2021-2022学年湖南省长沙市沙田中学高三数学文月考试卷含解析

1、2021-2022学年湖南省长沙市沙田中学高三数学文月考试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 记集合和集合表示的平面区域分别为，若在区域内任取一点，则点M落在区域内的概率为（ ）A B C D参考答案：A略2. 设全集U=x|x1，集合A=x|x2，则?UA=（）Ax|1x2Bx|1x2Cx|x2Dx|x2参考答案：A【考点】补集及其运算【分析】由全集U，以及A，利用集合的基本运算即可得到结论【解答】解：全集U=x|x1，集合A=x|x2，?UA=x|1x2，故答案为：A3. 曲线f（x）=ax2（a0）与g（x

2、）=lnx有两条公切线，则a的取值范围为（）A（0，）B（0，）C（，+）D（，+）参考答案：D【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】11 ：计算题；33 ：函数思想；49 ：综合法；52 ：导数的概念及应用【分析】分别求出导数，设出各自曲线上的切点，得到切线的斜率，再由两点的斜率公式，结合切点满足曲线方程，可得切点坐标的关系式，整理得到关于一个坐标变量的方程，由已知的两条切线得到方程有两个解，借助于函数的极值和最值，即可得到a的范围【解答】解：y=ax2的导数y=2ax，y=lnx的导数为y=，设与y=ax2相切的切点为（s，t），与曲线g（x）=lnx相切的切点为（m，n）m

3、0，则有公共切线斜率为2as=，又t=as2，n=lnm，即有2as=，整理得as2ln（2as）1=0设f（s）=as2ln（2as）1，所以f（s）=2as=，因为a0，s0，所以由f（s）0得到当s时，f（s）0，f（s）单调递增，当0s时，f（s）0，f（s）单调递减即有s=处f（s）取得极小值，也为最小值，且为f（）=，由恰好存在两条公切线，即f（s）=0有两解，由f（0）+，s，f（s）+，所以只要f（）0可得a的范围是a故选D4. 已知函数是偶函数的图象过点（2，1），则对象的图象大致是 ( ）参考答案：B5. 如图1是2013年某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分

4、数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和众数依次为A 85，84 B 84，85C 86，84 D 84，86 参考答案：A略6. 设向量与平行，则ABC0D1参考答案：C7. 已知向量的最小值为（ ）A B6 C12 D 参考答案：B略8. 设集合，如果有，则实数的取值范围是（ ）A B C D参考答案：A9. 命题：?xZ，x2Z的否定是命题（）A?xZ，x2?ZB?x?Z，x2?ZC?xZ，x2ZD?xZ，x2?Z参考答案：D【考点】命题的否定【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题：?xZ，x2Z的

5、否定是命题：?xZ，x2?Z故选：D10. 已程序框图如图所示，则该程序框图的功能是 （ ） A求数列的前10项和 B求数列的前10项和 C求数列的前11项和 D求数列的前11项和参考答案：A略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设a，bR，c0，2），若对任意实数x都有2sin（3x）=asin（bx+c），定义在区间0，3上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点横坐标为d，则满足条件的有序实数组（a，b，c，d）的组数为参考答案：28【考点】排列、组合的实际应用【分析】首先由已知等式求得a值，然后利用三角恒等变换sin2x=cosx求出所有根的个数，最后

6、利用排列组合的思想求得满足条件的有序实数组【解答】解：对任意实数x都有2sin（3x）=asin（bx+c），|a|=2，若a=2，则方程等价于sin（3x）=sin（bx+c），则函数的周期相同，若b=3，此时c=；若b=3，此时c=；若a=2，则方程等价于sin（3x）=sin（bx+c）=sin（bxc），若b=3，此时c=；若b=3，此时c=综上，满足条件的数组（a，b，c，）为（2，3，），（2，3，），（2，3，），（2，3，）共4组而当sin2x=cosx时，2sinxcosx=cosx，得cosx=0或sinx=，x=+k或x=+2k，kZ又x0，3，x=满足条件的有序数组（a

7、，b，c，d）共有47=28故答案为2812. 有两个相同的直三棱柱，高为，底面三角形的三边长分别为。用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，表面积最小的是一个四棱柱，则的取值范围是_。参考答案：答案：13. 已知菱形ABCD边长为2，点P满足=，R，若=3，则的值为参考答案：【考点】平面向量数量积的运算【分析】用，表示出，列出方程解出【解答】解：=，=（1）=（1）=（1）?（）=（1）+=3， =2=24（1）42=3解得故答案为14. 设函数yf（x）是最小正周期为2的偶函数，它在区间0，1上的图象为如图所示的线段AB，则在区间1，2上f（x） .参考答案：x；15. 如图，P

8、Q为半圆O的直径，A为以OQ为直径的半圆A的圆心，圆O的弦PN切圆A于点M，PN=8，则圆A的半径为_参考答案：【知识点】选修4-1 几何证明选讲N1【答案解析】如图所示，连接AM，QN 由于PQ是O的直径，PNQ=90圆O的弦PN切圆A于点M，AMPNAMQN，又PN=8，PM=6根据切割线定理可得：PM2=PO?PQ设O的半径为R则62=R?2R，R=3 ，A的半径r= R= 故答案为：【思路点拨】利用圆的直径的性质、圆的切线的性质可得：PNQ=90=PMA进而得到AMQN，可得 可得PM，再根据切割线定理可得：PM2=PO?PQ可得PO16. 不等式的解集是 参考答案：17. 设向量a=

9、(cos ,sin ),b=(cos ,sin )，其中0，若|2a+b|=|a-2b|，则-=_. 参考答案：略三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. （本小题满分12分）对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计， 随机抽取名学生作为样本，得到这名学生参加社区服务的次数. 根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下： 分组频数频率2440.120.05合计1（）求出表中及图中的值；（）若该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间内的人数；（）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至

10、多一人参加社区服务次数在区间内的概率.参考答案：解（）由分组内的频数是4，频率是0.1知，所以因为频数之和为，所以，.-4分因为是对应分组的频率与组距的商，所以-6分（）因为该校高三学生有240人，分组内的频率是，所以估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为人. -8分（）这个样本参加社区服务的次数不少于20次的学生共有人，设在区间内的人为，在区间内的人为. 则任选人共有，15种情况， -10分而两人都在内只能是一种，所以所求概率为-12分19. 已知直线l经过点P（1，1），倾斜角，（1）写出直线l的参数方程；（2）设l与圆x2+y2=4相交于两点A，B，求点P到A，B两点的距离

11、之积参考答案：考点：直线的参数方程；直线与圆的位置关系；圆的参数方程 专题：计算题；压轴题分析：（1）利用公式和已知条件直线l经过点P（1，1），倾斜角，写出其极坐标再化为一般参数方程；（2）由题意将直线代入x2+y2=4，从而求解解答：解：（1）直线的参数方程为，即（2）把直线代入x2+y2=4，得，t1t2=2，则点P到A，B两点的距离之积为2点评：此题考查参数方程与普通方程的区别和联系，两者要会互相转化，根据实际情况选择不同的方程进行求解，这也是每年2015届高考必的热点问题20. （12分）成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列中的、（1） 求

12、数列的通项公式；（2） 数列的前n项和为，求证：数列是等比数列参考答案：解：（1）设成等差数列的三个正数分别为依题意，得所以中的依次为依题意，有（舍去）故的第3项为5，公比为2由所以是以为首项，2为以比的等比数列，其通项公式为-6分 （2）数列的前项和，即 所以 因此为首项，公比为2的等比数列-12分略21. 在直角坐标系xOy中，动圆P与圆Q：（x2）2y21外切，且圆P与直线x1相切，记动圆圆心P的轨迹为曲线C（1）求曲线C的轨迹方程；（2）设过定点S（2，0）的动直线l与曲线C交于A，B两点，试问：在曲线C上是否存在点M（与A，B两点相异），当直线MA，MB的斜率存在时，直线MA，MB的

13、斜率之和为定值？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由参考答案：（1）设P（x，y），圆P的半径为r，因为动圆P与圆Q：（x2）2y21外切，所以，又动圆P与直线x1相切，所以rx1，由消去r得y28x，所以曲线C的轨迹方程为y28x（2）假设存在曲线C上的点M满足题设条件，不妨设M（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），则，所以，显然动直线l的斜率存在且非零，设l：xty2，联立方程组，消去x得y28ty160，由0得t1或t1，所以y1y28t，y1y216，且y1y2，代入式得，令（m为常数），整理得，因为式对任意t（，1）（1，）恒成立，所以，所以或，即M（2，4）或M（2，4），即存在曲线C上的点M（2，4）或M（2，4）满足题意22. 如图，矩形中，分别在线段和上，将矩形沿折起记折起后的矩形为，且平面平面（1）求证：平面；（2）若，求证：； （3）求四面体体积的最大