新教材人教B版必修第二册-4.1.1-实数指数幂及其运算-课件(46张)

1、4.1.1实数指数幂及其运算必备知识自主学习1.n次方根(1)定义:给定大于1的正整数n和实数a,如果存在实数x,使得xn=a,则x称为a的n次方根.导思1.根式具有哪些性质?2.实数指数幂的运算法则有哪些?(2)表示:(3)实质:求a的n次方根是开方运算,与乘方运算互为逆运算.n为奇数n为偶数aRa0a=0a0且t是无理数时,at是一个确定的实数.【思考】当a0时,式子ax中的x的范围是什么?提示:xR.5.实数指数幂的运算法则(a0,b0,r,sR)(1)aras=ar+s.(2)(ar)s=ars.(3)(ab)r=arbr.【基础小测】1.辨析记忆(对的打“”,错的打“”)(1)n是大

2、于1的正整数,若xn=a,则x= .()(2) ()(3) 是一个确定的实数.()提示:(1).当n是奇数时,x= (2). (3).由无理指数幂的意义可知正确.2.已知a0,则 =()【解析】选D. 则 3.(教材二次开发:例题改编)若a0,a2+a-2=14,则a+a-1的值为()A.9B.7C.6D.4【解析】选D.因为a2+a-2=14,所以(a+a-1)2=a2+a-2+2=14+2=16,又因为a0,所以a+a-1=4.关键能力合作学习类型一n次方根的概念及相关的问题(数学抽象)【题组训练】1.化简 等于()A.-2B.6C.2D.-62. 的值是()A.0B.2(a-b)C.0或

3、2(a-b)D.a-b3.若 +(a-3)0有意义,则a的取值范围是_.【解析】1.选D. =-3-3=-6.2.选C.当a-b0时, =a-b+a-b=2(a-b),当a-b0时, =b-a+a-b=0.3.由 得a2,且a3.答案:2,3)(3,+)【解题策略】根式化简与求值的思路及注意点(1)思路:首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式,然后运用根式的性质进行化简.(2)注意点:正确区分( )n与 两式;运算时注意变式、整体代换,以及平方差、立方差和完全平方、完全立方公式的运用,必要时要进行讨论.【补偿训练】求下列各式的值.【解析】(1) =-2.(2)因为3-0,所以 (3) (4)原式

4、= =|x-1|-|x+3|.因为-3x3,所以-4x-12,0 x+36.当-4x-10,即-3x1时,|x-1|-|x+3|=1-x-(x+3)=-2x-2;当0 x-12,即1x0,n0)的双重根号,一般是将其转化为 的形式后再化简.由于 =a+b2 因此转化的方法就是寻找a,b,使得 即a,b是方程x2-mx+n=0的两个根.如化简 首先化为 的形式,即 解方程x2-4x+3=0,得x=3或x=1,则4-2 = 所以 【拓展训练】【解析】(1)方法一:原式= 方法二:令x= 两边平方得x2=6+2 =8.因为x0,所以x=2 .(2)原式类型二根式与分数指数幂的互化(数学运算)【题组训

5、练】1.化简 的结果是()A. B.xC.1D.x2【解析】选C. 2.将下列根式化成分数指数幂的形式:【解析】(1)原式= (2)原式= (3)原式= 【解题策略】根式与分数指数幂的互化技巧熟记互化公式 (a0,m,nN*,n1)是解决根式与分数指数幂的互化问题的关键所在.类型三分数指数幂的化简问题(数学运算) 角度1式子化简【典例】 =_.【思路导引】先将分母的根式化为分数指数幂,再利用分数指数幂的运算法则化简.【解析】 答案: 【变式探究】本例中将式子变为 ,试化简该式.【解析】原式= 角度2条件求值【典例】已知 ,求 的值.【思路导引】将已知的式子反复利用完全平方公式,将x的指数升高,

6、再代入求值.【解析】由已知可得:x+x-1=( )2-2=( )2-2=3.x2+x-2=(x+x-1)2-2=32-2=7.原式= 【解题策略】1.关于分数指数幂运算法则的应用首先要分析式子的特点,确定化简的层次和顺序,一般从里到外依次化为分数指数幂,其次先进行乘方运算,再进行同底数幂的运算.2.解决条件求值问题的步骤【题组训练】1.化简 =_.【解析】 答案: 2.已知x+x-1=4(0 x1),求 【解析】因为x+x-1=4,所以(x-x-1)2=(x+x-1)2-4=12,因为0 xb0,求 的值.【思路导引】1.将分母有理化;2.先将要求的式子平方,化成易于将条件代入的式子,进而代入

7、求值.【解析】1. 将x= ,y= 代入上式,得2.因为a,b是方程x2-6x+4=0的两个根,所以 因为 ab0,所以 因为 所以 【解题策略】解决条件求值问题的一般方法整体代入法对于条件求值问题,一般先化简代数式,再将字母取值代入求值.但有时字母的取值不知道或不易求出,这时可将所求代数式恰当变形,构造出与已知条件相同或相似的结构,从而通过“整体代入法”巧妙求出代数式的值.利用“整体代入法”求值常用的变形公式如下(a0,b0):【跟踪训练】已知 =3,求下列各式的值:(1)a+a-1;(2)a2+a-2;(3) 【解析】(1)将 =3两边平方,得a+a-1+2=9,所以a+a-1=7.(2)对(1)中的式子两边平方,得a2+a-2+2=49,所以a2+a-2=47.(3) =a+a-1+1=8.课堂检测素养达标1.计算 = ()A. B.2C. D. 【解析】选B.原式= 2.计算 的结果是()A. B.- C.2D. 【解析】选D. =2-1= .3.(教材二次开发:习题改编)若2x=7,2y=6,则4x-y等于()【解析】