值问题.20、（1）证明见解析；（2）.【解析】(1)由题意首先证得线面垂直，然后利用线面垂直的定义即可证得线线垂直；(2)建立空间直角坐标系，分别求得直线的方向向量和平面的法向量，然后结合线面角的正弦值和同角三角函数基本关系可得线面角的余弦值.【详解】(1)如图所示，连结，等边中，则，平面ABC平面，且平面ABC平面，由面面垂直的性质定理可得：平面，故，由三棱柱的性质可知，而，故，且，由线面垂直的判定定理可得：平面，结合平面，故.(2)在底面ABC内作EHAC，以点E为坐标原点，EH,EC,方向分别为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系

18、.设，则，,，据此可得：，由可得点的坐标为，利用中点坐标公式可得：，由于，故直线EF的方向向量为：设平面的法向量为，则：，据此可得平面的一个法向量为，此时，设直线EF与平面所成角为，则.【点睛】本题考查了立体几何中的线线垂直的判定和线面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.21、（1）； （2）； （3）.【解析】（1）先根据点在直线上得和项关系式，再根据和项与通项关系求通项；（2）根据向量平行坐标表示得关系式，代入（1）结论得结果；（3）分奇偶分类讨论，再根据参变分离转化为求对应函数最值，