新教材人教B版选择性必修第三册-6.1.3-基本初等函数的导数-学案

1、 PAGE PAGE 1261.3基本初等函数的导数最新课程标准 1.会用导数的定义求函数的导数 2能根据定义求函数yc，yx，yx2，yeq f(1,x)，yeq r(x)的导数(难点)3掌握基本初等函数的导数公式，并能进行简单的应用(重点、易混点)教材要点知识点一函数的导数如果f(x)在开区间(a，b)内每一点x_的，则称f(x)在区间(a，b)可导这样，对开区间(a，b)内每个值x，都对应一个_于是，在区间(a，b)内，f(x)构成一个新的函数，把这个函数称为函数yf(x)的导函数记为_知识点二几个常用函数的导数原函数导函数f(x)c(c为常数)f(x)_f(x)xf(x)_f(x)x2

2、f(x)_f(x)eq f(1,x)f(x)_f(x)eq r(x)f(x)eq f(1,2r(x)知识点三基本初等函数的导数公式原函数导函数ycy_yxn(nN)y_，n为正整数yx(x0，0且Q)y_，为有理数yax(a0，a1)y_yexy_ylogax(a0，a1，x0)y_yln xy_ysin xy_ycos xy_基础自测1给出下列结论：若yeq f(1,x3)，则yeq f(3,x4)；若yeq r(3,x)，则yeq f(1,3)eq r(3,x)；若f(x)3x，则f(1)3.其中正确的个数是()A1 B2C3 D02给出下列命题：yln 2，则yeq f(1,2)；yeq

3、 f(1,x2)，则yeq f(2,x3)；y2x，则y2xln 2；ylog2x，则yeq f(1,xln 2).其中正确命题的个数为()A1 B2C3 D43若函数f(x)10 x，则f(1)等于()A.eq f(1,10) B10C10ln 10 D.eq f(1,10ln 10)4已知f(x)x(Q)，若f(1)eq f(1,4)，则等于()A.eq f(1,3) B.eq f(1,2)C.eq f(1,8) D.eq f(1,4)题型一利用导数公式求函数的导数例1求下列函数的导数：(1)yx12；(2)yeq f(1,x4)；(3)yeq r(5,x3)；(4)y3x；(5)ylog

4、5x.eq x(状元随笔)首先观察函数解析式是否符合求导形式，若不符合可先将函数解析式化为基本初等函数的求导形式方法归纳1若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解2对于不能直接利用公式的类型，一般遵循“先化简，再求导”的基本原则，避免不必要的运算失误3要特别注意“eq f(1,x)与ln x”，“ax与logax”，“sin x与cos x”的导数区别跟踪训练1若f(x)x3，g(x)log3x, 则f(x)g(x)_.题型二利用公式求函数在某点处的导数例2质点的运动方程是ssin t，求质点在teq f(,3)时的速度eq x(状元随笔)先求s (t)，再求s eq blc(rc)(avs

5、4alco1(f(,3).方法归纳1速度是路程对时间的导数，加速度是速度对时间的导数2求函数在某定点(点在函数曲线上)的导数的方法步骤是：(1)先求函数的导函数；(2)把对应点的横坐标代入导函数求相应的导数值跟踪训练2(1)求函数f(x)eq f(1,r(3,x)在(1,1)处的导数；(2)求函数f(x)cos x在eq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)，f(r(2),2)处的导数题型三求曲线过某点的切线方程eq x(状元随笔)1若函数yf(x)在点x0处的导数存在，则曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线方程是什么？提示根据直线的点斜式方程，得切线方程为yf(x0)f

6、(x0)(x x0)2曲线在某点处的切线是否与曲线只有一个交点？提示不一定，切线只是一个局部概念，是该点处的割线的极限位置，在其他地方可能还有一个或多个公共点3函数在某点处的导数与导函数有什么区别和联系？提示区别：函数在某点处的导数是一个定值，导函数是一个函数联系：函数f(x)在x0处的导数就是导函数f (x)在x x0时的函数值例3已知曲线f(x)eq f(1,x).(1)求曲线过点A(1,0)的切线方程；(2)求满足斜率为eq f(1,3)的曲线的切线方程eq x(状元随笔)(1)点A不在曲线上，设切点坐标，写出切线方程，把A(1,0)代入求出切点坐标，进而求出切线方程(2)设出切点坐标，

7、由该点斜率为eq f(1,3)，求出切点，进而求出切线方程方法归纳1求曲线过已知点的切线方程的步骤2若已知切线的斜率，则可根据切点处的导数即为斜率求得切点的坐标，根据点斜式写出切线方程跟踪训练3试求过点P(3,5)且与曲线yx2相切的直线方程题型四导数公式的应用eq x(状元随笔)点P是曲线yex上的任意一点，求点P到直线yx的最小距离提示如图，当曲线yex在点P(x0，y0)处的切线与直线yx平行时，点P到直线yx的距离最近，则曲线yex在点P(x0，y0)处的切线斜率为1，又y (ex) ex，ex01，得x00，代入yex，得y01，即P(0,1)利用点到直线的距离公式得最小距离为eq

8、f(r(2),2).例4(1)已知函数ykx是曲线yln x的一条切线，则k_.(2)求过曲线f(x)cos x上一点Peq blc(rc)(avs4alco1(f(,3)，f(1,2)且与曲线在这点的切线垂直的直线方程eq x(状元随笔)eq x(求导数f x0)eq x(计算f blc(rc)(avs4alco1(f(,3)eq x(所求直线斜率kf(1,f blc(rc)(avs4alco1(f(,3)eq x(利用点斜式写,出直线方程)方法归纳求曲线方程或切线方程时，应注意：1切点是曲线与切线的公共点，切点坐标既满足曲线方程也满足切线方程；2曲线在切点处的导数就是切线的斜率；3必须明确

9、已知点是不是切点，如果不是，应先设出切点跟综训练4已知直线ykx是曲线y3x的切线，则k的值为_eq x(温馨提示：请完成课时分层作业十三)61.3基本初等函数的导数新知初探自主学习知识点一都是可导确定的导数f(x)f(x)或y(或yx)知识点二012xeq f(1,x2)知识点三0nxn1x1axln aexeq f(1,xln a)eq f(1,x)cos xsin x基础自测1解析：对于，y(x3)eq f(3,x4)，正确；对于，yeq f(1,3)xeq f(1,3)x，不正确；对于，f(x)3，故f(1)3，正确答案：B2解析：对于，y0，故错；显然正确，故选C.答案：C3解析：f

10、(x)10 xln 10，f(1)10ln 10.答案：C4解析：f(x)x，f(x)x1，f(1)eq f(1,4).答案：D课堂探究素养提升例1解析：(1)y(x12)12x11.(2)yeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x4)(x4)4x5eq f(4,x5).(3)y(eq r(5,x3)eq f(3,5)x.(4)y(3x)3xln 3.(5)y(log5x)eq f(1,xln 5).跟踪训练1解析：f(x)3x2，g(x)eq f(1,xln 3)，f(x)g(x)3x2eq f(1,xln 3).答案：3x2eq f(1,xln 3)例2解析：v(t)s(t)c

11、os t，veq blc(rc)(avs4alco1(f(,3)coseq f(,3)eq f(1,2).即质点在teq f(,3)时的速度为eq f(1,2).跟踪训练2解析：(1)f(x)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,r(3,x)eq f(1,3)eq f(1,3r(3,x4)，f(1)eq f(1,3r(3,1)eq f(1,3).(2)f(x)sin x，feq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)sin eq f(,4)eq f(r(2),2).例3解析：(1)f(x)eq f(1,x2).设过点A(1,0)的切线的切点为Peq blc(rc)(avs4

12、alco1(x0，f(1,x0)，则f(x0)eq f(1,xoal(2,0)，即该切线的斜率为keq f(1,xoal(2,0).因为点A(1,0)，Peq blc(rc)(avs4alco1(x0，f(1,x0)在切线上，所以eq f(f(1,x0)0,x01)eq f(1,xoal(2,0)，解得x0eq f(1,2).故切线的斜率k4.故曲线过点A(1,0)的切线方程为y4(x1)，即4xy40.(2)设斜率为eq f(1,3)的切线的切点为Qeq blc(rc)(avs4alco1(a，f(1,a)，由(1)知，kf(a)eq f(1,a2)eq f(1,3)，得aeq r(3).所

13、以切点坐标为eq blc(rc)(avs4alco1(r(3)，f(r(3),3)或eq blc(rc)(avs4alco1(r(3)，f(r(3),3).故满足斜率为eq f(1,3)的曲线的切线方程为yeq f(r(3),3)eq f(1,3)(xeq r(3)或yeq f(r(3),3)eq f(1,3)(xeq r(3)，即x3y2eq r(3)0或x3y2eq r(3)0.跟踪训练3解析：y2x.设所求切线的切点为A(x0，y0)点A在曲线yx2上，y0 xeq oal(2,0)，又A是切点，过点A的切线的斜率k2x0，所求切线过P(3,5)和A(x0，y0)两点，其斜率为eq f(

14、y05,x03)eq f(xoal(2,0)5,x03).2x0eq f(xoal(2,0)5,x03)，解得x01或x05.从而切点A的坐标为(1,1)或(5,25)当切点为(1,1)时，切线的斜率为k12x02；当切点为(5,25)时，切线的斜率为k22x010.所求的切线有两条，方程分别为y12(x1)和y2510(x5)，即y2x1和y10 x25.例4解析：(1)设切点为(x0，y0)，yeq f(1,x)，keq f(1,x0)，yeq f(1,x0)x，又点(x0，y0)在曲线yln x上，y0ln x0，ln x0eq f(x0,x0)，x0e，keq f(1,e).(2)因为f(x)cos x，所以f(x)sin x，则曲线f(x)cos x在点Peq blc(rc)(avs4alco1(f(,3)，f(1,2)的切线斜率为feq blc(rc)(avs4alco1(f(,3)sineq f(,3)eq f(r(3),2)，所以所求直线的斜率为eq f(2r(3),3)，所求直线方程为yeq f(1