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1、4.3 向量组的秩与最大无关组一、向量组的秩与最大无关组的概念二、Rn 的基、维数与坐标返回一、向量组的秩与最大无关组的概念例1 1 =(1,0,1), 2 =(1,-1,1), 3 =(2,0,2) 。1, 2, 3 线性相关.1, 2 线性无关； 2 ，3 线性无关，最大无关组定义 设向量组T满足1o 在T中有r 个向量1, 2, , r 线性无关；2o T中任意r + 1个向量都线性相关；则称1, 2, , r 是向量组T的一个最大无关组，数 r 为向量组T的秩.定理1 若则A的任意 k个(1kn)个列向量与B的对应 k 个列向量有相同的线性相关性.任取A的k个列向量所得Ak X=0与

2、Bk X=0 同时有非零解或只有零解. Ak 的列向量与 Bk 的列向量有相同的线性相关性.证定理2 矩阵的 行秩 = 列秩 = 矩阵的秩.矩阵A的列秩：A的列向量组的秩；矩阵A的行秩：A的行向量组的秩.求向量组的秩和最大无关组的方法行初等变换. 例3 求向量组 1=(1,2,0,3), 2 =(2,-1,3,1), 3 =(4,-7,9,-3) 的秩和一个最大无关组，并判断线性相关性. 解 A=(1T, 2T, 3T)所以,秩(1, 2, 3) = 21, 2 ,3 线性相关.s, 则1, 2 , , r 线性相关,两向量组秩的关系：若向量组()可由组()线性表出，则 组()的秩 r1 组(

3、)的秩 r2. 证 设 为() 的最大无关组， 为() 的最大无关组.组()可由组()线性表出,所以可由线性表出, 又线性无关，故 r1 r2.若组()与组()等价，则 组()的秩 r1= 组()的秩 r2. 定理4 设是1, 2, , s的线性无关部 分组，它是最大无关组的充要条件是1, 2, , s中每一个向量均可由 线性表出.例6 设A, B分别为mr, r n矩阵，证明 R(AB)minR(A), R(B).证 设Cmn = AB，(AB)的列向量组可由A的列向量组线性表出，故 R(AB)R(A).又，R(C) = R(CT)=R(BTAT)R(BT)=R(B).所以 R(AB)minR(A), R(B).二、Rn的基、维数与坐标Rn：n维向量空间Rn的一组基： Rn 的一个最大无关组Rn的维数(dim Rn)：Rn 的秩, dim Rn = n.设1, 2, , n为Rn的一组基，则Rn = L(1, 2, , n)又， Rn = L(1, 2, , n)Rn 的标准基 Rn, 1, 2, , n为一组基， = x11+ x22+ + xnn 在基1, 2, , n下的坐标一个向量在确定基下的坐标是惟一的(坐标的惟一性). 例7 (1) 设 = (x1, x2, x3) 0， L( ) : R3的一维子空间; (

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