结构可靠度分析中蒙特卡洛模拟的应用

1、结构可靠度分析中蒙特卡洛模拟的应用蒙特卡洛(Monte Carlo)模拟是一种通过设定随机过程，反复生成时间序列， 计算参数估计量和统计量，进而研究其分布特征的方法。具体的，当系统中各个 单元的可靠性特征量已知，但系统的可靠性过于复杂，难以建立可靠性预计的精 确数学模型或模型太复杂而不便应用时，可用随机模拟法近似计算出系统可靠性 的预计值；随着模拟次数的增多，其预计精度也逐渐增高。由于涉及到时间序列 的反复生成，蒙特卡洛模拟法是以高容量和高速度的计算机为前提条件的，因此 只是在近些年才得到广泛推广。不确定性是工程中存在的客观现象，它影响着结构的安全性。结构概率设计 考虑了实际工程中设计、施工、

2、使用工程中的不确定因素，因此概率设计方法有 广泛的应用价值，结构可靠度分析是以概率理论为基础的。蒙特卡洛法又称随机抽样法或统计试验法。该方法是通过随机模拟和统计试 验来求解结构可靠性的近似数值方法。当用蒙特卡洛方法求解某一事件的概率时, 可以通过抽样试验的方法，得到该事件出现的频率，将其作为问题的解。采用蒙特 卡洛法进行可靠度分析，可以回避结构可靠度分析中的数学困难，既可以不考虑功 能函数的复杂性，而且其收敛速度与随机变量的维数无关，极限状态函数的复杂程 度与模拟过程无关，更无需将状态函数线性化和随机变量“当量正态”化，具有直接 解决问题的能力。用蒙特卡洛方法模拟结构失效概率时，由于模拟次数总

3、是有限的，所以模拟 结果是一个随机变量。评价蒙特卡洛方法模拟结果好坏或模拟效率的指标是失效 概率模拟结果的变异系数。当变异系数较小时，说明失效概率的变异性小，模拟 的准确性较高，模拟结果的可信度较大。相反，当变异系数较大时，说明失效概 率的变异性较大，模拟的准确性不高，模拟结果的可信度不大。为了提高蒙特卡 洛方法估算的精度，一种方法是增加模拟的次数，称为一般抽样法；另一种方法 是采用一定的方法降低失效概率的变异系数，称为重要抽样方法。一、一般抽样法一般抽样方法是结构可靠度蒙特卡洛模拟最基本的方法，重要抽样方法是以 一般抽样法为基础的。作为结构可靠度分析的基本问题，设X1,X2，X.为n个随机变

4、量，其概率密度函数分别为fX1 (气)，fX(X2),密度函数分别为fX1 (气)，fX结构失效概率由下式计算：P =j j f (结构失效概率由下式计算：P =j j f (尤)f (尤)，f (尤)d d - dfX1 1 X2 2Xn n X X2Xn= j+8 j+3 g (x , x , x ) f (x ) f (x ) , f (x )d d d 一8_8一8X 12nX11 X22Xnnx】x2xn=EI gX (X1, X2 , X ) 其中1 s (x , x ,)表示示性函数，如图所示。式(1)表示结构失效 X 12其中概率为示性函数的期望值。对随机变量X1，X2.,X进

5、行抽样产生一个样本向量(X(1),x?)，x(1),(X(2) , X(2),X(2),(X( n), X( n),X( n)其中:a 1力rPf=s1j=1n Ng (x( j), X2 j其中:a 1力rPf=s1j=1n Ng (x( j), X2 j),xy )=N(2)N拦fj =1表示N次模拟中结构失效的次数。I g ( X (j), X (j),X (j) IL 12 n -I(3)由式(2)可以看出，用蒙特卡洛方法模拟分析结构的失效概率时，不需要具体考虑极限状态曲面形状和复杂性，只需要根据随即抽取的样本计算功能函数 的值，并判断该值是大于0还是小于0.当随机点落入可靠域即gX

6、(气,x2 ,气) 0 时示性函数的值取为0,当随机点落入可靠域即gX(气,、,xn)st g (x , x ,x ) = 0X12 n也可以选在由一次二阶矩方法分析得到的验算点处，而重要抽样随机变量的方差 可以取原随机变量的方差，概率分布可以取为原来的概率分布，也可以取为其他 便于抽样的分布。直接重要抽样法使用了验算点，而用一次二阶矩方法求验算点的过程也同时 得到了可靠指标。，进而得到一次失效概率pl，但这并不意味着用蒙特卡洛方 法估计结构失效概率就失去了意义。事实上，一次失效概率p亿只是用线性极限 L状态面代替了原非线性极限状态面时得到结果，其与精确结果的误差取决于原极 限状态面的非线性程度，而在有些情况下，也正是需要用重要抽样法来分析这种 误差，判断pl的准确性。对于线性功能函数而且随机变量服从正态分布的情形，在相同的抽样次数N 下，与一般抽样法相比，直接抽样效率的提高与失效概率的量级有关，失效概率 的量级越小，一般重要抽样法的效率越高；对于非线性极限状态方程及随机变量 不服从正态分布的情形，分析得到的基本结论是一致的，但还与极限正态方程的 非线性程度有关。用一般重要抽样法古今结构失效概率的步骤为：1）由式（12）或借助与一次二阶矩方法，确定重要抽样中心（可取一次二 阶矩分析的验算