组合数的两个性质

1、组合数的两个性质组合数的两个性质一、复习知识1、一般地，从n个不同元素中取出m(m n)个元素并成一组,叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个组合2、从n个不同元素中取出m(m n)个元素的所有组合的个数,叫做从n 个不同元素中取出m个元素的组合数。用符号m n C表示3、组合数的公式 (1)(2)(1)!m mn nm m A n n n n m C A m - + = = 或)!(!m n m n C m n -=),(n m N m n 时，计算m n C可变为计算m n n C -,能够使运算简化.2、我们规定 10=n C3、y n x n C C =y x =?或门 y x =

2、+组合数性质2引例一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球从口袋里取出3个球，共有多少种取法从口袋里取出3个球,使其中含有一个黑球，有多少种取法从口袋里取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法引导学生发现:=38C +27C 37C .为什么呢我们可以这样解释:从口袋内的8个球中所取出的3个球，可以分 为两类:一类含有1个黑球，一类不含有黑球.因此根据分类计数原理， 上述等式成立.一般地，从121,+n a a a这n +1个不同元素中取出m个元素的组合数是m n C 1+,这些组合可以分为两类:一类含有元素1a ,一类不含有1a .含有1a的组合是从 132,+n a a a这n个元素中取

3、出m -1个元素与1a组成的，共有1-m n C个;不含有1a的组合是从132,+n a a a这n个元素中取 出m个元素组成的，共有m n C个.根据分类计数原理，可以得到组合数 的另一个性质.组合数的性质2:m n C 1+=m n C +1-m nC .证明:)!1 () !1(!)!(!1- + - =+-m n m n m n m n C C m n m n )!1(!)1(!+- + + -=m n m m n m n n )!1(!)1(+-+-=m n m n m m n )!1(!)!1(+-+ = m n m n m n C 1+= Am n C 1+ = m n C +1

4、-m nC .说明：1、公式特征:下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原 下标多1而上标与原组合数上标较大的相同的一个组合数2、此性质的作用:恒等变形，简化运算.在今后学习“二项式定理” 时我们会看到它的主要应用.小结：组合数的性质1:m n nm n C C -=组合数的性质 2:m n C 1+ = m n C +1-m nC常用的组合数性质公式还有：子子宫子子子子子子子子子子子子子子子子子子子子子子子子子子子子子子子子子子子子了解三、例题分析例1、计算例2、解方程或不等式7234135n n n C A - =、62213132n n C C +-=、456113m m m m C C C - +、例3、证明111111m m m m n n n n C C C C -+-= + +、1112n n n n n n n m n m C C C C + + + + + + + + =、例4、在100件产品中，有98件合格品,2件次品.从这100件产品中任意 抽出3件一共有多少种不同的抽法抽出的3件中恰好有一件是次品的抽法有多少种抽出的3件中至少有一件是次品的抽法有多少种四、小结通过这一节课的学习我们要进一步熟悉组合数的公式;