等腰与直角三角形

1、等腰与直角三角形第1页，共44页，2022年，5月20日，5点45分，星期二考点一 等腰三角形1概念及分类有 的三角形叫等腰三角形；有 的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形；等腰三角形分为 的等腰三角形和 _的等腰三角形2等腰三角形的性质(1)等腰三角形两腰相等；等腰三角形的两个底角 ；(2)等腰三角形的顶角角平分线、底边上的中线和高互相 ，简称“三线合一”；三边相等腰和底不相等腰和底相等相等重合两边相等第2页，共44页，2022年，5月20日，5点45分，星期二(3)等腰(非等边)三角形是轴对称图形，它有一条对称轴(4)等腰三角形边长须满足两腰之和大于底；等腰三角形的底角满足090；顶角满足

2、0180.3等腰三角形的判定(1)有两条边相等的三角形是等腰三角形；(2)有 相等的三角形是等腰三角形温馨提示：应用性质“三线合一”时，一定要注意是顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，利用它可以证明线段相等、角相等及直线垂直.两角第3页，共44页，2022年，5月20日，5点45分，星期二考点二 等边三角形的性质与判定1性质：(1)等边三角形的内角都相等，且等于60；(2)等边三角形是轴对称图形，等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线都“三线合一”，它们所在的直线都是等边三角形的对称轴2判定：三个角相等的三角形是等边三角形；有一个角是60的等腰三角形是等边三角形温馨提示：（1

3、）顶角是直角的等腰三角形是等腰直角三角形.（2）等边三角形外心、内心、重心、垂心四心合一.第4页，共44页，2022年，5月20日，5点45分，星期二考点三 线段的中垂线1概念：垂直且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，也叫中垂线2性质：线段中垂线上的点到这条线段两端点的距离相等3判定：到一条线段的两个端点距离相等的点在中垂线上，线段的中垂线可以看作是到线段两端点距离相等的点的集合第5页，共44页，2022年，5月20日，5点45分，星期二考点四 直角三角形的性质、判定1性质(1)直角三角形的两个锐角 ；(2)勾股定理：a2b2c2(在RtABC中，C90)；(3)在直角三角形中，如果

4、有一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的 ；(4)在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角为 ；(5)直角三角形 上的中线等于斜边的一半互余一半30斜边第6页，共44页，2022年，5月20日，5点45分，星期二2判定(1)有一个角是 的三角形是直角三角形；(2)勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足a2b2c2，那么这个三角形是直角三角形；(3)如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形为 三角形；(4)在一个三角形中,如果有两个角互余,那么这个三角形是 三角形直角直角直角第7页，共44页，2022年，5月20日，5点45分，星

5、期二温馨提示：（1）勾股定理的逆定理是判定三角形为直角三角形的重要方法.（2）能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.（3）若a、b、c为一直角三角形的三边长，则以ma、mb、mc(m0)为三边的三角形也是直角三角形.第8页，共44页，2022年，5月20日，5点45分，星期二 (1)(2011呼和浩特)如果等腰三角形两边长是6 cm和3 cm，那么它的周长是() A9 cmB12 cm C15 cm或12 cm D15 cm(2)(2010东阳)已知等腰三角形的一个内角为40，则这个等腰三角形的顶角为() A40B100C40或100D70或50(3)(2010长沙)下列每一组数

6、据中的三个数值分别为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是()第9页，共44页，2022年，5月20日，5点45分，星期二(4)(2011南充)如图，ABC和CDE均为等腰直角三角形，点B，C，D【点拨】本组题主要考查等腰三角形,直角三角形的有关性质和判定.【解答】(1)D336，等腰三角形的底边长和腰长分别为3 cm和6 cm，它的周长是62315(cm)(2)C当40为底角时，顶角为100；40也可以为顶角故选C.第10页，共44页，2022年，5月20日，5点45分，星期二第11页，共44页，2022年，5月20日，5点45分，星期二方法总结：（1）等腰三角形与直角三角形是常见的图形，其

7、性质在研究平行四边形、等腰梯形、圆、三角函数等时应用非常广泛，因此应熟练、准确掌握其性质并灵活应用.（2）“等边对等角”或“等角对等边”仅限于在一个三角形中.在两个三角形中，如果两边相等，这两条边所对的角不一定相等.第12页，共44页，2022年，5月20日，5点45分，星期二 2011芜湖 如图，在梯形ABCD中，DCAB，ADBC，BD平分ABC，A60，过点D作DEAB，过点C作CFBD，垂足分别为E，F，连接EF，求证：DEF为等边三角形【点拨】先证F为BD的中点，从而得到DFEFBF.再由BDE60，可得DEF为等边三角形第13页，共44页，2022年，5月20日，5点45分，星期二

8、DCAB，BDCABD30，CBDCDB，CBCD.CFBD，F为BD的中点又DEAB，DFBFEF.由ABD30，得BDE60，DEF为等边三角形第14页，共44页，2022年，5月20日，5点45分，星期二1已知等腰三角形的两条边长分别是7和3,则第三条边的长是()A8B7C4D3答案：B2如图，在等腰三角形ABC中，ABAC，A20.线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则CBE等于()A80B70 C60 D50答案：C3.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30,则顶角度数为()A60 B120 C60或150 D60或120答案：D第15页，共44页，2022年，5

9、月20日，5点45分，星期二4下面给出的几种三角形：(1)有两个角为60的三角形；(2)三个外角都相等的三角形；(3)一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形；(4)有一个角为60的等腰三角形其中一定是等边三角形的有()A4个B3个C2个D1个答案：B5如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，130，250，则3的度数等于()A50 B30 C20 D15答案：C第16页，共44页，2022年，5月20日，5点45分，星期二6如图，在ABC中，ABAC，BAC40，分别以AB、AC为边作两个等腰直角ABD和ACE，使BADCAE90.(1)求DBC的度数；(2)求证：BDCE.答案：(1)DB

10、C115(2)先证DABEAC，即得BDCE第17页，共44页，2022年，5月20日，5点45分，星期二等腰三角形与直角三角形训练时间：60分钟 分值：100分第18页，共44页，2022年，5月20日，5点45分，星期二一、选择题(每小题4分，共44分)1(2012中考预测题)等腰三角形的一条边长等于6，另一条边长等于3，则此等腰三角形的周长是() A9 B12 C15 D12或15【解析】当6为腰，3为底时，636，此时周长为15；当6为底，3为腰时，336，不能组成三角形【答案】C第19页，共44页，2022年，5月20日，5点45分，星期二2(2012中考预测题)在ABC中，ABAC

11、，点D在AC上，且BDBCAD，则A等于()A30 B40C45 D36【解析】ADBD，ABDA.BDBC，BCDBDCAABD2A.ABAC，ABCC2A，AABCC180，A2A2A180，A36.【答案】D第20页，共44页，2022年，5月20日，5点45分，星期二3(2011铜仁)下列关于等腰三角形的性质叙述错误的是()A等腰三角形两底角相等B等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合C等腰三角形是中心对称图形D等腰三角形是轴对称图形【解析】等腰三角形只是轴对称图形，不是中心对称图形【答案】C第21页，共44页，2022年，5月20日，5点45分，星期二4(2010中

12、考变式题)下列四组线段中，可以构成直角三角形的是()A1,2,3 B2,3,4C3,4,5 D4,5,6【解析】324252，3、4、5构成直角三角形【答案】C第22页，共44页，2022年，5月20日，5点45分，星期二5(2012中考预测题)等腰ABC的周长为21，底边BC5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，则BEC的周长为()A13 B14C15 D16【解析】由等腰ABC的周长为21，底边BC5，可求出ABAC8.DE垂直平分AB，AEBE.CBECBCBEECBCAEECBCAC5813.【答案】A第23页，共44页，2022年，5月20日，5点45分，星期二6(20

13、10中考变式题)如图，在RtABC中，C90，斜边AB的垂直平分线交AB于点D、交BC于点E，AE平分BAC，那么下列关系式中不成立的是()ABCAE BDEACEACBBAE DAC2EC第24页，共44页，2022年，5月20日，5点45分，星期二【解析】由DE垂直平分AB得EAEB，BBAE，又AE平分BAC，AE平分BAC，EABCAE，BBAECAE，因此A、C都成立AE平分BAC，EABCAE，又EDAB，ECAC，DEACEA(等角的余角相等)，B成立【答案】D第25页，共44页，2022年，5月20日，5点45分，星期二7(2010中考变式题)如图是一株美丽的勾股树，其中所有的

14、四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是()A13 B26C47 D94【解析】SESASBSCSD3252223247.【答案】C第26页，共44页，2022年，5月20日，5点45分，星期二8(2010中考变式题)一架长25 dm的梯子，斜立在竖直角墙上，这时梯足距墙底端7 dm，如果梯子的顶端沿墙下滑4 dm，那么梯足将滑出()A9 dm B15 dmC5 dm D8 dm【答案】D第27页，共44页，2022年，5月20日，5点45分，星期二9(2010中考变式题)已知等边ABC的边长为a，则它的面积是()【答

15、案】D第28页，共44页，2022年，5月20日，5点45分，星期二10(2010中考变式题)如图，ABC和DCE都是边长为4的等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，连接BD，则BD的长为()第29页，共44页，2022年，5月20日，5点45分，星期二【答案】D第30页，共44页，2022年，5月20日，5点45分，星期二11(2012中考预测题)P是RtABC斜边AB上任意一点(A、B两点除外)，过P点作一直线，使截得的三角形与RtABC相似，这样的直线可以作()A1条 B2条C3条 D4条【解析】过点P分别作两直角边的平行线，得2条直线；过点P作斜边AB的垂线，得到第3条直线【答案】C

16、第31页，共44页，2022年，5月20日，5点45分，星期二二、填空题(每小题4分，共16分)12(2010中考变式题)在RtABC中，ACB90，D是AB的中点，CD4 cm，则AB_cm.【解析】根据“在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半”得斜边AB2CD248(cm)【答案】8第32页，共44页，2022年，5月20日，5点45分，星期二13(2011新疆)如图所示，ABC是等边三角形，AB4 cm，则BC边上的高AD等于_ cm.第33页，共44页，2022年，5月20日，5点45分，星期二14(2011宁波)如图所示，在ABC中，ABAC，D、E是ABC内的两点，AD平分BA

17、C，EBCE60，若BE6 cm，DE2 cm，则BC_ cm.第34页，共44页，2022年，5月20日，5点45分，星期二【答案】8第35页，共44页，2022年，5月20日，5点45分，星期二第36页，共44页，2022年，5月20日，5点45分，星期二第37页，共44页，2022年，5月20日，5点45分，星期二三、解答题(共40分)16(8分) (2010中考变式题)在ABC中，A50，ABAC，AB的垂直平分线DE交AC于点D，求DBC的度数【答案】解：A50，ABAC，ABCC65.DE垂直平分AB，ADBD，AABD50.DBCABCABD655015.第38页，共44页，20

18、22年，5月20日，5点45分，星期二17(8分)(2011陕西)如图所示，在正方形ABCD中，点G为BC上任意一点，连接AG，过B、D两点分别作BEAG，DFAG，垂足分别为E、F两点求证：ADFBAE.第39页，共44页，2022年，5月20日，5点45分，星期二【答案】证明：四边形ABCD是正方形，DAAB，1290.又BEAG，DFAG，1390，2490.23，41.ADFBAE(ASA)第40页，共44页，2022年，5月20日，5点45分，星期二18(12分)(2011黄冈)如图所示，在等腰直角三角形ABC中，ABC90，D为AC边上中点，过D点作DEDF，交AB于E，交BC于F.若AE4，FC3，求EF的长第41页