9平面向量的数量积及向量的应用-高考全攻略备战2018年高考数学(文)考点一遍过含解析-2372

1、学必求其心得，业必贵于专精考点19平面向量的数量积及向量的应用1平面向量的数量积1）理解平面向量数量积的含义及其物理意义。2）认识平面向量的数量积与向量投影的关系.3）掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4)能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。2向量的应用1）会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.2）会用向量方法解决简单的力学识题与其他一些实责问题。一、平面向量的数量积1平面向量数量积的见解(1）数量积的见解已知两个非零向量a,b,我们把数量|a|b|cos叫做向量a与b的数量积(或内积），记作ab，即ab|a|b|cos，|a|cosa在b

2、方向上的投影的学必求其心得，业必贵于专精其中是a与b的夹角.【注】零向量与任向来量的数量积为0。（2）投影的见解设非零向量a与b的夹角是，则|a|cos（|b|cos）叫做向量a在b方向上（b在a方向上）的投影.如图(1）(2）（3）所示，分别是非零向量a与b的夹角为锐角、钝角、直角时向量状况,其中OB1，它的意义是，向量a在向量b方向上的投影长是向量OB1的长度.（3）数量积的几何意义由向量投影的定义,我们能够获取ab的几何意义：数量积ab等于a的长度|a|与b在a方向上的投影|b|cos的乘积.2平面向量数量积的运算律已知向量a,b,c和实数,则互换律：abba；数乘联合律：(a)b(ab

3、)=a(b);学必求其心得，业必贵于专精分派律:(ab)c=acbc.二、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角及性质设非零向量a(x1,y1),b(x2,y2)，是a与b的夹角.(1)数量积：ab|a|b|cosx1x2y1y2。（2）模:|a|aax12y12.（3）夹角：cosabx12x1x2y1y2y22.|a|b|y12x22（4)垂直与平行：abab0 x1x2y1y20；ab?ab=ab.【注】当a与b同向时,ab|a|b|；当a与b反向时，ab|a|b|。(5)性质：|ab|a|b|（当且仅当ab时等号成立）?|x1x2y1y2|x12y12x22y22.三、平面向量的应用1向量

4、在平面几何中常有的应用已知a(x1,y1),b(x2,y2)。(1)证明线段平行、点共线问题及相像问题，常用向量共线的条件:ababx1y2x2y10(b0)2）证明线段垂直问题，如证明四边形是正方形、矩形,判断两直线(或线段）可否垂直等，常用向量垂直的条件：学必求其心得，业必贵于专精abab0 x1x2y1y20(其中a,b为非零向量)(3)求夹角问题，若向量a与b的夹角为，利用夹角公式：abx12x1x2y1y2y22（其中a,b为非零向量）cos（4)求线段的长度或说明线段相等，能够用向量的模:|a|x12y12，或|AB|AB|(x3x4)2(y3y4)（其中A,B两点的坐标分别2为(

5、x3,y3),(x4,y4)5）对于有些平面几何问题,如载体是长方形、正方形、直角三角形等，常用向量的坐标法,成立平面直角坐标系，把向量用坐标表示出来,经过代数运算解决综合问题.2向量在物理中常有的应用1）向量与力、速度、加快度及位移力、速度、加快度与位移的合成与分解，实质上就是向量的加减法运算.(2)向量与功、动量力做的功是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，实质是力和位移两个向量的数量积，即WFs|F|s|cos(为F和s的夹角）。学必求其心得，业必贵于专精考向一平面向量数量积的运算平面向量数量积的种类及求法：(1）平面向量数量积有两种计算公式：一是夹角公式ab|a|b|cos；二是

6、坐标公式abx1x2y1y2.2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或有关公式进行化简.典例1已知向量a1,2,向量b知足b2，a,b的夹角为3，则abA5B2C3D2【答案】A【剖析】由题意可得a1222,则5ababcos52cos5。应选A.331如图，在矩形ABCD中，AB2，BC2，点E为BC的学必求其心得，业必贵于专精中点,点F在边CD上，且DF2FC，则AEBF的值是考向二平面向量数量积的应用平面向量数量积主要有两个应用：(1）求夹角的大小:若a，b为非零向量,则由平面向量的数量积公式得cosab|a|b|(夹角公式),因此平面向量的数量积能够用来解

7、决有关角度的问题2）确定夹角的范围：数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角,数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角。典例2若|a|1,|b|2,cab且ca,则向量a与b的夹角为_。【答案】120学必求其心得，业必贵于专精2已知向量a(2,1),b(,1)，且a与b的夹角为钝角,则实数的取值范围是.考向三平面向量的模及其应用平面向量的模及其应用的种类与解题策略：（1)求向量的模解决此类问题应注意模的计算公式|a|a2aa，或坐标公式|a|x2y2的应用，其他也能够运用向量数量积的运算公式列方程求解2)求模的最值或取值范围解决此类问题过去有

8、以下两种方法：几何法:利用向量加减法的平行四边形法例或三角形法例，联合模的几何意义求模的最值或取值范围;代数法:利用向量的数量积及运算法例转变为不等式或函数求模的最值或取值范围3)由向量的模求夹角此类问题的求解其实质是求向量模方法的逆运用。学必求其心得，业必贵于专精典例3已知单位向量e1,e2的夹角为，且cos31，若向量a=3e1-2e2,则a=_.【答案】3【剖析】由于a2=(3e1-2e2）2=9-232cos4=9，因此|a=3.3已知向量ab2,a与b的夹角为3.若向量m知足ab1，则m的最大值是A231B231C4D621考向四平面向量的应用1向量与平面几何综合问题的解法与步骤：1

9、)向量与平面几何综合问题的解法坐标法把几何图形放在适合的坐标系中,则有关点与向量就能够用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，进而使问题获取解决基向量法适入选用一组基底，交流向量之间的联系，利用向量间的关系结构对于未知量的方程来进行求学必求其心得，业必贵于专精解【注】用坐标法解题时，成立适合的坐标系是解题的重点，用基向量解题时要选择适合的基底(2）用向量解决平面几何问题的步骤成立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中波及的几何元素,将平面几何问题转变为向量问题；经过向量运算研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题;把运算结果“翻译”成几何关系。2利用向量求解三角函数问题的一般思路：

10、1)求三角函数值，一般利用已知条件将向量关系转变为三角函数关系式利用同角三角函数关系式及三角函数中常用公式求解(2）求角时过去由向量转变为三角函数问题，先求值再求角3）解决与向量有关的三角函数问题的思想方法是转变与化归的数学思想,即经过向量的有关运算把问题转变为三角函数问题(4）解三角形利用向量的坐标运算，把向量垂直或共线转变为相应的方程,在三角形中利用内角和定理或正、余弦定理解决问题。学必求其心得，业必贵于专精3用向量法解决物理问题的步骤以下：（1）抽象出物理问题中的向量，转变为数学识题；(2)成立以向量为主体的数学模型;(3)利用向量的线性运算或数量积运算，求解数学模型；(4）用数学模型中

11、的数据讲解或剖析物理问题。4常有的向量表示形式：(1)重心若点G是ABC的重心，则GAGBGC0或PG=1(PAPBPC)（其中P为平面内随意一点）反3之，若GAGBGC0,则点G是ABC的重心(2）垂心若H是ABC的垂心，则HAHBHBHCHCHA.反之，若HAHBHBHCHCHA,则点H是ABC的垂心(3)心里若点I是ABC的心里,则|BC|IA|CA|IB|AB|IC0。反之,若|BC|IA|CA|IB|AB|IC0,则点I是ABC的心里(4）外心若点O是ABC的外心，则(OAOB)BA(OBOC)CB(OCOA)AC0或|OA|OB|OC|。反之，若|OA|OB|OC|，则点O是ABC

12、的外心。学必求其心得，业必贵于专精典例4等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的余弦值为A4B355C4D355【答案】A则AEBF(2a,a)(a,2a)4a24.cos5a5a5a25|AE|BF|【思路点拨】依照已知成立平面直角坐标系，将等腰直角三角形的两直角边所在直线作为x轴和y轴，分别设出三角形极点和两直角边中点的坐标，再代入坐标求解两中线所对应的向量的数量积和模，进而求得夹角的余弦值。学必求其心得，业必贵于专精4对随意?，直线?-222交?+1=0与圆?+?=?(?0)?,?于不相同的两点，且存在使+?|?(是坐标?原点)成立，那么的取值范围是A0?2B1?2C12典例5设向量

13、a=（2cos，2sin），b=（cos,sin），其中0-53且0D-53且-510如图,在平行四边形?中，?=3，?=2，?=1，?若?、?分别是边?、?上的点，且知足?=?=?,其中?0,1，则?的取值范围是学必求其心得，业必贵于专精A0,3B1,4C2,5D1,711设F为抛物线y22x的焦点，A，B，C为抛物线上三点，若F为ABC的重心,则FAFBFC的值为A1B2C3D412设平面向量a(1,2),b(2,y)，若ab，则|3ab|等于.13如图，在边长为3的正方形中与交于点?,?1?,?=3?,则?=。14设向量a(cos,sin),b(cos,sin)，其中0，若|2ab|a2

14、b|，则。15已知点A，B，C在圆x2y21上运动，且ABBC，若点P的坐标为(2,0)，则PAPBPC的最大值为。学必求其心得，业必贵于专精1(2017年高考新课标卷）设非零向量a,b知足a+b=ab，则Aaba=bBCabDab2(2017年高考北京卷）设m，n为非零向量，则“存在负数，使得mn”是“mn0得21=4?(?)(?2+1恒成立，即?)?1。设点(1122则12-2?,11-?2)()?+1?+1，?+?=2?,?,?,?,?即，平方得0，即?|?|?+|+|?-|?12120,即12120，即1?+?+(?+1)(?+1)(1+?2)?()，即22有解,即2，即?2，+10?

15、2?2+?1+?2综上可知:1-53且0，选C.10【答案】C()()=2。当时，?获取1+4-2?+5?=0?最大值5;当?=1时,获取最小值2，即?的取?值范围是2,5。选C。11【答案】C【剖析】设Ax1,y1，Bx2,y2，Cx3,y3,抛物线y22x的焦点坐标为F1,0，准线方程为x1，由于F是ABC的22学必求其心得，业必贵于专精x1x2x331重心，2，由抛物线的性质得FAx1，2y1y2y301,FCx31,FAFBFC121x313,FBx2xx应选C。12【答案】5【剖析】由于ab，因此1y220,解得y4,进而3ab=（1,2)，|3ab|5。13【答案】-3【剖析】由已

16、知可知，?，则?=0，?=?-?=?1?1?1?1?1?1?236,，232?11?12?1219则(6?2?-?=+2)(?-)=6?-+3=692+0=-3.14【答案】215【答案】7【剖析】由题意得，AC为圆的直径，故可设A(m,n),C(m,n),B(x,y)，PAPBPC(x6,y)，PAPBPC=(x6)2y2的最大值为圆x2y21上的动点到点(6,0)距离的最大值，从而易适合x1时，PAPBPC的最大值为7.y0学必求其心得，业必贵于专精直通高考1【答案】A【剖析】由a+b=ab平方得a22abb2a22abb2,即ab0,则ab,应选A。【名师点睛】已知a(x1,y1),b(

17、x2,y2)。（1）向量平行:abx1y2x2y1，ab,b0R,ab，BAACOA1OB1OC。1（2）向量垂直：abab0 x1x2y1y20。（3)向量运算：ab(x1x2,y1y2),a2|a|2,ab|a|b|cosa,b.2【答案】A【剖析】若0，使mn,则两向量m,n反向,夹角是180，那么mnmncos180mn0；若mn0，那么两向量的夹角为90,180，并不用然反向，即不用然存在负数,使得mn,因此是充分而不用要条件，应选A。3【答案】C【名师点睛】平面向量的计算问题，经常有两种形式,一是利用数量积的定义式,二是利用数量积的坐标运算公式，波及几何图形的问题,先成立适合的平学

18、必求其心得，业必贵于专精面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转变为向量的数量积来解决列出方程组求解未知数此题经过所给条件联合数量积运算，易得AOBCOD90AB=BC=AD=2，CD=3，可求得OAOC，OBOD，由，进而获取I3I1I24【答案】A【剖析】由于向量BA(1,3),BC(3,1),因此2222BABC1331cosABC2222|BA|BC|113，因此ABC30，应选A2【名师点睛】（1）平面向量a与b的数量积为b|a|b|cos，其中是a与b的夹角,要注意夹角的定义和它的取值范围：0180；(

19、2）由向量的数量积的性质知|a|=aa,cosab，ab0ab,因此，利用平面|a|b|向量的数量积能够解决与长度、角度、垂直等有关的问题5【答案】7【剖析】由题得ab(m1,3)，由于(ab)a0，因此学必求其心得，业必贵于专精(m1)230,解得m7【名师点睛】若是a=(x1,y1），b=（x2，y2）（b0),则ab的充要条件是x1x2+y1y2=06【答案】2【剖析】由题意可得ab0233m0,解得m2.【名师点睛】（1)向量平行：abx1y2x2y1，ab,b0R,ab,BAACOA1OC.OB112）向量垂直：abab0 x1x2y1y20。(3）向量的运算:ab(x1x2,y1y2),a2|a|2,ab|a|b|cosa,b.37【答案】11【剖析】由题可得ABAC32cos603,AD1AB2AC，33则ADAE(1AB2AC)33(ACAB)332419234333311【名师点睛】依照平面向量基本定理,利用表示平面向量的一组基底能够