结构稳定理论与设计

1、结构稳定理论与设计第1页，共90页，2022年，5月20日，11点54分，星期三结构稳定理论与设计第2章 轴心受压构件的稳定 轴心受力构件在钢结构中应用广泛，如桁架、网架中的杆件，工业厂房及高层钢结构的支撑，操作平台和其它结构的支柱等。 对轴心受压构件同样应按承载能力极限状态和正常使用极限状态设计。 就承载能力极限状态而言，除了一些较短的轴心受力构件因局部有孔洞削弱，需要验算净截面强度，一般情况，轴心受力构件的承载力是由稳定条件决定的，即应满足整体稳定和局部稳定要求。本章着重讨论轴心受力构件的整体稳定问题。 第2页，共90页，2022年，5月20日，11点54分，星期三轴心受压构件的失稳类型（

2、a）弯曲失稳 （b）扭转失稳 （c）弯扭失稳第3页，共90页，2022年，5月20日，11点54分，星期三2.1 轴心受压构件的弯曲失稳 轴心受压构件最简单的失稳形式是弯曲失稳，为了避免发生弯曲失稳，首先必须确定轴心受压构件的临界荷载值。 困难主要体现在： 理想轴心受压构件在实际结构中并不存在，因此在理想条件下求出的临界荷载值并不能直接用于轴心受压构件的稳定设计。 轴心受压构件的弹性分析与弹塑性分析差别很大。 第4页，共90页，2022年，5月20日，11点54分，星期三2.1 轴心受压构件的弯曲失稳2.1.1 理想轴心受压构件的弹性弯曲失稳 轴心压杆：只受轴向压力作用且压力通过截面形心的直杆

3、。 理想压杆： （1）等截面、双轴对称（失稳时只发生平面弯曲变形）； （2）受荷前完全平直； （3）压力始终通过截面形心，杆端理想铰接； （4）材料完全弹性（虎克定律）； （5）小变形（ 弯曲曲率 ）。第5页，共90页，2022年，5月20日，11点54分，星期三2.1 轴心受压构件的弯曲失稳2.1.1 理想轴心受压构件的弹性弯曲失稳 钢结构及构件稳定计算的主要目的在于确定临界荷载值。确定理想轴心受压构件的临界荷载的方法主要有“静力法”和“能量法”。 静力法：1） 欧拉公式推导（自学）第6页，共90页，2022年，5月20日，11点54分，星期三2.1 轴心受压构件的弯曲失稳2.1.1 理想轴

4、心受压构件的弹性弯曲失稳 静力法：2） 柱的高阶微分方程（对其他支承及荷载情况）考虑图示杆件承受一组竖向力系，由脱离体的平衡可得： 对上式求导两次可消去等式右端的杆端约束力： 第7页，共90页，2022年，5月20日，11点54分，星期三2.1 轴心受压构件的弯曲失稳2.1.1 理想轴心受压构件的弹性弯曲失稳 静力法：2） 柱的高阶微分方程（对其他支承及荷载情况） 令 得 （1）方程（1）与杆端约束力无关，故能代表各种支承情况，称压杆屈曲的高阶微分方程。压弯构件也适用！第8页，共90页，2022年，5月20日，11点54分，星期三2.1 轴心受压构件的弯曲失稳2.1.1 理想轴心受压构件的弹性

5、弯曲失稳 静力法：2） 柱的高阶微分方程（对其他支承及荷载情况）（1）式为常系数线形四阶齐次微分方程，其通解为： （2）由（2）式求导可得： （3） （4） （5）第9页，共90页，2022年，5月20日，11点54分，星期三2.1 轴心受压构件的弯曲失稳2.1.1 理想轴心受压构件的弹性弯曲失稳 静力法：2） 柱的高阶微分方程（对其他支承及荷载情况）四个积分常数A、B、C、D可由几何边界条件和力学边界条件确定。第10页，共90页，2022年，5月20日，11点54分，星期三2.1 轴心受压构件的弯曲失稳2.1.1 理想轴心受压构件的弹性弯曲失稳 静力法：2） 柱的高阶微分方程（对其他支承及荷

6、载情况）例：一端铰支一端固定的轴压柱 几何边界条件： 力学边界条件：第11页，共90页，2022年，5月20日，11点54分，星期三由边界条件 得B=0；由 得D=B=0挠曲线方程成为：由 ； 得 为一关于A、C 的线形齐次方程组，为使其有非零解（否则 y 0），则必有其系数行列式等于零，即：第12页，共90页，2022年，5月20日，11点54分，星期三展开得即 上式称为该压杆稳定的特征方程，为一超越方程，求解临界力的问题成为求解最小非零根的问题。其最小非零根为： kl=4.493 称最小特征根 故有 计算长度0.7l第13页，共90页，2022年，5月20日，11点54分，星期三2.1 轴

7、心受压构件的弯曲失稳2.1.1 理想轴心受压构件的弹性弯曲失稳 3）柱的计算长度及计算长度系数 对其他约束情况， 同样可由高阶微分方程计算，如： 两端铰支： 两端固定： 一端铰支一端固定： 可统一表示为： 称计算长度， 为计算长度系数。第14页，共90页，2022年，5月20日，11点54分，星期三 讨论 的实质： 由曲率方程（4）有： 若已知杆中两弯矩为零的截面位置分别为z1、z2，即： 和 代入上式得关于待定系数A、B的线形齐次方程组 即应有 展开得： 即 令 ，得 ， 解得最小值 第15页，共90页，2022年，5月20日，11点54分，星期三 仍得到与欧拉临界力相同的算式： 的实质为点

8、 z1、z2 之间的距离，因这两点弯矩为零，亦即曲率为零，故为反弯点。 实际上相当于相邻两反弯点处切出的脱离体（相当于欧拉柱）的长度。第16页，共90页，2022年，5月20日，11点54分，星期三第17页，共90页，2022年，5月20日，11点54分，星期三2.1 轴心受压构件的弯曲失稳2.1.1 理想轴心受压构件的弹性弯曲失稳 能量法： 能量法是求解稳定承载力的一种近似方法。用能量法求解临界荷载的途径主要有势能驻值原理。势能驻值原理和平衡方程是等价的，可以解决复杂结构的弹性稳定问题。 通常需要给出（假定）构件挠曲线形状，通过 =0求解。 若假定的挠曲线方程仅满足几何边界条件，里兹法（Ri

9、tz法）； 若假定的挠曲线方程不仅满足几何边界条件，而且满足力学条件（自然边界条件），迦辽金法（Galerkin法）。第18页，共90页，2022年，5月20日，11点54分，星期三2.1 轴心受压构件的弯曲失稳2.1.1 理想轴心受压构件的弹性弯曲失稳 能量法： 用里兹法求解图示轴心受压构件的临界荷载Pcr。 例题图 无限自由度轴心压杆解： 假设压杆失稳时的挠曲线方程为 y=a1(l-x)x 0 x 2l边界条件： x=0 y=0；x=l y=0 x=2l yEt ，故PrPt ，Pr是压杆屈曲后的渐进线，实际上是达不到的，即Pt PPr； （3）实际的Et随Pt的增加而减少，不是常数，因而

10、曲线下降。PPrPt um第38页，共90页，2022年，5月20日，11点54分，星期三 讨论： 结论： 轴心受压构件的非弹性屈曲实际最大应力高于切线模量应力，低于双模量应力，前者是下限，后者是上限，切线模量应力更接近实际最大应力。PPrPt um切线模量理论更有实用价值！第39页，共90页，2022年，5月20日，11点54分，星期三2.1 轴心受压构件的弯曲失稳2.1.3 有初始缺陷的轴心压杆 1.初弯曲的影响和Perry公式 假设初弯曲形状为正弦半波，跨中最大初挠度为v0，即： 取 内弯矩： 外弯矩： 对两端铰接柱，当挠曲线为正弦半波时能满足边界条件，即必有： v1跨中挠度增量;由内外

11、弯矩相等得：第40页，共90页，2022年，5月20日，11点54分，星期三 即 为欧拉临界力，用PE表示，得： 即 则 总挠度 讨论： （1）v与v0成正比，与P是非线形关系，当P=0时， v =v00； （2）当PPE时，v，即以欧拉临界力为渐进线，最大挠度与v0无关；第41页，共90页，2022年，5月20日，11点54分，星期三2.1 轴心受压构件的弯曲失稳2.1.3 有初始缺陷的轴心压杆 1.初弯曲的影响和Perry公式 在凹侧应力max fy 有效，极限条件是 称边缘纤维屈服准则。 上式即 或 令 （初始偏心率），得： 第42页，共90页，2022年，5月20日，11点54分，星期

12、三2.1 轴心受压构件的弯曲失稳2.1.3 有初始缺陷的轴心压杆 1.初弯曲的影响和Perry公式 在凹侧应力max fy 有效，极限条件是解出 得 上式由Perry在1886年首先提出，故称为Perry公式，初弯曲杆能承受的最大荷载P = A 第43页，共90页，2022年，5月20日，11点54分，星期三2.1 轴心受压构件的弯曲失稳2.1.3 有初始缺陷的轴心压杆 2.初偏心的影响和正割公式 图示杆件两端荷载存在初偏心距 e0，杆件在弹性阶段工作，其内、外弯矩的平衡方程为： 上式的通解为 由边界条件 y(0)=0 和 y(l)=0 得到 B=e0和 即： 跨中挠度第44页，共90页，20

13、22年，5月20日，11点54分，星期三2.1 轴心受压构件的弯曲失稳2.1.3 有初始缺陷的轴心压杆 2.初偏心的影响和正割公式 讨论： （1）v0是P的非线形函数，当P=0时， v0=0，但一开始加载杆件即发生弯曲。 （2）v0在加载初期增长较慢，后随P的加大而增长加快，当PPE时，v，以欧拉临界力为渐进线。 （3）偏心较大时，临界力明显低于欧拉临界力，若偏心很小，则v0在PPE前都很小。 与初弯曲的影响无本质区别。e0=0.3e0=0.1第45页，共90页，2022年，5月20日，11点54分，星期三2.1 轴心受压构件的弯曲失稳2.1.3 有初始缺陷的轴心压杆 2.初偏心的影响和正割公

14、式 讨论： （4）根据边缘纤维屈服准则， 或 初偏心杆的相关公式 （正割公式） 当e0取l /1000时，得： 第46页，共90页，2022年，5月20日，11点54分，星期三2.1 轴心受压构件的弯曲失稳2.1.3 有初始缺陷的轴心压杆 3.残余应力对压杆屈曲的影响 图示为理想弹塑性材料得到的柱子曲线。 试验值明显低于理论值，50年代发现主要是由残余应力引起（美国里海大学）。 构件内的残余应力产生于制作（轧制）或加工（焊接）过程，轧制与焊接工艺将影响残余应力的大小与分布。xxxxxx第47页，共90页，2022年，5月20日，11点54分，星期三2.1 轴心受压构件的弯曲失稳2.1.3 有初

15、始缺陷的轴心压杆 3.残余应力对压杆屈曲的影响 轧制H型钢第48页，共90页，2022年，5月20日，11点54分，星期三2.1 轴心受压构件的弯曲失稳2.1.3 有初始缺陷的轴心压杆 3.残余应力对压杆屈曲的影响 焊接H形及焊接箱形翼缘为火焰切割的焊接H形第49页，共90页，2022年，5月20日，11点54分，星期三当 时，截面保持弹性2.1 轴心受压构件的弯曲失稳2.1.3 有初始缺陷的轴心压杆 3.残余应力对压杆屈曲的影响 第50页，共90页，2022年，5月20日，11点54分，星期三当 时，截面的一部分将屈服，这意味着能抵抗弯曲变形的有效惯性矩只有截面弹性区的惯性矩Ie，截面的抗弯

16、刚度由EI下降为EIe，临界力为相应的临界应力为：表明考虑残余应力影响时，弹塑性屈曲的临界应力为欧拉临界应力（弹性）乘以折减系数 Ie/I 2.1 轴心受压构件的弯曲失稳2.1.3 有初始缺陷的轴心压杆 3.残余应力对压杆屈曲的影响 第51页，共90页，2022年，5月20日，11点54分，星期三绕x（强）轴 绕y（弱）轴因k1，可看出：工形截面轴心受压构件残余应力对绕弱轴的降低影响将比绕强轴影响严重得多。该结论对于其他类型截面和残余应力分布具有普遍意义2.1 轴心受压构件的弯曲失稳2.1.3 有初始缺陷的轴心压杆 3.残余应力对压杆屈曲的影响 第52页，共90页，2022年，5月20日，11点54分，星期三讨论： （1）当0 0.7 fy时，杆件在弹性阶段内工作，按欧拉公式： 0 x， 0 y 是同一根欧拉双曲线。 （2）0.7fy0.8）40t80bct80cd焊接H型钢（t40）焰切板bb轧制板cd焊接箱形截面（t40）b/t20cb/t20b第88页，共90页，2022年，5月20日，11点54分，星期三2.4 钢结构设计规范轴心受压构件的稳定计算正则化长细比：关于长细比：弯曲失稳扭转失稳弯扭失稳双轴对称截面单轴对称截面绕非对称轴对称截面单轴对称截面绕对称轴无对称轴截面根据各类