2020基础讲义1-3考研

1、 (201811（一） 复习策略求极限常见的是七种类型不定式，即 ，0， ，1 ，0 ，00，其重0是“ ”型和“1 ”型000常用的方法有种1）洛必达法则：若 (201811（一） 复习策略求极限常见的是七种类型不定式，即 ，0， ，1 ，0 ，00，其重0是“ ”型和“1 ”型000常用的方法有种1）洛必达法则：若 1）lim f(x) lim g(x) xx2）f(xg(xx0g(xf3）x存在（或f (x) lim f(x)x则x2）等价无穷小代换（1）代换原则：若 则lim lim1 lim lim1 11111三若 1 1且lim A1则 1 1若 且lim1 A1.则 若 1 1

2、且lim A1则 1 1若 且lim1 A1.则 111（2）常用的等价无穷小： x 0 x sin x tanx arcsin x arctanx ln(1x)ex 1cosx 1 x2(1x) 1xsinx 1 6arcsinxx 1 63）泰勒公式ax 1 xln21xln(1x) 12tanxx33xarctanx 13x1 xo(xnsinxxx3 L(2n cosxL)n1 nln(1x)xL 2o(x n1x(1)x2 L(1)L(n1)xn (xn（5）(1sinxsinsinxsin求极限16.21sin1 求极限lim 2 .x0 x21sin1 求极限lim 2 .x0

3、x2ex e22cos 1 求极限.xx0f(x) xsinaxg(x) x2 ln(1bx是等价无穷小，则）（A）a1,b 1 6（C）a1,b 16（B）a1,b 16（D）a1,b 1 63x0f(x3sinxsin3x0f(x3sinxsin3x与cxk（A）k1,c（B）k 1,c（C）k 3,c （D）k 3,c 已知极限limxarctanx ckc为常数，且c 0 x（A）k 2,c12（C）k 3,c 13（B）k 2,c 12（D）k 3,c 13 16（A）a （B）b（C）c（D）d 2.“1 ”型极常用的方法有三种411）凑基本极限 lim(1xx limf(x)g(

4、x) limegx)ln f (x2）3）若lim(x) 0lim(x) lim(x)(x) Alim1(x)x) e11）凑基本极限 lim(1xx limf(x)g(x) limegx)ln f (x2）3）若lim(x) 0lim(x) lim(x)(x) Alim1(x)x) eA12 lim(tanx)cosxsinx x412 ln(1x)ex 求极限.x1ln(1x)ex . x0lny,ex xlim lnln(1x)lnlim lny x0ex 1lim (1x)ln(1（4 分1x(1 x)ln(1 x) xlimx(1x)ln(1xlim1ln(1x)11（9 分2lnl

5、n(1 x)x0lny ex 5且lnln(1 x)ex 12lim lny x01ln(1x)ex 1e（lnln(1 x)ex 12lim lny x01ln(1x)ex 1e（10分x11e2 lim2 x极限lim x(xa)(xb)eab eba (B) e(A) s在(,x（A）连续（D）有无穷间断点1求极限lim(cos2x2xsinxx4 1e361sin1tanek . 若(-x01sin1tanek . 若(-x01 tan x1若lim(exax2bxx2 1则）11（A）a ,b 2（C）a 1,b 2（B）a,b 2（D）a 1,b 2（二） 复习规划数学复习可分为三

6、个阶段：1.基础阶段：(5 月之前重7在这个阶段考生应根据大纲的要求选定（该课程的教科书，利用对所学过的基本概念、基本理论、基本方法进行全面系统的复习，对概念、理论和方法不能只停留在，而要理解和消化。这个阶段考生需做一些基本练习题，可做三种题，一种是上的例题；第二种上每章章末练习（节后习题可不做；第三种是李永乐主编数学基础过关660 题，这个阶段一般应在放暑假前完成。参考（1）教科书（大学所学）（2数学基础过关 660 题 强化阶段： 月d 重这个阶段应选择一本较好辅导书进行系统复习。进一步加强对基本概念、基本理论、基本方法的难点和重点的复习。要逐步学会灵活运用基本概在这个阶段考生应根据大纲的

7、要求选定（该课程的教科书，利用对所学过的基本概念、基本理论、基本方法进行全面系统的复习，对概念、理论和方法不能只停留在，而要理解和消化。这个阶段考生需做一些基本练习题，可做三种题，一种是上的例题；第二种上每章章末练习（节后习题可不做；第三种是李永乐主编数学基础过关660 题，这个阶段一般应在放暑假前完成。参考（1）教科书（大学所学）（2数学基础过关 660 题 强化阶段： 月d 重这个阶段应选择一本较好辅导书进行系统复习。进一步加强对基本概念、基本理论、基本方法的难点和重点的复习。要逐步学会灵活运用基本概念，基本理论和基本方法来解决问题，加强综合题的练习，以提高用所学知识分析问题和解决问题的能

8、力。本阶段也要做一定量的练习，特别是综合题，一般可做你选定的辅导书后的练习题和历届（按章分类，通过做题，归纳题型和方法，做到题型和方法心中有数。这个阶段应在四十天完成。参考（1数学复习全书（2数学 冲刺阶段： 应对前两个阶段所复习的基本内容，常考题以及解题方法进行归纳总结，使其系统化，条理化。这个阶段也需要做一定的练习题，主要拟试卷和考研（试卷，以熟悉试卷结构，演练答题时间的分配及答题顺序的选择， 找自己的和。参考8（1数学全（试卷篇（2李永乐数学最后冲刺 6+2（三） 几点建议为了使考生更好的复习数学，达到事半功倍给考生提供以下四个面的建议：1以教育部颁布的入大纲为指导进行命题。考试内容、要

9、求、内容比例、题型比例符合大纲规定，不出超纲题、偏题、怪题2试题以考查数学的基本概念、基本和基本原理为主，在此基础上加强对考生的运算能力、抽象概括能力、逻辑思维能力和综合运用所学知识解决实际问题的能力的考查。3确定试卷题量的标准使优秀水平的考生能在规定的时间里完成试题作答并有一定的检查时间。试题的排列顺序遵循先易后难，先简后繁的原则，有利于考生发挥其真实水平。 充分发挥各（1数学全（试卷篇（2李永乐数学最后冲刺 6+2（三） 几点建议为了使考生更好的复习数学，达到事半功倍给考生提供以下四个面的建议：1以教育部颁布的入大纲为指导进行命题。考试内容、要求、内容比例、题型比例符合大纲规定，不出超纲题

10、、偏题、怪题2试题以考查数学的基本概念、基本和基本原理为主，在此基础上加强对考生的运算能力、抽象概括能力、逻辑思维能力和综合运用所学知识解决实际问题的能力的考查。3确定试卷题量的标准使优秀水平的考生能在规定的时间里完成试题作答并有一定的检查时间。试题的排列顺序遵循先易后难，先简后繁的原则，有利于考生发挥其真实水平。 充分发挥各题型的功能。填空题主要考查三基以及数学的重要性质，一般不出纯粹只靠计算的大计算量题，以中、难度试题为主。选择题主要考查考生对数学概念、数学性质的理解并能进行简单的推理、判定、计算和比较，以中等难度试题为主。性试题也有坡度，有些考查基本运算，有些考查综合应用，有些考查逻辑推

11、理，有些考查分析问题和解决问题的能力。 试题有一定的内容覆盖面，但不要求面面俱到。由于数学内容广泛，而时间有限，数量有，一般要求保证重点章节被考查。作为入，应注重考查能力，试题不追求面面俱到，节节有题。1近几年数学试题在难度上进行了调整，普遍反映试题难度不是很高， 考生得分并不理想，平均分偏低，主要问题是基本题失分严重。2.考生应注重基础，从考卷中反映出考生基本知识不牢固，很多考生只是9背题型，按照套路做题，对基本概念不够重视，理解不深，不能灵活应用，不能从基本概念入手解决问题。在阅卷中发现一些考生在答卷中出现很初等的错误，这是基本功不扎实的表现，可能是考生在复习中些考生在复习中追求难题，而对

12、基本概念、基本理论、基本方法注重不够，投。从近几年试题可以看出，基本概念、基本方法和基本性质是考察的重点，对数学基础知识的要求全面又突出重点、注意层次。注重基础是复习的基本方向，要求考生不仅能明确概念的要素、性质的基本特征，而且要理解概念与性质的内涵和外延。3注重能力训练，在数学中，需要经过计算解答的试题有一定比例，而一些应用题、证明题和综合题也是通过计算完成的。因此，加强计算能力的训练是非常重要的。运算的准确性是对运算的基本要求，要求考生根据算理和题目的要求，有根有据的一步一步地实施运算。中重点背题型，按照套路做题，对基本概念不够重视，理解不深，不能灵活应用，不能从基本概念入手解决问题。在阅

13、卷中发现一些考生在答卷中出现很初等的错误，这是基本功不扎实的表现，可能是考生在复习中些考生在复习中追求难题，而对基本概念、基本理论、基本方法注重不够，投。从近几年试题可以看出，基本概念、基本方法和基本性质是考察的重点，对数学基础知识的要求全面又突出重点、注意层次。注重基础是复习的基本方向，要求考生不仅能明确概念的要素、性质的基本特征，而且要理解概念与性质的内涵和外延。3注重能力训练，在数学中，需要经过计算解答的试题有一定比例，而一些应用题、证明题和综合题也是通过计算完成的。因此，加强计算能力的训练是非常重要的。运算的准确性是对运算的基本要求，要求考生根据算理和题目的要求，有根有据的一步一步地实

14、施运算。中重点强调的是：在运算过程中使用的概念要准确无误，使用的公式要准确无误，使用的法则要准确无误，最终才能保证运算结果的准确无误。运算的熟练是对考生思维敏捷性的考查。给考生以充裕的时间去想怎么算，而不是把时间花在冗长的计算过程的书写上。过繁的计算消耗考生的时间和精力，将会影响对其基本概念、方法和能力的考查。运算的简捷是指运算过程中所选择的运算路径短、运算步骤少、运算时间省，这就要求考生在运算过程中要灵活应用概念，恰当选择公式，合理使用数学方法。七忌1）强背方法技巧，不重理解；2）只看例题，不动笔练习；3）只追高难，不重基础；4）题海战术，不归纳总结；5）闷头做题，不互相交流；6）做题翻书，

15、不牢记公式；7）突击复习，不持之以恒。第一函数 极限 连续第一节 内 容 概 要（一）函数的概念及常见函数1. 第一函数 极限 连续第一节 内 容 概 要（一）函数的概念及常见函数1. y f(x),xD, f(xf 的值域Rf f(DRf f(D)y y f(x),xxxx ysgnx 2. Df Rg ,y fg(xy f(u与u g(x的复合函数.域为xxDgg(xDf 域为xxDgg(xDf Df 0,Rg 2,0, Df Rg 3.3 y xDy f(xx f 1yy f(x的反函数 0 x31 x(3) 有时也将 y f (xx f 1yy f 1(x) y f(xx f 1yy

16、y xf(xy f 1(x(4)f 1f(x) ff 1(x) ex e2ex e【解】y 知2e2x 2yex 1 y 1 由于ex 0则ex y 1 x ln(y 1 y2ex eyshxyln(x1 x ).224. y x1) (1) y x的取值,x0y x都有定义x, y 3 x, y x1) (1) y x的取值,x0y x都有定义x, y 3 x, y 1(2) y x, y x2, y x3, y x2) 指数函y （a 0, a （2）a1yax单调增；当0a1yax单调减（3）yexlim ex 0,lim ex 3) 对数函y loga (a0,aa1ylogax单调增

17、；当0a1yloga x单调减ylnxlimlnxlim lnx4) 三角函y sinx, y cosx, y tanx, y cotx, y secxy cscx（1）正弦函数sin x 与余弦函数cos （）sin x 是奇函cos x 是偶函数（）sinx和cosx都以2为周期sinx1,cossin02cos0sin sin3 sin2 2cos cos3 cos2 22sin cossin cos 1, sin cos 2 3643sin( x)cosx, x)cosx, sin( x)sin22cos( x) sinsin( x)cosx, x)cosx, sin( x)sin22

18、cos( x) sinx, cos( x)sinx, cos( x)cos22sin2x2sinxcosx, cos2x cos2 xsin2 （2）正切函数tanx 与余切函数cot tanxxk (kZ2（）tanx和cotx都以 为周期tan cottan cot 1, tan cot 364436 lim3 tanx, limcotx, limcotx22tan( x)cotx, x)cotx, tan( x)tan25) 反三角函数 y arcsinx2y arccosxy arctan（1）反正弦函数arcsin x 与反余弦函数arccos （）定义域：1,1值域arcsin x

19、 的值域为 2 arccosx 的值域为0,（）arcsin x 单调arccos x 单调减（）奇偶性：arcsin x 是奇函数 ,arccosx 2 arcsin0arccos10, arcsin1 arccos 2 , arccos1 22322（2）反正切函数arctan （）(,(2 arctan , arccos1 22322（2）反正切函数arctan （）(,(2 arctanx 2 arctan1 , arctan 3 arctan00, arctan 43lim arctanx lim arctanx22定义 （二）函数的性质1. x1 f(x1 f(x2（f(x1 f(

20、x2）y f(x在该区间内单调增加（或少2.7 y f(xD关于原点对称（xD，则有xD果对于任一 xD f(x) f(x) ，则称 f (x) D 上的偶函数； 如果恒有f(x) f (xf (xD上的奇函数【注】(1)sinxtanxarcsinxarctanxln1xln(x 1x2 ex 1, f (x f (x1ex x2, xcosx, f(x f(x(2)y f(xf(xx01.1.4】f(x) ln(x (2)y f(xf(xx01.1.4】f(x) ln(x 1x2【证】f(xln(x 1 x21f(x) ln(x 1 x2(x 1 x2ln(x 1 x2) ff(xln(x

21、 1 x23.8 若存在实数T 0 xf(xT f(xy f(x为期函数.使得上述关系式成立的最小正数T f(x的最小正周期f(x的期（2）f(x以T f(axb4.9 y f(xX 上有定义.M 0 xX | f(x|M f(xX 上为有界函数f(xX x0 f (x0 M f(xX 的 a(2) ;arctan2 ,arccosx ;2sinx 1;cos1.1.5】f(x xsinx【证】由于f(2n )2n ,所以，对于任意的M 0，只要正整数n充分大(2) ;arctan2 ,arccosx ;2sinx 1;cos1.1.5】f(x xsinx【证】由于f(2n )2n ,所以，对

22、于任意的M 0，只要正整数n充分大22f(2n 2n M22f(x) xsinx常 考 题 型 与 典 型 例 题常考题型函数有界性、单调性、周期性及奇偶性的判定；2.（一）函数有界性、单调性、周期性及奇偶性的判定1.1.6】(19873) f(x|xsinx|ecosx(x和ecosx都是偶函数f (x) | xsinx|ecosx是偶函故应选（二）复合函数|x|x|1.1.7】(20012)f(xff (x)等于|x|x|（D）|x|x|x 1f(x1, 1 1ff(x1f (x0 1,ff(x则 ff(x故应选【例1.1.8】(1988年1,2) 已知f(x)sinx, f(x)1x2,

23、则(x) 的定义域为.【解】f (x) sin【例1.1.8】(1988年1,2) 已知f(x)sinx, f(x)1x2,则(x) 的定义域为.【解】f (x) sinxf(x1x2sin(x) 1 (x) arcsin(1 x21,由此解得2 x第二极限内 容 概 要（一）极限的概念1 如果对于任意给定的 0N nN| xn a | 成立，则称常数 a 为数列xn当n 趋于无穷时的极限，记为lim xn NnN N xn都落在开区间(aa （3）数列的极限是否存在，如果存在极限值等于多少与数列的前有限项无关.（4）limxnalimx2k1 limx2k kknn （2006年3）nn【解

24、】 当n为奇数xn nnlimxn nn1当n为偶数时 nlimx limn1 nnn n 1(limxn n1当n为偶数时 nlimx limn1 nnn n 1(limxn 则n（1）若limxn a则lima , 但反之不成（2）limxn 0的充分必要条件是lim1)自变量趋于无穷大时函数的极限2若对任意给定的0X 0 x X 时，恒有| f(xA|Af(xx时的极限lim f(x 3若对任意给定的0X 0 xX 时，恒有| f(x A|Af(xx时的极限lim f(x 4 若对任意给定的 0X 0，当|x| X 时，恒有| f(xA| Af(xx时的极限，记为lim f(x) x1

25、极限lim f(xlim f(xlim f(x存在并且相等xxx2 1.2.3】极限x（A）等于 （B）等于（C）为（D）不存在2)自变量趋于有限值时函数的极限若对任意给定的 0 ，总存在 0 0|xx0 |定义 | f(x A|Af(x2)自变量趋于有限值时函数的极限若对任意给定的 0 ，总存在 0 0|xx0 |定义 | f(x A|Af(xx x0时的极限xf(x) xx0【注】oo 0 ，总存在U(x0,), xU(x0,), (2y f(xy A y Axx0 x x0极限f(xxx0定义 若对任意给定的 0 ，总存在 0 ，当x0 x x0 时，恒| f(xA|Af(xx x0时的

26、左极限lim f(x A,f(x A,f (x 0) A00 xx0定义 若对任意给定的 0 ，总存在 0 ，当x0 x x0 时，恒| f(xA|Af(xx x0时的右极限lim f(x A,f(x A,f(x 0 0002 极限lim f(xlim f(xlim f(x00且相等【注】需要分左、右极限求极常见有以下三种：对值的函数，如x1（2）e型极限（如limexlimexlimexx1limex 1lim ex 1则limex 不存在lim ex lim ex 则limex 不存【注】e e e 1（3）arctan型极限（如, limarctan1limex 1lim ex 1则li

27、mex 不存在lim ex lim ex 则limex 不存【注】e e e 1（3）arctan型极限（如, limarctanxxlim arctan1 limarctan1 则limarctan1 xlim arctanx lim arctanx 则limarctanx22【注】arctan ,arctan(),arctan()222x2 ex1 的极限x（C）为（D）不存在但不为（A）等于 本题中出现ex2 ex ex120 x1x2 ex ex1 x1 ex1不存在，但不是应选 x2 x（二）极限的性质(数列) 如果数列xn收敛，那么数列xn一定 x 【注】f (x) sin 1x

28、0 xx 0处的极限limsin 1 x1) (数列) 设limxn （1）A0（A0Nx 0处的极限limsin 1 x1) (数列) 设limxn （1）A0（A0N0nNxn 0（xn 0（2）N0,nN xn 0（xn 0A0（Axo（1）A0（A0则存在 0 xU(x0,f (x) 0（f (x) 0 o（2） 0,xU(x0f(x 0（f(x0）A0（Af (x) f1.2.5（19953）设(x（A）f(xf(a（B）f(x（D）f(x（C）f(xf (x) f10由极限保号性知，存在 01由于(x f (x) f (xoxU(a,) 0oxU(a,(xa)2 0,f(x f(a

29、f (x) f 即2f(x(xa)2f(xxaf(xf(a0,取极大值，则选项(ACD)都不正确，故应选若lim f (x) limg(x) B那么: limf (x g(xlim f (xlimg(x) Alimf (x)g(x) lim f (x)limg(x) Af (x)若lim f (x) limg(x) B那么: limf (x g(xlim f (xlimg(x) Alimf (x)g(x) lim f (x)limg(x) Af (x)lim f (B g(x) lim【注】1）存在 不存在3）存在 不存在 不一常用的结论：1）lim f(x A0 2）不存在 不存在4）不存在

30、 不存在 不一lim f (x)g(x) Alimflimg(x) 0lim f(x2）f A 0,lim f(x) 0limg(x) 3) x 【例1.2.6（2010年3）若limae 1，则a等于 x0 1e x1aalimx xx1a 则 a 11.2.7（20183）已知实数a,blimaxb)exx2112 lim bex limaxex 1b lim x(aex 1x(ex (a b b lim xxba bsin , b 1.2.8（20043）若极限x0 ex (cosxb) limsinx(cosxb) 5 ba bsin , b 1.2.8（20043）若极限x0 ex

31、(cosxb) limsinx(cosxb) 5 lim sinx0 exex且limsinx(cosxb0则 lim(ex a即a lim sin(cosxb) limsinx (cosxx0 exx0 exlim x(cosxb)1x由1b5blim f (x) A f (x) A(x)其中lim(x) （ ）N n N xn yn zn limxn limzn lim yn 【注】准则比较多的是用在 n 项和的数列极限，而单调有界准则比较多的是用在递xn1 1111) ) nxlim(1 x)x enxsinx x2) ex 1 ln(1三ax (1x)1 3）2）lim1cosx 1t

32、anx xarcsin 【例 1.2.10】试证：1） arctan 23）【例1.2.11】求极限lim n L ax (1x)1 3）2）lim1cosx 1tanx xarcsin 【例 1.2.10】试证：1） arctan 23）【例1.2.11】求极限lim n L n2 nnn2n2 nnn L n2 nn2 n2 n2 n n2 n n2 原理知lim n L n2 nnn2n2 11.2.12】limx .x1x111 上式两端同乘以 x 1x x1xlimx 1由x【例1.2.13】求极限222L22L2440121x x1xlimx 1由x【例1.2.13】求极限222L

33、22L2440123L 1 23L(n1) lim4 0,n 又22】xn nxn1xnn2nn 则数列xn单调减，又 0, 即xn 下有界，由单调有界准则知数列xn收敛设limxn a2 x na a则a （四）f(xxx0（x）f1.无穷小量的概念: xx0 （x）时的2.无穷小的比较: 设lim(x) 0, lim(x0(x00； 记为(x(若（1）高阶：（2）低阶： 若lim (x) 若C 0（3）同阶：1；记为(x （2）低阶： 若lim (x) 若C 0（3）同阶：1；记为(x 若（4）等价： (x) (x)kC 0，则称(x(xk（5）无穷小的阶: 若4,5）f(x2x 3x 2

34、x0时（ （A）f(xx是等价无穷小量（B）f(xx是同阶但非等价无穷小量 2x 3x 2x 3x 由于ln2ln3ln而ln60且ln6若1 1lim lim1 lim lim1 x0 x sin x tanx arcsin x arctanx ln(1x)ex 1x sin x tanx arcsin x arctanx ln(1x)ex 1cosx 1 x22(1x) 11 xlna, 1cos（五）f(xxx0（x）fxx0（x）时的即：若对任意给定的 M 0 ，总存在 0 0|xx0 |时，恒有| f(x|M f(xx x0时的（1）xln x x 其中 0, 0,a（2）当nln

35、nn an n!其中 0, 0,ax1.2.16（20103）f(xln10 xg(xxh(xe10 x（A）g(x) h(x) f （B）h(x) g(x) f （C）f (x) g(x) （D）g(x) f (x) ln x x 其中 0, 0,axx充分大时，有ln10 x xe10故应选1xn是无穷大量M0 N 0nN M其中 0, 0,axx充分大时，有ln10 x xe10故应选1xn是无穷大量M0 N 0nN M变量：M 0， N 0，Mn为奇是0， n为偶数 又因为M0Nn,使nNxn 0,所以xn 不是无穷大 Mn2 n,nn ,xn 是（ n2 1n当n 为奇数xn nnl

36、imx lim(n 1 )nn 当n为偶数时 nnlimx lim1 nn xn1f1f(x 当n为偶数时 nnlimx lim1 nn xn1f1f(x0,f11.2.19f(x0,xx0f(x) 常 考 题 型 与 典 型 例 题常考题型1）极限的概念、性质及存在准则2）求极限；3）无穷小量阶的比较；(一)极限的概念、性质及存在准则 有|xn a|2”是数列xna的（由数列极限定义知，如果数列xna，则对于任意给定的0Nn N时，恒有|xn a| 成立由于 2 xn如果对任意给定的(0,1)NnN时，恒有|xna|2 的任意性，则对于任意给定的1 0 ，取 , 则当n N 时，恒3|x a

37、|2 21 由数列极限定义知，数列x a，故应选n1n3【例 1.2.21（2015 年，3）设xn 是数列，下列命题中不正确的的任意性，则对于任意给定的1 0 ，取 , 则当n N 时，恒3|x a|2 21 由数列极限定义知，数列x a，故应选n1n3【例 1.2.21（2015 年，3）设xn 是数列，下列命题中不正确的是）（A）若limxna则limx2n limx2n1（B）若limx2nlimx2n1a则limxn （C）若limxna则limx3n limx3n1（D）若limx3nlimx3n1a则limxn x3n 3n11x3n2 显然limx3nlimx3n11,则lim

38、x3n20,则limxna是 )（A）无的，但不是 yn 2n 使得0 xn 1M 0及0,xn22n 0 y 此时 1 12M, 1 sin 1 0 M2n n22211则当x 0时，变x1.2.23（20122）设an 0(n 1,2,LSn a1 a2 L an，则数列Sn有是数列an收敛()（A）充分必要条件（D）既非充分也非必要条件由an 0(n 1,2,LSn a1 a2 L an可知，数列Sn单调增，若数列Sn有界则由单调有界准则知，数列Sn收敛，设limSn an Sn 又liman limSn limSn1 aa则即数列an收敛反之，若数列a则由单调有界准则知，数列Sn收敛，

39、设limSn an Sn 又liman limSn limSn1 aa则即数列an收敛反之，若数列an收敛，但数列Sn 并不一定有界.an 1, 显然数列an收敛，Sn n数列，则数列Sn 有界是数列an收敛的充分非必要条件13sinxx2cos【例1.2.24（1997年1） limx x0 (1cosx)ln(13sinx xcos【解1】原式lim ln(1(1 cosx 30 23sinxx2cos1limln(123sinxx2cos1limx2 1(30) 224x2 x1 x x2 sin4 1 1 xx（分子分母同除以 x1 sin4x2 x1 x1x2 sinx2 sinx2

40、 sin2102 利用基本极限求极限1)sin11x) xl,limax 1 lnlimn n limn a 1,(axan nnm, n4x2 x1 x1x2 sinx2 sinx2 sin2102 利用基本极限求极限1)sin11x) xl,limax 1 lnlimn n limn a 1,(axan nnm, nma xn xn1La xnxmxm1 L b x x mxxxlimx limx x nx x2)“1 ”型极限常用结论若lim(x 0lim(x) ，且lim(x)(x) A则lim1(x)x) eAnn1n n (n1n【解】原式 n nn (nsinn11 enn11

41、1e【注】n (nnn (nnn【例1.2.27】(1997年2)lim(cos x)x x【解】原式 1 (cos xx (1 x 1) limxx2原式2a n b n nn，其中a 0,b 0,【例1.2.27】(1997年2)lim(cos x)x x【解】原式 1 (cos xx (1 x 1) limxx2原式2a n b n nn，其中a 0,b 0,c1.2.28】 )3a n b n c n【解】原式3a n b n c n3a1)(n b 1)(n c 3n1nln3 原式eln3 3 利用等价无穷小代换求极限1 f (x)sin2x 2,1.2.29（20163）f(x满

42、足lim f (x) 1 f (xsin2x 1 2及lim(e1)0【解】由lim f (x)sin2x 1f (x)sin 1 f (x)sin2x e3x lim 则1f (x)lim 1limf(x)2 3 x0故lim f (x) ln(cos 原式limcosx1 1f (x)lim 1limf(x)2 3 x0故lim f (x) ln(cos 原式limcosx1 lim 12eecos x0 3 1 ecosx(e1cosx 1) 1 x2【解】原式3elim1cos131 2elim x0 132cosx13 x3xln 2cosx 1 1】原式3x3 xln2cosx3l

43、n1 cosx3limcosx 1 lim 16 cosx12】原式3 x3xcosx3limcosx 1 lim limcosx 1 lim 16 cosx12】原式3 x3xcosx3limcosx 1 lim 16【注】x0(1x) 1x，若(x0,(x)(x(1(x)1 (x)cosx x(cosx .334 利用 Lnnnn2 nn L Ln2 nnn2 nn2 nn2 nn2 n L n2 nn2 nn2 n1n(n L 21n2 nn2 nn2 nn2 n1n(n L 21n2 nn2 nn2 nn2 n L 则n2 nnn2 n21.2.34】 limn 12n nn1 21】

44、limn12n 3n 3lim33 n n 12n 3limn 3n 3,limn 33n limn 1.2.34】 limn 12n nn1 21】limn12n 3n 3lim33 n n 12n 3limn 3n 3,limn 33n limn 12n 3n 则1.2.35】 limn an a n L n 其中a 0,imia【解】令an a n Lnn mlimn an a,limn man nlimn a n a n L m11.2.36（20084）设0ab，则lim(an bnn （ （B）a1 1（D）b1 （A）a （C）b 11bn bnlimn ( )n amax1,1

45、 a balimn 1 xn (x )n, (x 22x2【解】 limn 1 xn )n max1,22 0 x1 x 22 ,5 利用单调有界准则求极限11，n 1,2,L求极限lim xn 【例1.2.38】设x 0,1n2xn 2 1x 122xn) ) 2nxx0 x1 x 22 ,5 利用单调有界准则求极限11，n 1,2,L求极限lim xn 【例1.2.38】设x 0,1n2xn 2 1x 122xn) ) 2nxxn n 121x nxnxn2 1 12n 1 1 112或2n n则数列xn单调减且下有界，极限lim xn 存在，设lim 11等式x n2xn a 1a 12

46、aa21a1,a1(舍去),limxn (三) 无穷小量阶的比【1.2.39（20052）x0时，(xkx2(x 1xarcsinx cosx 等价无穷小，则k 1 xarcsinx 【解】由题设知 1 1lim1 xarcsinxcos1 xarcsinx 1 lim1xarcsinxcos 1 lim xarcsinx lim1cosx 1lim1 xarcsinxcos1 xarcsinx 1 lim1xarcsinxcos 1 lim xarcsinx lim1cosx 11 3则k 1.2.40（2001 年2）x 0时(1cos xln(1 x2xsin xn 高阶的无穷小2xsi

47、nxn是比(ex 1)n【解】x0(1cosx)ln(1x2)1 2xsinxn21由题设可知2n14n2故选1 小，则 （A）11（C）( （D）(0, 22【解】x0ln(12x)(2x) 211121(1cosx) x2 22由题设可知1 1,则1 2故选2）设1 x x),3 xln(1x11.【例 1.2.42（2016 年（A）1,2 【解】x0（B）2 ,3 （C）2 （D）3 ,2 x1)1 121（A）1,2 【解】x0（B）2 ,3 （C）2 （D）3 ,2 x1)1 1215x xx)x332x11.133个无穷小量从低阶到高阶的排序是2,3,1,则以上 故选第节内 容

48、概 要（一）连续性的概念1 y f(xlimy limf(x0 x) f(x0)y f(xx0处连续2 y lim f(x) x fx0 处连续3 lim f(x f(x0y f(xx0处左连续xx0lim f(x f(x0y f(xx0 xx01 f(x4f(x在区间(a,bf(x在(a,b内连续f(x区间(a,bxaxbf(x在a,b上连续1x ,x0处连续，则( )x三（A）ab 12（C）ab（B）ab12（D）ab（A）ab 12（C）ab（B）ab12（D）absin2xe2axxx,在(,) 处连续1.3.2（19943）f(xx则a x2 |x|x|1.3.3（20083）f(

49、x ，在内连续,C （二）间断点及其分类 左、右极限至少有一个不存在的间断点称为第二类间断点.lim f(xxx0f(xx0f(x的无穷间断点xx01函数y 在x0处没定义，且左、右极限都不存在，这是由于当x0时，x1函数值在1与1之间无穷多次振荡，则称点x0为函数f(xx0f(x的无穷间断点xx01函数y 在x0处没定义，且左、右极限都不存在，这是由于当x0时，x1函数值在1与1之间无穷多次振荡，则称点x0为函数x1.3.4（20043）f(x在(,内有定义，且lim f (xaf1g(x) xxx则（A）x0g(x（B）x0g(x（C）x0g(xln| xf(x有（ sinx| x 1x1

50、【解】由于lim f (x) sinx limxln 1xx0 ln1(x ln由于lim f (x) sin1 sin1xx sin1limxxxxxxxx故应选（三）连续性的运算与性质f (x) g(x) ， f (x)g(x) 设函数 f (x) g(x) x故应选（三）连续性的运算与性质f (x) g(x) ， f (x)g(x) 设函数 f (x) g(x) x0 定理 f (g(x 0)x 003设函数u(xxx0处连续，且(x0u0y f(u在点uf(xx x0 4 基本初等函数在其定义域5 初等函数在其定义区间（）闭区间上连续函数的性质6（有界性定理）f(x在闭区间a,bf(x

51、在a,b7（最值定理） f(x在闭区间a,bf (x在a,b8（介值定理） f (x在闭区间a,bf (a f (bf(af(b之间的数C，至少存在一点(a,bf(C推论 f(x在abf(x在abm9（零点定理） f(x在闭区间a,bf (a f(b0在一点(a,bf(0常 考 题 型 与 典 型 例 题常考题型1函数的连续性及间断点的类型；2。有关闭区间上连续函数性质的证明题四(cosx)1/x2 ,x1.3.6（19972）f(x在x0处连续，则a .xf(x) 1e1(x2 x)(lnx)sin 【例1.3.8】 函数(cosx)1/x2 ,x1.3.6（19972）f(x在x0处连续，

52、则a .xf(x) 1e1(x2 x)(lnx)sin 【例1.3.8】 函数f (x) x 的可去间断点的个数为）x2 【解f(xx0 x1x1xx0lim f (x) limxln x limxln1x1x0 则lim f(x0, x 0为可去间断点xlnxsinlim f (x) limx x1处xx1为可去间断点xlnxsinln在x1处lim f(x)limx xx1 xsin1limln1(xsin1lim x1 xx1 xx1为可去间断点x1 ，n1 （A）不存在间断点1 ，n1 （A）不存在间断点【解1x x f (x) n1xxf (x) x1处f(10) f(10) lim

53、(1x)f (10) f(10) f(1)f(xx1处连续x1处f(10) lim(1x)f(10) lim f(x)x1f(x的跳跃间断点1.3.10】f(x在abacd b.试证对任意的正数个 cdpf (c) qf (d) p q) f (., 则mpmqm pf(c)qf(d) pM qM ppp由连续函数介值定理知, 至少存在一个 cdpf(c)qf(df()ppf (c)qf (d) (p q)f ()故导 数 与 微 分内 容 概 要1(导数) y lim y f(x0 x) f(x0 x0 1(导数) y lim y f(x0 x) f(x0 x0 d.f(xx 处不可导dx

54、x0 x0lim f (x) f (x0) f (x0 h) f(x0f(x )f(x )00 x hxh0y f(xy f (x0 x) f(x0) f(x) f(x0 x0 y f(xy f (x0 x) f(x0) lim f(x) f (x0 y f (x在开区间(a,bf (x在区间(a,b内可导对于(a,bxf(xf(xf(x在(a,b内的 a,bxx f(xx1处的2.1（19943）f(x（A）（xx f(xx1处的2.1（19943）f(x（A）（D）2x3 2 lim(x1)(x x1) 2【解1】f(1)lim xx3x2 3 x2f(12x33lim f(x) limx

55、2 f(1)3lim f(x) ff(xx1处非右连续，则右导数不存在，故应选【注】一种经典错误是： f(1) (x2 2.错误的原因是f(1).2.2（19904,5）f(xxf(1xaf(xf(0)bab为非零常数，则（A）f(xx 1（B）f(xx1f(1) （C）f(xx1f(1)（D）f(xx1f(1) y f(xx0 定义 5（微分y f(x0 y f(xx0 定义 5（微分y f(x0 x f(x0y Ax(x x的微分，记为dyAx2y f(x dy f(x0)x f(x0)dx处，常记dy f(xdxf(xf (x 1，则当x002x x0 处的微分d y是（A）与x（C）比

56、x（B）与 x （D）比x1）导数的几何意义：f(x0y f(x在点(x0f(x0f(xx0y f(x在点(x0f(x0y f(x0) f(x0)(x x0f(x00y f(x在点(x0f(x01y f(x ) (x x 0f(x 00f(1y f(x ) (x x 0f(x 00f(x00y f(x在点(x0f(x0y f(x0线在点(x0f(x0注：f(xxx0y f(x在点(x0f(x011 f(0) yf(xy f(x0 x f(x0y f(xy【例2.4（2004年1）曲线ylnx上与直线x y1垂直的切线方程为.y x xx x值范围x cos1 1 f(0)( x0f(x)x1c

57、os1 x2sinxx11x cos1 1 f(0)( x0f(x)x1cos1 x2sinxx11l0，当且仅当（二）导数公式及求导法则2）(x)x1）(C) 3）(ax) ax ln4）(ex)6) (lnx) x8) (cosx)sin 15）(log x)axln7) (sinx)cos9) (tanx)sec2 10) (cotx)csc2 11）(secx)secxtan 12）(cscx)cscxcot1113) (arcsinx)14) (arccosx)111115) (arctanx)16) (arccotx)1 1 1）有理运算法则设uu(xvv(xx1）(uv)u2）(

58、uv)uv(u)uv(vv2）复合函数求导法 在dy dy du fdu 2.6】(19952)ycos(x2sin2 1yxdy dy du fdu 2.6】(19952)ycos(x2sin2 1yx.1）f(xf(x2）f(xf(x3）f(xf(x12.8（20171）f(xf(3)(0).1 3）隐函数求导法为求得 y y y(x) 是由方程 F(x, y) 0 2.9（1993 年3）y y(x由方程sin(x2 y2ex xy2 0y2 ex 2xcos(x2 y2)则d y dx2ycos(x2 y2)4）反函数的导数 即11f(y) ；12.10】证明(arcsinx).1 5

59、）参数方程求导法：4）反函数的导数 即11f(y) ；12.10】证明(arcsinx).1 5）参数方程求导法：x (t y y(xy 1) 若(t和(t都可导，且(t 0dy 2）若(t和(t) 二阶可导，且(t) 0d (t)(t) (t)d2)dt xarctantd2 y3tt 3t6）对数求导法：y y(x则可先将函数取对数，然后两边对 x 求导2.12（20052）y(1sinx)x ，则d .y y(x则可先将函数取对数，然后两边对 x 求导2.12（20052）y(1sinx)x ，则d .(x1)(x(x3)(x2.13y（三）高阶导数 xy y f(x的二阶导数.y f(

60、xd2y f(x的ny(n) f(n1) (x)f(n) (xdn yn 阶导数n 1阶导函数的导数，f (n1)(x0 x) f (n1)(x0) lim f (n1)(x) f(n1)(x 0 lim xxn 阶的导数1) sin2) (coscos(xn2n(n2u(n) v(n) k (k) (nk ）(u 4）(uv)(n) C k2.14】y sin3x, y(n2.15】y2.14】y sin3x, y(n2.15】y x2cosx常 考 题 型 与 典 型例题常考题型导数定义；复合函数、隐函数、参数方程求导；高阶导数；导数应用；数定lim f (x02x) f (x0 x2.1