2021-2022学年湖南省长沙市第二十五中学高三数学文期末试题含解析

1、2021-2022学年湖南省长沙市第二十五中学高三数学文期末试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若函数在上可导，且满足，则（ ）A B C D参考答案：A试题分析：由于恒成立，因此在上时单调递增函数，即，故答案为A考点：函数的单调性与导数的关系2. 一个体积为12的正三棱柱的三视图，如图所示，则此正三棱柱的侧视图面积为（）A12B8C8D6参考答案：D【考点】L!：由三视图求面积、体积【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是正三棱柱，结合图中数据，求出三棱柱的高与侧视图的面积【解答】解：根据几何体的三视图，得

2、；该几何体是正三棱柱，且底面正三角形一边上的高为2，底面三角形的边长为=4，三棱柱的体积为V三棱柱=42h=12，三棱柱的高为h=3；侧视图的面积为S侧视图=23=6故选：D3. 若aR，则a=2是（a-1）（a-2）=0的A.充分而不必要条件 B必要而不充分条件C.充要条件 C.既不充分又不必要条件参考答案：A 本题主要考查充分条件与必要条件的判断，难度较小。若a=2时（a1）(a2) = 0成立。充分性成立。若（a1）(a2) = 0 时，a=1或a=2.必要性不成立4. 设实数，满足则的最小值为（ ）A4B2CD 参考答案：C5. （5分）已知函数f（x）=Asin（x+4）（A0，0，

3、0）的部分图象如图所示，若将函数f（x）的图象纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位，所得到的函数g（x）的解析式为（） A g（x）=2sinx B g（x）=2sin2x C g（x）=2sinx D g（x）=2sin（2x）参考答案：D【考点】： 函数y=Asin（x+）的图象变换【专题】： 三角函数的图像与性质【分析】： 由图象可得A，T，可解得，由图象过点C（0，1），可得sin4=，结合范围0，解得4=，可得解析式f（x）=2sin（x+），根据函数y=Asin（x+）的图象变换即可得解解：由图象可知，A=2，T=4，解得，故f（x）=2sin（x+4），图象过点C（0

4、，1），1=2sin4，即sin4=，0，04，4=，故f（x）=2sin（x+），若将函数f（x）的图象纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，所得到的函数g（x）的解析式为y=2sin（2x+），再向右平移个单位，所得到的函数g（x）的解析式为g（x）=2sin2（x）+=2sin（2x）故选：D【点评】： 本题主要考查了三角函数解析式的求法，函数y=Asin（x+）的图象变换规律，属于基本知识的考查6. 下列说法错误的是()(A)命题“若x2-3x+2=0,则x=1”的逆否命题为:“若x1,则x2-3x+20”(B)“x1”是“|x|1”的充分而不必要条件(C)若p且q为假命题,则p、q均为假命

5、题(D)命题p:“存在xR,使得x2+x+10”,则非p:“任意xR,均有x2+x+10”参考答案：C略7. 如图，将直角三角板和直角三角板拼在一起，其中直角三角板的斜边与直角三角板的角所对的直角边重合.若，则（ ）A B C. D参考答案：B8. 已知=，则的表达式是（ ）A B C D参考答案：B9. ABC外接圆的半径为，圆心为，且，则的值是 （ ）A. 2 B. 3 C. 1 D. 0参考答案：B 10. 已知向量=（1，2），=（a，1），若，则实数a的值为（）A2BCD2参考答案：D【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系【分析】直接利用向量垂直数量积为0列式求得a值【解答】解：=

6、（1，2），=（a，1），由，得1a+2（1）=0，即a=2故选：D二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 如图，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为 。 参考答案：略12. 某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为20，40），40，60），60，80），80，100），若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是 参考答案：50考点：频率分布直方图 专题：概率与统计分析：由已知中的频率分布直方图，我们可以求出成绩低于60分的频率，结合已知中的低于60分的人数是15人，结合频数=频率总体容量，即可得到总体容量

7、解答：解：成绩低于60分有第一、二组数据，在频率分布直方图中，对应矩形的高分别为0.005，0.01，每组数据的组距为20则成绩低于60分的频率P=（0.005+0.010）20=0.3，又低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是=50故答案为：50点评：本题考查的知识点是频率分布直方图，结合已知中的频率分布直方图，结合频率=矩形的高组距，求出满足条件的事件发生的频率是解答本题的关键13. 已知G为ABC的重心，令，过点G的直线分别交AB、AC于P、Q两点，且，则=参考答案：3考点： 平面向量的基本定理及其意义专题： 平面向量及应用分析： 显然，根据G点为重心，从而可以用表示，而和共线，从

8、而，而已知，从而会最后得到关于的式子：，从而得到，两式联立消去x即可求出答案解答： 解：如图，=；G为ABC的重心；，；整理得，；消去x得，；故答案为：3点评： 考查向量加法、减法的几何意义，共线向量基本定理，重心的性质：重心到顶点距离是它到对边中点距离的2倍，以及向量加法的平行四边形法则，向量的加法、减法运算，平面向量基本定理14. 曲线C：（为参数）的两个顶点之间的距离为 参考答案：2【考点】QH：参数方程化成普通方程【分析】根据题意，将曲线的参数方程变形为普通方程，分析可得曲线C为双曲线，且两个顶点的坐标为（1，0），由两点间距离公式计算可得答案【解答】解：曲线C：，其普通方程为x2y2

9、=1，则曲线C为双曲线，且两个顶点的坐标为（1，0），则则两个顶点之间的距离为2；故答案为：2【点评】本题考查参数方程与普通方程的互化，涉及双曲线的几何性质，关键是将曲线的参数方程化为普通方程15. 6已知，表示两个不同的平面，m为平面内的一条直线，则“”是“m”的 条件（填“充分不必要”、 “必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”） 参考答案：必要不充分； 16. 已知，则 参考答案：试题分析：因为，所以，可得，故答案为.17. 已知集合A=x|3x7，B=x|4x10，则AB= ，（?RA）B= 参考答案：x|3x10，x|7x10【考点】交、并、补集的混合运算【分析】根据并集、补集

10、和交集的定义，分别写出对应的运算结果即可【解答】解：集合A=x|3x7，B=x|4x10，所以AB=x|3x10，?RA=x|x3或x7，所以（?RA）B=x|7x10故答案为：x|3x10，x|7x10三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. （12分）如图所示，已知圆（x+3）2+y2=100，定点A（3，0），M为圆C上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足=2，?=0，点N的轨迹为曲线E（1）求曲线E的方程；（2）求过点Q（2，1）的弦的中点的轨迹方程参考答案：考点：轨迹方程 专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）通过向量关

11、系，判断点N的轨迹为曲线E满足椭圆定义，然后求解椭圆的方程即可（2）利用点差法求斜率，即可求过点Q（2，1）的弦的中点的轨迹方程解答：解：（1）=2，?=0，NP为AM的中垂线，|NA|=|NM|又|CN|+|NM|=10，|CN|+|NA|=106，动点N的轨迹是以点C和A为焦点的椭圆，且2a=10，曲线E的方程为：；（2）设直线与椭圆交与G（x1，y1）、H（x2，y2）两点，中点为S（x，y），设弦的斜率k=，由S（x，y），Q（2，1）两点可得弦的斜率为k=，=，化简可得中点的轨迹方程为：16x2+25y232x25y=0点评：本题考查椭圆的定义的应用，轨迹方程的求法，考查计算能力19

12、. （14分）已知函数y=f（x），若在区间（2，2）内有且仅有一个x0，使得f（x0）=1成立，则称函数f（x）具有性质M（）若f（x）=sinx+2，判断f（x）是否具有性质M，说明理由；（）若函数f（x）=x2+2mx+2m+1具有性质M，试求实数m的取值范围参考答案：考点：函数零点的判定定理专题：计算题；新定义；函数的性质及应用分析：（）f（x）=sinx+2具有性质M若存在x0（2，2），使得f（x0）=1，解方程求出方程的根，即可证得；（）依题意，若函数f（x）=x2+2mx+2m+1具有性质M，即方程x2+2mx+2m=0在（2，2）上有且只有一个实根设h（x）=x2+2mx+2

13、m，即h（x）=x2+2mx+2m在（2，2）上有且只有一个零点讨论m的取值范围，结合零点存在定理，即可得到m的范围解答：解：（）f（x）=sinx+2具有性质M理由：依题意，若存在x0（2，2），使得f（x0）=1，则x0（2，2）时有sinx0+2=1，即sinx0=1，x0=2k，kZ由于x0（2，2），所以x0=又因为区间（2，2）内有且仅有一个x0=使得f（x0）=1成立，所以f（x） 具有性质M；（）依题意，若函数f（x）=x2+2mx+2m+1具有性质M，即方程x2+2mx+2m=0在（2，2）上有且只有一个实根设h（x）=x2+2mx+2m，即h（x）=x2+2mx+2m在（2

14、，2）上有且只有一个零点解法一：（1）当m2时，即m2时，可得h（x）在（2，2）上为增函数，只需解得交集得m2（2）当2m2时，即2m2时，若使函数h（x）在（2，2）上有且只有一个零点，需考虑以下3种情况：（）m=0时，h（x）=x2在（2，2）上有且只有一个零点，符合题意（）当2m0即0m2时，需解得交集得?（）当0m2时，即2m0时，需解得交集得（3）当m2时，即m2时，可得h（x）在（2，2）上为减函数只需解得交集得m2综上所述，若函数f（x）具有性质M，实数m的取值范围是m或m2或m=0；解法二：依题意，（1）由h（2）?h（2）0得，（42m）（6m+4）0，解得或m2同时需要考

15、虑以下三种情况：（2）由解得m=0（3）由解得，不等式组无解（4）由解得，解得综上所述，若函数f（x）具有性质M，实数m的取值范围是或m2或m=0点评：本题考查函数的零点的判断和求法，考查零点存在定理的运用，考查分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题20. 函数f（x）=log3（x2+2x8）的定义域为A，函数g（x）=x2+（m+1）x+m（1）若m=4时，g（x）0的解集为B，求AB；（2）若存在 x0,使得不等式g（x）1成立，求实数m的取值范围参考答案：【考点】函数的最值及其几何意义；对数函数的图象与性质【分析】（1）求出集合A，B，由交集运算的定义，可得AB；（2）若存在使得

16、不等式g（x）1成立，即存在使得不等式m成立，所以m（）min，解得实数m的取值范围【解答】解：（1）由x2+2x80，解得：x（，4）（2，+），故则函数f（x）=log3（x2+2x8）的定义域A=（，4）（2，+），若m=4，g（x）=x23x4，由x23x40，解得：x1，4，则B=1，4所以AB=（2，4； （2）存在使得不等式x2+（m+1）x+m1成立，即存在使得不等式m成立，所以m（）min 因为=x+1+11，当且仅当x+1=1，即x=0时取得等号所以m1，解得：m1 21. 以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的参数方程为（为参数），曲线的极坐

17、标方程为.（1）求曲线，公共弦所在的直线的极坐标方程；（2）设点在曲线上，点在曲线上，求的最大值.参考答案：（1）曲线的参数方程为（为参数），所以的直角坐标方程为：.曲线可化为，所以曲线的直角坐标方程为.所以两圆的圆心分别为，则圆心距且，所以两圆相交.因为相交直线方程为.所以直线坐标方程为：.（2）因为点在曲线上，点在曲线上，所以当有最大值时，为两圆圆心距与两圆半径之和，此时.22. 已知圆O：x2+y2=1过椭圆C：（ab0）的短轴端点，P，Q分别是圆O与椭圆C上任意两点，且线段PQ长度的最大值为3（）求椭圆C的方程；（）过点（0，t）作圆O的一条切线交椭圆C于M，N两点，求OMN的面积的最大值参考答案：【考点】椭圆的简单性质【分析】（）由圆O过椭圆C的短轴端点b=1，线段PQ长度的最大值为3，a+1=3，a=2，即可求得椭圆方程；（）设直线MN的方程，由点到直线的距离公式，求得k2=t21，代入椭圆方程，由