平面向量知识点总结

1、精选优质文档-倾情为你奉上精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业专心-专注-专业精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业平面向量知识点总结16、向量：既有大小，又有方向的量 数量：只有大小，没有方向的量有向线段的三要素：起点、方向、长度 零向量：长度为的向量单位向量：长度等于个单位的向量平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量零向量与任一向量平行相等向量：长度相等且方向相同的向量17、向量加法运算： = 1 * GB2 三角形法则的特点：首尾相连 = 2 * GB2 平行四边形法则的特点：共起点 = 3 * GB2 三角形不等式： = 4 * GB2 运算性质： = 1 * GB3

2、 交换律：； = 2 * GB3 结合律：； = 3 * GB3 = 5 * GB2 坐标运算：设，则18、向量减法运算： = 1 * GB2 三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量 = 2 * GB2 坐标运算：设，则设、两点的坐标分别为，则19、向量数乘运算： = 1 * GB2 实数与向量的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作 = 1 * GB3 ； = 2 * GB3 当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时， = 2 * GB2 运算律： = 1 * GB3 ； = 2 * GB3 ； = 3 * GB3 = 3 * GB2 坐标运算：设，则20、向量共

3、线定理：向量与共线，当且仅当有唯一一个实数，使设，其中，则当且仅当时，向量、共线21、平面向量基本定理：如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数、，使（不共线的向量、作为这一平面内所有向量的一组基底）22、分点坐标公式：设点是线段上的一点，、的坐标分别是，当时，点的坐标是（当23、平面向量的数量积： = 1 * GB2 零向量与任一向量的数量积为 = 2 * GB2 性质：设和都是非零向量，则 = 1 * GB3 = 2 * GB3 当与同向时，；当与反向时，；或 = 3 * GB3 = 3 * GB2 运算律： = 1 * GB3 ； = 2 * G

4、B3 ； = 3 * GB3 = 4 * GB2 坐标运算：设两个非零向量，则若，则，或 设，则设、都是非零向量，是与的夹角，则知识链接：空间向量空间向量的许多知识可由平面向量的知识类比而得.下面对空间向量在立体几何中证明，求值的应用进行总结归纳.1、直线的方向向量和平面的法向量直线的方向向量： 若A、B是直线上的任意两点，则为直线的一个方向向量；与平行的任意非零向量也是直线的方向向量.平面的法向量：若向量所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作，如果，那么向量叫做平面的法向量. 平面的法向量的求法（待定系数法）： 建立适当的坐标系设平面的法向量为求出平面内两个不共线向量的坐标根据法向

5、量定义建立方程组.解方程组，取其中一组解，即得平面的法向量. （如图） 用向量方法判定空间中的平行关系线线平行 设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即.即：两直线平行或重合两直线的方向向量共线。线面平行（法一）设直线的方向向量是，平面的法向量是，则要证明，只需证明，即.即：直线与平面平行直线的方向向量与该平面的法向量垂直且直线在平面外（法二）要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可.面面平行若平面的法向量为，平面的法向量为，要证，只需证，即证.即：两平面平行或重合两平面的法向量共线。3、用向量方法判定空间的垂直关系线线垂直设直线的方向向量

6、分别是，则要证明，只需证明，即.即：两直线垂直两直线的方向向量垂直。线面垂直（法一）设直线的方向向量是，平面的法向量是，则要证明，只需证明，即.（法二）设直线的方向向量是，平面内的两个相交向量分别为，若即：直线与平面垂直直线的方向向量与平面的法向量共线直线的方向向量与平面内两条不共线直线的方向向量都垂直。面面垂直 若平面的法向量为，平面的法向量为，要证，只需证，即证. 即：两平面垂直两平面的法向量垂直。4、利用向量求空间角求异面直线所成的角已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则求直线和平面所成的角 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平

7、面所成的角求法：设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的夹角为，则为的余角或的补角的余角.即有：求二面角定义：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面二面角的平面角是指在二面角的棱上任取一点O，分别在两个半平面内作射线，则为二面角的平面角.如图：求法：设二面角的两个半平面的法向量分别为，再设的夹角为，二面角的平面角为，则二面角为的夹角或其补角根据具体图形确定是锐角或是钝角：如果是锐角，则，即；如果是钝角，则， 即.5、利用法向量求空间距离点Q到直线距离

8、若Q为直线外的一点,在直线上，为直线的方向向量，=，则点Q到直线距离为 点A到平面的距离若点P为平面外一点，点M为平面内任一点，平面的法向量为，则P到平面的距离就等于在法向量方向上的投影的绝对值. 即 直线与平面之间的距离 当一条直线和一个平面平行时，直线上的各点到平面的距离相等。由此可知，直线到平面的距离可转化为求直线上任一点到平面的距离，即转化为点面距离。 即两平行平面之间的距离 利用两平行平面间的距离处处相等，可将两平行平面间的距离转化为求点面距离。即异面直线间的距离 设向量与两异面直线都垂直，则两异面直线间的距离就是在向量方向上投影的绝对值。 即6、三垂线定理及其逆定理三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直推理模式：概括为：垂直于射影就垂直于斜线.三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直推理模式：概括为：垂直于斜线就垂直于射影.7、三余弦定理设AC是平面内的任一条直线，AD是的一条斜线AB在内的射影，且BDAD，垂足为D.设AB与 (AD)所成的角为， AD与AC所成的角为， AB