空间直线、平面平行位置关系的证明方法

1、精选优质文档-倾情为你奉上精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业专心-专注-专业精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业第20讲：空间直线、平面平行位置关系的证明方法【考纲要求】1、 理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理。公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点在此平面内。公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。理解以下性质定理，并能够证明。如果一条直线与一个平面平行，那么经过该直线的任一个平面与此平面的交线和该直线平行。（记为线面平行，

2、则线线平行）如果两个平面平行，则其中一个平面内的任意一条直线都和另外一个平面平行。（记为面面平行，则线面平行）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行。垂直于同一个平面的两条直线平行。3、能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题。4、空间向量的应用 理解直线的方向向量与平面的法向量. 能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系.【基础知识】一、空间直线、平面平行位置关系的判定和证明空间直线、平面平行位置关系的判定和证明一般有两种方法。方法一（几何法）：线线平行 SKIPIF 1 0 线面平行 SKIPIF 1 0 面面平行，它体现

3、的主要是一个转化的思想。位置关系定义判定定理性质定理直线和平面平行直线和平面没有公共点。如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。（记为：线线平行，则线面平行）如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和两平面的交线平行。（记为：线面平行，则线线平行）平面和平面平行如果两个平面没有公共点，则这两个平面互相平行如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行。（记为：线面平行，则面面平行）如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行。如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任何

4、一条直线平行于另一个平面。（记为：面面平行，则线面平行）如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。平行于同一个平面的两个平面平行。两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例。夹在两个平行平面间的两条平行线段相等。方法二（向量法）：它体现的是数学的转化的思想和向量的工具性。其中向量 SKIPIF 1 0 是直线 SKIPIF 1 0 的方向向量，且 SKIPIF 1 0 向量 SKIPIF 1 0 是平面 SKIPIF 1 0 的法向量，且 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 例1 如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点S是

5、平面ABCD外一点，M是SC的中点，在DM上取一点G，过G和AS作平面交平面BDM于GH，求证：ASGH.证明：连结AC交BD于O，连结MO.因为四边形ABCD是平行四边形，所以O为AC的中点.又M为SC的中点，所以OMSA，所以SA平面BMD.又平面SAHG平面BMD=GH，所以ASGH.例2 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形PA平面ABCD，AP=AB，BP=BC=2，E，F分别是PB,PC的中点.()证明：EF平面PAD；()求三棱锥EABC的体积V.解：()在PBC中，E，F分别是PB，PC的中点，EFBC.又BCAD,EFAD,又AD平面PAD,EF平面PAD,EF平面

6、PAD.()连接AE,AC,EC,过E作EGPA交AB于点G,则BG平面ABCD,且EG=PA.在PAB中，AD=AB,PAB,BP=2,AP=AB=,EG=.SABC=ABBC=2=,VE-ABC=SABCEG=.【变式演练2】 在长方体ABCDA1B1C1D1中，DADC2，DD1eq r(3)，E是C1D1的中点，F是CE的中点(1)求证：EA平面BDF；(2)求证：平面BDF平面BCE；(3)求二面角DEBC的正切值例3 如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ平面PAO？解：当Q为

7、CC1的中点时，平面D1BQ平面PAO.Q为CC1的中点，P为DD1的中点，QBPA.P、O为DD1、DB的中点，D1BPO.又POPA=P，D1BQB=B，D1B平面PAO，QB平面PAO，平面D1BQ平面PAO.求证：（1）BFHD1；（2）EG平面BB1D1D；（3）平面BDF平面B1D1H.例4 如图，平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形，分别为，的中点， （I）设是的中点，证明：平面； （II）证明：在内存在一点，使平面，并求点到，的距离证明：（I）如图，连结OP，以O为坐标原点，分别以OB、OC、OP所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系O，则，由题意得，因，因此平面BOE的法向

8、量为，得，又直线不在平面内，因此有平面（II）设点M的坐标为，则，因为平面BOE，所以有，因此有，即点M的坐标为，在平面直角坐标系中，的内部区域满足不等式组，经检验，点M的坐标满足上述不等式组，所以在内存在一点，使平面，由点M的坐标得点到，的距离为【变式演练4 】如图是一个直三棱柱（以A1B1C1为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC已知A1B1B1C1l，AlBlC190，AAl4，BBl2，CCl3。（I）设点O是AB的中点，证明：OC平面A1B1C1；（II）求二面角BACA1的大小；（）求此几何体的体积； SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKI

9、PIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 【高考精选传真】1.【2012高考真题四川理6】下列命题正确的是（ ）A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行【解析】A.两直线可能平行，相交，异面故A不正确；B.两平面平行或相交；C.正确；D.这两个平面平行或

10、相交.2、（2012高考真题辽宁理18）.如图，直三棱柱，点分别为和的中点（1）证明：；（2）若二面角为直二面角，求的值【解析】（1）连结，由已知三棱柱为直三棱柱，所以为中点.又因为为中点所以，又平面 平面，因此 6分（2）以为坐标原点，分别以直线为轴，轴，轴建立直角坐标系，如图所示设则，因为为直二面角，所以，解得12分3（2012年高考真题江苏理16）不同于点），且为的中点求证：（1）平面平面； （2）直线平面 （2）为的中点，。 又平面，且平面，。 又平面，平面。 由（1）知，平面，。 又平面平面，直线平面【反馈训练】1关于线、面的四个命题中不正确的是 () A平行于同一平面的两个平面一定

11、平行B平行于同一直线的两条直线一定平行C垂直于同一直线的两条直线一定平行D垂直于同一平面的两条直线一定平行2设a，b为两条直线，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是( )A若a，b与所成的角相等，则bB若a，b，则abC若a，b，b，则D若a，b，是ab3设、是两个平面，l、m是两条直线，下列命题中，可以判断的是()Al，m，且l，mBl，m，且mCl，m且lmDl，m，且lm4 a、b、c为三条不重合的直线，、为三个不重合平面，现给出六个命题eq blc rc(avs4alco1(ac,bc)abeq blc rc(avs4alco1(a,b)abeq blc rc(avs4alco1(

12、c,c)eq blc rc(avs4alco1(,)eq blc rc(avs4alco1(c,ac)aeq blc rc(avs4alco1(a,)a其中正确的命题是 ()AB C D5已知m、n是两条不重合的直线，、是两个不重合的平面，下列命题中正确的是 ()A若m，n，则mnB若mn，n，m，则mC若，m，则mD若m，n，mn，则6已知m、n为直线，、为平面，给出下列命题： eq blcrc (avs4alco1(m,mn)n eq blcrc (avs4alco1(m,n)mneq blcrc (avs4alco1(m,m) eq blcrc (avs4alco1(m,n,)mn其中正

13、确的命题序号是（ ）A B C D8棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，M是棱AA1的中点，过C、M、D1作正方体的截面，则截面的面积是_9如图所示，四棱锥PABCD的底面是一直角梯形，ABCD，BAAD，CD2AB，PA底面ABCD，E为PC中点，则BE与平面PAD的位置关系为_13如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，ABAD，BAD60，E，F分别是AP，AD的中点求证：(1)直线EF平面PCD；(2)平面BEF平面PAD.14在四棱锥PABCD中，侧面PCD底面ABCD，PDCD，E为PC中点，底面ABCD是直角梯形，ABCD，ADC90，ABADPD1，CD2(

14、)求证：BE平面PAD；()求证：BC平面PBD；()设Q为侧棱PC上一点，试确定的值，使得二面角QBDP为45【变式演练详细解析】【变式演练1详细解析】已知： SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，求证： SKIPIF 1 0 证：过 SKIPIF 1 0 作面 SKIPIF 1 0 交面 SKIPIF 1 0 于 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 同理，过 SKIPIF 1 0 作 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 又 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 又面 SKIPIF 1 0 过

15、 SKIPIF 1 0 交 SKIPIF 1 0 于 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 【变式演练2详细解析】解：(1)证明：连接AC交BD于O点，连接OF，可得OF是ACE的中位线，OFAE.又AE平面BDF，OF平面BDF，所以EA平面BDF. (2)证明：计算可得DE2，又DC2，F为CE的中点，所以DFCE，又BC平面CDD1C1，所以DFBC，又BCCEC，所以DF平面BCE，而DF平面BDF，所以平面BDF平面BCE.(3)由(2)知DF平面BCE，过F作FGBE于G点，连接DG，则DG在平面BCE中的射影

16、为FG，从而DGBE，所以DGF即为二面角DEBC的平面角，设其大小为，计算得DFeq r(3)，FGeq f(r(2),2)，taneq f(DF,FG)eq r(6)，故二面角DEBC的正切值为eq r(6).四边形OEGD1是平行四边形，GED1O.又D1O SKIPIF 1 0 平面BB1D1D，EG平面BB1D1D.（3）由（1）知D1HBF，又BDB1D1，B1D1、HD1 SKIPIF 1 0 平面HB1D1，BF、BD SKIPIF 1 0 平面BDF，且B1D1HD1=D1，DBBF=B，平面BDF平面B1D1H.【变式演练4详细解析】解：（1）如图，以 SKIPIF 1 0

17、 为原点建立空间直角坐标系，则 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，因为 SKIPIF 1 0 是 SKIPIF 1 0 的中点，所以 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 则 SKIPIF 1 0 ，结合图形可知所求二面角为锐角所以二面角 SKIPIF 1 0 的大小是 SKIPIF 1 0 （3）因为 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 所求几何体体积为 SKIPIF 1 0 【反馈训练详细解析】1C【解析】：垂直于同一条直线的两条直线不一定平行，可能相交或异面2. D【解析】对于选项A，要注意直线a，

18、b的方向相同时才平行；对于选项B，可用长方体验证如图，设A1B1为a，平面AC为，BC为b，平面A1C1为，显然有a，b，但得不到ab；对于选项C，可设A1B1为a，平面AB1为，CD为b，平面AC为，满足选 项C的条件却得不到，故C不正确；对于选项D，可验证是正确的 3. D【解析】条件A中，增加上l与m相交才能判断出，A错由条件B、C都有可能与相交，排除B和C.而垂直于同一直线的两个平面平行，D成立 4. C【解析】：正确，错在a、b可能相交或异面错在与可能相交错在a可能在内来源:7. A【解析】：将展开图还原为四棱锥，可知BE与CF相交，BE与AF异面，EF和平面PBC平行又易知该几何体

19、不一定为正四棱锥所以，正确的结论为和.8. eq f(9,2)【解析】：由面面平行的性质知截面与平面AB1的交线MN是AA1B的中位线，所以截面是梯形CD1MN，易求其面积为eq f(9,2).9.平行【解析】答案：平行10. eq r(2)【解析】：因为直线EF平面AB1C，EF平面ABCD，且平面AB1C平面ABCDAC，所以EFAC，又因为在E是DA的中点，所以F是DC的中点，由中位线定理可得：EFeq f(1,2)AC，又因为在正方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，所以AC2eq r(2)，所以EFeq r(2).11. 【解析】连接MN交AE于点P，则MPDE，NPAB，ABCD，NPCD.对于，由题意可得平面MNP平面DEC，