2020-2021学年北师大版数学七年级下册单元期末复习课件-第四章-三角形

1、第四章三角形章末复习第四章三角形章末复习知识框架归纳整合素养提升中考链接知识框架分类三角形全等三角形应用判定尺规作图性质有关线段概念性质由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形中线、角平分线、高线分类按角分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形按边分类：等腰三角形、不等边三角形三角形三个内角的和等于180三角形任意两边之和大于第三边, 任意两边之差小于第三边三角形具有稳定性性质对应边相等对应角相等周长、面积相等性质对应中线相等对应高线相等对应角平分线相等全等三角形SSSASA或AAS判定SAS应用三角形稳定性的应用用三角形全等测距离【要点指导】三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边

2、；任意两边之差小于第三边.利用三角形三边关系可以解决以下问题：(1)判断三条线段能否构成三角形；(2)求三角形第三边长的取值范围；(3)确定三角形第三边的长, 并进一步求该三角形的周长等.归纳整合专题一 三角形三边关系的应用例1 王伟准备用一段长30米的篱笆围成一个三角形形状的花圃. 已知第一条边长为a米, 由于受地势限制, 第二条边长只能比第一条边长的2倍多2米.(1)请用含a的式子表示出第三条边长.(2)第一条边长可以为8米吗？为什么？请说明理由. (3)能否使围成的花圃是等腰三角形？若能, 说明你的围法；若不能,请说明理由分析 本题以三角形三边关系为载体, 主要考查了整式计算与三角形的有

3、关边的知识的理解与运用, 在探究等腰三角形的形状时要注意分类讨论,构建方程分析与解决实际问题.解： (1)第一条边长为a米, 由题意得第二条边长为(2a+2)米, 所以第三条边长为30-a-(2a+2)(28-3a)米(2)不可以为8米理由：因为a=8时, 2a+2=18, 28-3a=4, 又因为8+40, 所以当a=2a+2时, 此方程无解, 不能围成等腰三角形；当a28-3a时, 解得a7, 2a+2=16, 因为7+716, 不满足三角形三边之间的关系, 所以不能围成等腰三角形；当2a+228-3a时,解得 ,因为 ,此时满足三角形三边之间的关系, 所以存在三边长为 米, 米, 米的等

4、腰三角形.相关题1-1 已知ABC的三边长都是整数, 且AB=2, BC=6, 则ABC的周长可能是( ).A14 B16C18 D20A解析 根据“三角形任意两边之和大于第三边”可知AC8；根据“三角形任意两边之差小于第三边”可知AC4，因此可以确定AC的取值范围，从而可以确定ABC的周长的范围相关题1-2 已知等腰三角形ABC的两边长分别为2和3, 则等腰三角形ABC的周长为( ).A7 B8C6或8 D7或8D解析 2和3都可能是底边长，应分别考虑并判断是否可以组成三角形相关题1-3 设a, b, c是ABC的三边长, 化简：|a-b-c|+|b-c-a|+ |c+a-b|.解： 根据三

5、角形的三边关系，得abc，bca，所以abc0，bca0，所以|abc|bca|cab|bcacabcabab3c.【要点指导】三角形中的角度计算, 主要是指运用三角形三个内角的和等于180, 直角三角形的两个锐角互余, 以及三角形的角平分线、高线等知识进行有关角的度数的计算等专题二 与三角形有关的角度计算例2 下列条件中, 不能判定ABC为直角三角形的是( ).AA=2B=3C B2A=2B=CCABC=321DA= B= CA分析相关题2-1 如图4-Z-1, ABC的角平分线CD, BE相交于点F, A=90, EGBC, 且CGEG于点G, 下列结论：CEG =2DCB；DFB= CG

6、E；ADC=GCD；CA平分BCG. 其中正确结论的个数是( ).图4-Z-1C因为A90，所以ADCACD90.因为CD平分ACB，所以ACDBCD，所以ADCBCD90.因为EGBC，且CGEG，所以GCB90，即GCDBCD90，所以ADCGCD，故正确无法证明CA平分BCG，故错误所以正确的为.相关题2-2 如图4-Z-2所示, 点A, B,C, D, E, F是平面上的六个点, 则A+B+C+D+E+F的度数是( ).A180 B360C540 D720图4-Z-2B解析 如图，因为PGHAGB180AB，GHPCHD180CD，GPHEPF180EF， 且PGHGHPGPH180，

7、所以540ABCDEF180，所以ABCDEF540180360.【要点指导】对于三角形中重要线段的问题, 应掌握重要线段所表示的含义, 例如与角有关的有三角形的角平分线和高线, 与此同时会涉及余角的相关知识, 同时还要注意三角形中平行线性质的运用等.专题三 三角形中重要线段的应用例3 如图4-Z-3, 在ABC中, E是BC边上一点,EC=2BE, D是AC的中点, 设ABC, ADF, BEF的面积分别为S ABC , S ADF , S BEF , 且S ABC =12, 则S ADF-S BEF=.图4-Z-32分析 由D是AC的中点且S ABC =12, 可得S ABD = S AB

8、C = 12=6；同理由EC=2BE得BE= BC, 可得S ABE = 12=4. 又S ABE-SABF =S BEF , S ABD-SABF =S ADF , 等量代换可知S ADF-SBEF =2.相关题3 如图4-Z-4, AD为ABC的中线, BE为ABD的中线.(1)若ABE=15, BAD=35, 求BED的度数；(2)在BED中作BD边上的高；(3)若ABC的面积为60,BD=5, 则点E到BC边的距离为多少？图4-Z-4解： (1)因为ABE15，BAD35，所以BEA1801535130，所以BED18013050.(2)如图所示，EF是BED中BD边上的高例4 如图4

9、-Z-5, BO, CO分别平分ABC和ACB.(1)若A=60, 求O的度数；(2)若A=100或A=120, 求O的度数；(3)由(1)(2)你发现了什么规律？写出你的结论, 并说明理由.图4-Z-5解： 如图4-Z-5, 因为BO, CO分别平分ABC和ACB, 所以1=2, 3=4.(1)因为A=60, 所以1+2+3+4=120,所以1+4=60, 所以O=120(2)若A=100, 则1+2+3+4=80,所以1+4=40, 所以O=140.若A=120, 则1+2+3+4=60,所以1+4=30, 所以O =150.图4-Z-5(3)O=90+ A.理由：因为1+4= ABC+

10、ACB= (180-A) =90- A, 所以O=180-(1+4)=180- ( 90- A) =90+ A.图4-Z-5相关题4 在ABC中, ACBABC, AD平分BAC(1)如图4-Z-6, 过点B作BE射线AD于点E,则ABE与 (ACB+ABC)之间有何数量关系？请说明理由；图4-Z-6相关题4 在ABC中, ACBABC, AD平分BAC(2)如图, 过点C作CFA D 于 点 F , 则 D C F ,ACB, ABC 之间又有怎样的数量关系？写出你的结论(不需说明理由)；图4-Z-6相关题4 在ABC中, ACBABC, AD平分BAC(3) 如图, 过点A作AEBC于点E

11、, 则DAE与ACB, ABC之间又有怎样的数量关系？写出你的结论(不需说明理由).图4-Z-6【要点指导】全等三角形的性质为证明线段(角)相等提供了依据.三角形全等的判定方法有四种：“SSS”“SAS”“ASA”和“AAS”.在具体问题中, 一般只直接给出一个或两个条件(有的甚至一个条件也不直接给出), 其余条件常隐含于条件或图形中, 因此找出这些隐含条件是解答问题的关键.专题四 全等三角形的判定与性质的运用例5 衡阳中考如图4-Z-7, 已知线段AC, BD相交于点E, AE=DE,BE=CE(1)试说明：ABEDCE；(2)当AB=5时, 求DC的长图4-Z-7解： (1)在ABE和DC

12、E中,因为AE=DE, AEB=DEC, BE=CE,所以ABEDCE(SAS)(2)因为ABEDCE, 所以AB=DC. 因为AB=5, 所以DC=5相关题5 武汉中考如图4-Z-8,点C, F, E, B在一条直线上,CFD= BEA,CE=BF, DF=AE, 写出CD与AB之间的关系, 并说明理由图4-Z-8解析由已知推出CFBE，根据“SAS”判定AEBDFC，从而得出CDAB，CB，根据平行线的判定得出CDAB.解：CDAB，CDAB，理由：因为CEBF，所以CEEFBFEF，即CFBE.在DFC和AEB中，因为CFBE，CFDBEA，DFAE，所以DFCAEB(SAS)，所以CD

13、AB，CB，所以CDAB.【要点指导】本类题以探究题、开放题为主, 通过“一题多变”与“一题多解”考查同学们的发散思维能力. 这种命题的方式是近年中考命题的一大亮点, 主要考查学生探索三角形全等的条件.添加条件判定全等的题目, 首先要找到已具备的条件, 这些条件有些是题目明确给出的, 有些是题目隐含的, 然后依据三角形全等的判定方法找出还缺少的条件后进行添加. 但需注意添加条件时, 不能构成“SSA”的形式.专题五 全等三角形开放探究型问题例6 如图4-Z-9, 已知点B, F, C, E在同一条直线上, FB=CE, AC= DF. 能否由上面的已知条件说明ABDE？如果能, 请写出解答过程

14、；如果不能, 请从下列三个条件中选择一个合适的条件, 添加到已知条件中, 使ABDE成立, 并给出理由. 供选择的三个条件(请从其中选择一个)：AB=DE；BC=EF；ACB=DFE.图4-Z-9分析 解： 由上面的已知条件不能说明ABDE.因为缺少说明ABC和DEF全等的条件.有两种添加方法：(1)添加 AB=DE.理由：因为FB=CE, 所以BC=EF. 又因为AC=DF, AB=DE,所以ABCDEF, 所以B=E, 所以ABDE.(2)添加 ACB=DFE.理由：因为FB=CE, 所以BC=EF. 又因为ACB=DFE , AC=DF,所以ABCDEF, 所以B=E, 所以ABDE.相

15、关题6 如图4-Z-10, ABC的两条高AD,BE相交于点F, 请添加一个条件, 使得ADCBEC(不添加其他字母及辅助线), 你添加的条件是 .答案不唯一，如ACBC图4-Z-10解析 答案不唯一，如添加条件：ACBC.因为AD，BE是ABC的两条高，所以ADCBEC90.在ADC和BEC中，因为ADCBEC，CC，ACBC，所以ADCBEC.【要点指导】三角形作为初中阶段最基础、最重要的内容, 经常作为呈现知识、能力和数学思想的载体.在等腰三角形中常常涉及分类讨论思想.素养提升专题一 分类讨论思想例1 已知等腰三角形的周长是24 cm.(1)若腰长是底边长的2倍, 求腰长；(2)已知其中

16、一边长为6 cm, 求其他两边长.分析 (1)可以通过设未知数来进行计算, 列出方程, 通过求方程的解得到答案, 其中体现了方程思想. (2)要注意分两种情况考虑, 因为题目中没有说明这条边究竟是腰还是底边, 所以应该分成两种情况考虑：一种是6 cm长的边为腰, 另一种是6 cm长的边为底, 体现了数学中的分类讨论思想. 注意计算结果还要验证是否符合两边之和都大于第三边.解： (1)设底边长为x cm, 则腰长为2x cm,根据题意, 得x+2x+2x=24, 解得x=4.8,所以2x=24.8=9.6, 即腰长为9.6 cm.(2)因为长为6 cm的边可能是腰, 也可能是底, 所以要分两种情

17、况讨论.当长为6 cm的边为腰时, 则底边长为24-62=12(cm).因为6+6=12, 两边之和等于第三边, 所以长为6 cm的边为腰时不能组成三角形, 舍去；当长为6 cm的边为底边时, 则腰长为(24-6)2=9(cm).因为6+99, 所以可以组成三角形,所以三角形的其他两边长均为9 cm相关题1 已知a, b, c为ABC的三边长, b, c满足(b-2)2 +|c-3|=0, 且a为方程|x-4|=2的解, 求ABC的周长, 并判断ABC的形状解：由(b2)2|c3|0可得b2，c3.由|x4|2解得x2或x6，故a2或a6.当a6时，233，可以组成三角形，即ABC的三边长分别

18、为2，2，3，它的周长为7，它的形状是等腰三角形【要点指导】转化思想就是把复杂的问题转化为简单的问题, 把未知的问题转化为已知的问题来处理的一种思想, 这种思想是我们在解决问题时很重要的一种思想. 本章中最为常见的是把证明线段、角相等转化为证明三角形全等, 把测量长度、选址等实际问题转化为数学问题来解决.专题二 转化思想的应用例2 如图4-Z-11所示, 小强在河的岸边, 要测量河面上的一只船B与对岸码头A之间的距离, 他的做法如下：在岸边确定一点C, 使点C与点A, B在同一直线上；在与AC垂直的方向作线段CD,取其中点O； 作DFCD, 使点F, O, A在同一直线上；在线段DF上找到一点

19、E, 使点E与点O, B共线. 他说测出线段EF的长就得到了船B与对岸码头A之间的距离. 他这样做有道理吗？为什么？图4-Z-11分析解：小强的做法有道理. 理由：因为ACCD, DFCD, 所以C=D=90.又因为OC=OD, AOC=FOD(对顶角相等),所以ACOFDO(ASA),所以OA=OF, A=F(全等三角形的对应边相等, 对应角相等).又因为AOB=FOE(对顶角相等), 所以AOBFOE(ASA),所以EF=AB(全等三角形的对应边相等),所以线段EF的长就是船B与对岸码头A之间的距离.相关题2 如图4-Z-12所示, 要测量池宽AB, 可以从点A出发在地面上画一条线段AC,

20、使ACAB, 再从点C观测,在BA的延长线上找到一点B, 使ACB=ACB.这时量得的AB的长度就是AB的长度. 请你说明其中的道理.图4-Z-12解： 在ACB和ACB中，因为CABCAB90，ACAC，ACBACB，所以ACBACB(ASA)，所以ABAB.中考链接母题1 (教材P86习题4.2第1题, 第2题) 1下列每组数分别是三根小木棒的长度, 用它们能摆成三角形吗？实际摆一摆, 验证你的结论.(1)3 cm, 4 cm, 5 cm；(2)8 cm, 7 cm, 15 cm；(3)13 cm, 12 cm, 20 cm；(4)5 cm, 5 cm, 11 cm.2等腰三角形一边长9

21、cm, 另一边长4 cm, 它的第三边是多少？为什么？考点：三角形的三边关系.考情：主要考查三条线段能否构成三角形或求第三边长的取值.策略：根据三角形任意两边之和大于第三边, 任意两边之差小于第三边, 确定未知边长的取值范围, 然后进一步求边长或周长.链接1 金华中考下列各组数中, 不可能成为一个三角形三边长的是().A2, 3, 4 B5, 7, 7C5, 6, 12 D6, 8, 10C分析 因为5+612, 所以5, 6, 12不可能成为一个三角形的三边长. 故选C.链接2 自贡中考已知三角形的两边长分别为1和4, 第三边长为整数, 则该三角形的周长为().A7B8C9D10C分析 设第

22、三边长为x.根据三角形的三边关系, 得4-1x4+1,即3x5. 因为x为整数, 所以x的值为4, 故三角形的周长为1+4+4=9. 故选C.母题2 (教材P84随堂练习第2题) 一个三角形两个内角的度数分别如下, 这个三角形是什么三角形？(1)30和60；(2)40和70；(3)50和20.考点：三角形的内角和.考情：主要考查三角形中角度的计算, 判断三角形的形状.策略：根据“三角形三个内角的和等于180”计算角的度数, 判断三角形的形状主要看三角形中最大角的度数, 最大角为钝角时是钝角三角形,最大角为直角时是直角三角形, 最大角为锐角时是锐角三角形.链接3 襄阳中考如图4-Z-13, AD是EAC的 平 分 线 , A D B C ,B=30, 则C的度数为().A50 B40C30 D20C图4-Z-13分析 链接4 绍兴中考如图4-Z-14, 墙上钉着三根木条a, b,c, 量得1=70, 2=100, 那么木条a, b所在直线所夹的锐角是().A5 B10 C30 D70B图4-Z-14分析 如图4-Z-15, 由对顶角相等可知3=2=100,所以木条a, b所在直线所夹的锐角=180-100-70=10, 故选B.图4-