新高考版数学高中总复习专题5.4解三角形及其综合应用（试题练）教学讲练

1、数学高考总复习PAGE PAGE 23学好数理化，走遍天下都不怕5.4解三角形及其综合应用基础篇固本夯基【基础集训】考点一正弦定理和余弦定理1.在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若sin A=3sin B,c=5,且cos C=56,则a=(A.22B.3C.32D.4答案B2.若ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知bsin 2A=asin B,且c=2b,则ab等于(A.32B.43C.2答案D3.在ABC中,三内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b2+c2-3bc=a2,bc=3a2,则角C的大小是()A.6或23B.3C.答案A4.若ABC的面积为34(

2、a2+c2-b2),且C为钝角,则B=;ca的取值范围是答案35.在ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2asin A=(2b+c)sin B+(2c+b)sin C.(1)求A的大小;(2)若sin B+sin C=1,试判断ABC的形状.解析(1)由已知,结合正弦定理,得2a2=(2b+c)b+(2c+b)c,即a2=b2+c2+bc.又a2=b2+c2-2bccos A,所以bc=-2bccos A,即cos A=-12由于A为三角形的内角,所以A=2(2)已知2asin A=(2b+c)sin B+(2c+b)sin C,结合正弦定理,得2sin2A=(2sin B+si

3、n C)sin B+(2sin C+sin B)sin C,即sin2A=sin2B+sin2C+sin Bsin C=sin223=又由sin B+sin C=1,得sin2B+sin2C+2sin Bsin C=1,解得sin B=sin C=12因为0B,0C,0B+C,所以B=C=6所以ABC是等腰三角形.考点二解三角形及其综合应用6.在ABC中,三边长分别为a,a+2,a+4,最小角的余弦值为1314,则这个三角形的面积为(A.1534B.154C.213答案A7.如图所示,为了测量A,B两处岛屿间的距离,小张以D为观测点,测得A,B分别在D处的北偏西30、北偏东30方向,再往正东方

4、向行驶40海里到C处,测得B在C处的正北方向,A在C处的北偏西60方向,则A,B两处岛屿间的距离为()A.203 海里B.403 海里C.20(1+3)海里D.40海里答案B8.设锐角ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且c=1,A=2C,则ABC周长的取值范围为()A.(0,2+2)B.(0,3+3)C.(2+2,3+3)D.(2+2,3+3答案C9.如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上,行驶600 m后到达B处,测得此山顶在西偏北75的方向上,仰角为30,则此山的高度CD=m.答案1006综合篇知能转换【综合集训】考法一

5、利用正、余弦定理解三角形1.(2019湖南四校调研联考,10)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sinAsinB+sinC+bA.6B.3C.2答案B2.(2020届福建建瓯芝华中学高三暑假学习效果检测,7)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若ABC的面积为a2+b2-A.2B.3C.4答案C3.(2019上海金山二模,7)已知ABC中,tan A=14,tan B=35,AB=17.(1)角C的大小;(2)ABC中最短边的边长.解析(1)tan C=tan-(A+B)=-tan(A+B)=-tanA+tanB所以C=3(2)因为tan Atan B,所以最小角为A.

6、又因为tan A=14,所以sin A=17又BCsinA=所以BC=ABsinAsinC故ABC中最短边的边长为2.考法二三角形形状的判断4.(2020届山东济宁二中10月月考,8)在ABC中,若sin A=2sin Bcos C,a2=b2+c2-bc,则ABC的形状是()A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形答案A5.(2018湖南师大附中12月月考,6)在ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若bcosCccosB=1+cos2C1+cos2BA.等腰三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形或直角三角形答案D6.(2018江西南城一中期中,6)在

7、ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若tanA-tanBtanA+tanA.90的内角B.60的内角C.45的内角D.30的内角答案B考法三与三角形的面积、范围有关的问题7.(2020届内蒙古杭锦后旗奋斗中学第一次月考,18)在ABC中,A=60,c=37(1)求sin C的值;(2)若a=7,求ABC的面积.解析(1)在ABC中,因为A=60,c=37a,所以由正弦定理得sin C=csinAa=37(2)因为a=7,所以c=37由余弦定理a2=b2+c2-2cbcos A得72=b2+32-2b312,得b=8或b=-5(舍).所以ABC的面积S=12bcsin A=12833

8、8.(2019江西临川一中12月月考,17)在ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且2csin B=3atan A.(1)求b2+(2)若a=2,求ABC的面积的最大值.解析(1)2csin B=3atan A2csin Bcos A=3asin A2bccos A=3a2,即2bcb2+c2-a22bc则b2(2)a=2,b2+c2=16,cos A=b2+c又b2+c22bc,即8bc,当且仅当b=c时,取等号,cos A68=3由cos A=6bc得bc=6则A0,SABC=12bcsin A=3tan 1+tan2A=1+sin2Acostan A=1cos2A-SABC=3

9、tan A7,故ABC的面积的最大值为7.考法四解三角形的实际应用9.(2018福建莆田月考,8)A在塔底D的正西面,在A处测得塔顶C的仰角为45,B在塔底D的南偏东60处,在塔顶C处测得B的俯角为30,A、B间距84米,则塔高为()A.24米B.125 米C.127 米D.36米答案C10.(2018河北石家庄摸底考试,17)某学校的平面示意图如图中的五边形区域ABCDE,其中三角形区域ABE为生活区,四边形区域BCDE为教学区,AB,BC,CD,DE,EA,BE为学校的主要道路(不考虑宽度).BCD=CDE=23,BAE=3,DE=3BC=3CD=(1)求道路BE的长度;(2)求生活区AB

10、E的面积的最大值.解析(1)如图,连接BD,在BCD中,BD2=BC2+CD2-2BCCDcosBCD=27100,BD=3BC=CD,BCD=2CBD=CDB=-23又CDE=23,BDE=在RtBDE中,BE=B=33102故道路BE的长度为335(2)设ABE=,BAE=3AEB=2在ABE中,ABsinAEB=AEsinABE=AB=65sin23-km,AE=6SABE=12ABAEsin 3=9325sin23-sin02-62-6当2-6=即=3时,SABE取得最大值,最大值为93251故生活区ABE面积的最大值为273100 km【五年高考】考点一正弦定理和余弦定理1.(201

11、8课标,6,5分)在ABC中,cosC2=55,BC=1,AC=5,则AB=(A.42B.30C.29D.25答案A2.(2016天津,3,5分)在ABC中,若AB=13,BC=3,C=120,则AC=()A.1B.2C.3D.4答案A3.(2016课标,8,5分)在ABC中,B=4,BC边上的高等于13BC,则cos A=(A.31010B.1010C.-10答案C4.(2017山东,9,5分)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若ABC为锐角三角形,且满足sin B(1+2cos C)=2sin Acos C+cos Asin C,则下列等式成立的是()A.a=2bB.b=2a

12、C.A=2BD.B=2A答案A5.(2016课标,13,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=45,cos C=513,a=1,则b=答案216.(2018浙江,13,6分)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=7,b=2,A=60,则sin B=,c=.答案2177.(2019浙江,14,6分)在ABC中,ABC=90,AB=4,BC=3,点D在线段AC上.若BDC=45,则BD=,cosABD=.答案12258.(2019课标,17,12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.设(sin B-sin C)2=sin2A-sin Bsi

13、n C.(1)求A;(2)若2a+b=2c,求sin C.解析本题主要考查学生对正弦定理、余弦定理以及三角恒等变换的掌握;考查了学生的运算求解能力;考查的核心素养是逻辑推理与数学运算.(1)由已知得sin2B+sin2C-sin2A=sin Bsin C,故由正弦定理得b2+c2-a2=bc.由余弦定理得cos A=b2+c因为0A180,所以A=60.(2)由(1)知B=120-C,由题设及正弦定理得2sin A+sin(120-C)=2sin C,即62+32cos C+12sin C=2sin C,可得由于0C120,所以sin(C+60)=22故sin C=sin(C+60-60)=s

14、in(C+60)cos 60-cos(C+60)sin 60=6+思路分析(1)先借助正弦定理将角化为边,然后利用余弦定理求出角A的余弦值,进而得出角A.(2)利用正弦定理将已知等式中的边化为角,利用三角恒等变换将原式化为含有角C的正弦、余弦的等式,利用角度变换求出sin C.9.(2018课标,17,12分)在平面四边形ABCD中,ADC=90,A=45,AB=2,BD=5.(1)求cosADB;(2)若DC=22,求BC.解析(1)在ABD中,由正弦定理得BDsinA由题设知,5sin45=2sinADB,所以由题设知,ADB0,所以cos B=2sin B0,从而cos B=25因此si

15、nB+2=cos 考点二解三角形及其综合应用13.(2019课标,15,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若b=6,a=2c,B=3,则ABC的面积为答案6314.(2015课标,16,5分)在平面四边形ABCD中,A=B=C=75,BC=2,则AB的取值范围是.答案(6-2,6+2)15.(2017浙江,14,6分)已知ABC,AB=AC=4,BC=2.点D为AB延长线上一点,BD=2,连接CD,则BDC的面积是,cosBDC=.答案152;16.(2017课标,17,12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知ABC的面积为a2(1)求sin Bsin C;

16、(2)若6cos Bcos C=1,a=3,求ABC的周长.解析本题考查正弦定理、余弦定理以及三角恒等变换,考查学生利用三角形面积公式进行运算求解的能力.(1)由题设得12acsin B=a23sinA,即12由正弦定理得12sin Csin B=sin故sin Bsin C=23(2)由题设及(1)得cos Bcos C-sin Bsin C=-12即cos(B+C)=-12.所以B+C=23,故由题设得12bcsin A=a23sin由余弦定理得b2+c2-bc=9,即(b+c)2-3bc=9,得b+c=33.故ABC的周长为3+33.思路分析(1)首先利用三角形的面积公式可得12acsi

17、n B=a23sinA,然后利用正弦定理,把边转化成角的形式,即可得出sin Bsin C的值;(2)首先利用sin Bsin C的值以及题目中给出的6cos Bcos C=1,结合两角和的余弦公式求出B+C,进而得出A,然后利用三角形的面积公式和a的值求出bc的值,最后利用余弦定理求出b+c的值,进而得出17.(2016课标,17,12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cos C(acos B+bcos A)=c.(1)求C;(2)若c=7,ABC的面积为332,求ABC解析(1)由已知及正弦定理得,2cos C(sin Acos B+sin Bcos A)=sin C

18、,(2分)2cos Csin(A+B)=sin C.故2sin Ccos C=sin C.(4分)可得cos C=12,所以C=3.(6(2)由已知,得12absin C=3又C=3,所以ab=6.(8分由已知及余弦定理得,a2+b2-2abcos C=7.故a2+b2=13,从而(a+b)2=25.a+b=5.(10分)所以ABC的周长为5+7.(12分)18.(2018北京,15,13分)在ABC中,a=7,b=8,cos B=-17(1)求A;(2)求AC边上的高.解析(1)在ABC中,因为cos B=-17,所以sin B=1-co由正弦定理得sin A=asinBb由题设知2B,所以

19、0A2.所以A=(2)在ABC中,因为sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=33所以AC边上的高为asin C=73314=方法总结处理解三角形相关的综合题目时,首先,要掌握正弦定理、余弦定理,其次,结合图形分析哪些边、角是已知的,哪些边、角是未知的,然后将方程转化为只含有边或角的方程,最后通过解方程求出边或角.19.(2018天津,15,13分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bsin A=acosB-(1)求角B的大小;(2)设a=2,c=3,求b和sin(2A-B)的值.解析本小题主要考查同角三角函数的基本关系,两角差的正弦与余

20、弦公式,二倍角的正弦与余弦公式,以及正弦定理、余弦定理等基础知识,考查运算求解能力.(1)在ABC中,由asinA=bsinB,可得bsin又由bsin A=acosB-6,得asin 即sin B=cosB-6,可得tan 又因为B(0,),可得B=3(2)在ABC中,由余弦定理及a=2,c=3,B=3有b2=a2+c2-2accos B=7,故b=7.由bsin A=acosB-6,可得sin 因为ac,故cos A=27因此sin 2A=2sin Acos A=437,cos 2A=2cos2A-1=17.所以,sin(2A-B)=sin 2Acos B-cos 2Asin B=4371

21、2-解题关键(1)利用正弦定理合理转化bsin A=acosB-6是求解第(2)由余弦定理及已知条件求得sin A,利用a0是求解第(2)问的关键.教师专用题组考点一正弦定理和余弦定理1.(2015天津,13,5分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知ABC的面积为315,b-c=2,cos A=-14,则a的值为答案82.(2015广东,11,5分)设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=3,sin B=12,C=6,则b=答案13.(2015重庆,13,5分)在ABC中,B=120,AB=2,A的角平分线AD=3,则AC=.答案64.(2015北京,12,

22、5分)在ABC中,a=4,b=5,c=6,则sin2AsinC答案15.(2016北京,15,13分)在ABC中,a2+c2=b2+2ac.(1)求B的大小;(2)求2cos A+cos C的最大值.解析(1)由余弦定理及题设得cos B=a2+c2-又因为0B,所以B=4(2)由(1)知A+C=34,C=32cos A+cos C=2cos A+cos3=2cos A-22cos A+22sin A=22cos A+22sin因为0A3所以当A=4时,2cos A+cos C取得最大值6.(2015安徽,16,12分)在ABC中,A=34,AB=6,AC=32,点D在BC边上,AD=BD,求

23、AD解析设ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosBAC=(32)2+62-2326cos34=18+36-(-36)=90,所以a=3又由正弦定理得sin B=bsinBACa=由题设知0B4所以cos B=1-sin2B在ABD中,由正弦定理得AD=ABsin=3cosB=7.(2015课标,17,12分)ABC中,D是BC上的点,AD平分BAC,ABD面积是ADC面积的2倍.(1)求sin(2)若AD=1,DC=22,求BD和AC的长解析(1)SABD=12ABADsinSADC=12ACADsin因为SABD=2SADC,BAD=CA

24、D,所以AB=2AC.由正弦定理可得sinBsinC(2)因为SABDSADC=BDDC,所以BD=2.在ABD和ADC中,由余弦定理知AB2=AD2+BD2-2ADBDcosADB,AC2=AD2+DC2-2ADDCcosADC.故AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6.由(1)知AB=2AC,所以AC=1.8.(2011课标,17,12分)已知a,b,c分别为ABC三个内角A,B,C的对边,acos C+3asin C-b-c=0.(1)求A;(2)若a=2,ABC的面积为3,求b,c.解析(1)由acos C+3asin C-b-c=0及正弦定理得sin Acos C+3sin

25、 Asin C-sin B-sin C=0.因为B=-A-C,所以3sin Asin C-cos Asin C-sin C=0.由于sin C0,所以sinA-6又0Ab,a=5,c=6,sin B=35(1)求b和sin A的值;(2)求sin2A+解析本小题主要考查同角三角函数的基本关系,二倍角的正弦、余弦公式,两角和的正弦公式以及正弦定理、余弦定理等基础知识.考查运算求解能力.(1)在ABC中,因为ab,故由sin B=35,可得cos B=45.由已知及余弦定理,有b2=a2+c2-2accos B=13,所以b=由正弦定理asinA=bsinB,得sin A=所以,b的值为13,si

26、n A的值为313(2)由(1)及a0,则B0,又A(0,),故-2所以,B=-(A-B)或B=A-B,因此A=(舍去)或A=2B,所以,A=2B.(2)由S=a24得12absin C=a24,故有sin Bsin C=12sin因sin B0,得sin C=cos B.又B0,2,C(0,),所以当B+C=2时,A=2;当C-B=2时综上,A=2或A=评析本题主要考查三角函数及其变换、正弦定理和三角形面积公式等基础知识,同时考查运算求解能力.14.(2016山东,16,12分)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知2(tan A+tan B)=tanAcosB(1)证明:a+

27、b=2c;(2)求cos C的最小值.解析(1)由题意知2sinAcosA+sin化简得2(sin Acos B+sin Bcos A)=sin A+sin B,即2sin(A+B)=sin A+sin B.因为A+B+C=,所以sin(A+B)=sin(-C)=sin C.从而sin A+sin B=2sin C.由正弦定理得a+b=2c.(2)由(1)知c=a+所以cos C=a2+=38ab+b当且仅当a=b时,等号成立.故cos C的最小值为12评析本题考查了三角恒等变换、正弦定理和余弦定理及基本不等式,综合性较强,重点考查了化归与转化的思想方法,属中档题.15.(2015浙江,16,

28、14分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知A=4,b2-a2=12c(1)求tan C的值;(2)若ABC的面积为3,求b的值.解析(1)由b2-a2=12c2及正弦定理得sin2B-12=12sin2C,所以-cos 又由A=4,即B+C=34,得-cos 2B=sin 2C=2sin Ccos解得tan C=2.(2)由tan C=2,C(0,)得sin C=255,cos C=又因为sin B=sin(A+C)=sin4所以sin B=310由正弦定理得c=22又因为A=4,12bcsin A=3,所以bc=62,评析本题主要考查三角函数及三角恒等变换、正弦定理等基

29、础知识,同时考查运算求解能力.16.(2015陕西,17,12分)ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.向量m=(a,3b)与n=(cos A,sin B)平行.(1)求A;(2)若a=7,b=2,求ABC的面积.解析(1)因为mn,所以asin B-3bcos A=0,由正弦定理,得sin Asin B-3sin Bcos A=0,又sin B0,从而tan A=3,由于0A0,所以c=3.故ABC的面积为12bcsin A=3解法二:由正弦定理,得7sin3从而sin B=217又由ab,知AB,所以cos B=27故sin C=sin(A+B)=sinB=sin Bcos3+c

30、os Bsin3=所以ABC的面积为12absin C=317.(2015湖南,17,12分)设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=btan A,且B为钝角.(1)证明:B-A=2(2)求sin A+sin C的取值范围.解析(1)证明:由a=btan A及正弦定理,得sinAcosA=a所以sin B=cos A,即sin B=sin2又B为钝角,因此2+A2,故B=2(2)由(1)知,C=-(A+B)=-2A+所以A0,于是sin A+sin C=sin A+sin=sin A+cos 2A=-2sin2A+sin A+1=-2sinA-1因为0A4,所以0sin A2因此2

31、2-2sinA-14由此可知sin A+sin C的取值范围是2218.(2015四川,19,12分)如图,A,B,C,D为平面四边形ABCD的四个内角.(1)证明:tanA2=1(2)若A+C=180,AB=6,BC=3,CD=4,AD=5,求tanA2+tanB2+tanC2+tan解析(1)证明:tanA2=sinA2cosA(2)由A+C=180,得C=180-A,D=180-B.由(1),有tanA2+tanB2+tanC=1-cosAsinA+=2sinA+2sin在ABD中,有BD2=AB2+AD2-2ABADcos A,在BCD中,有BD2=BC2+CD2-2BCCDcos C

32、,所以AB2+AD2-2ABADcos A=BC2+CD2+2BCCDcos A.则cos A=AB2+AD于是sin A=1-cos2A连接AC.同理可得cos B=AB2+BC于是sin B=1-cos2B所以,tanA2+tanB2+tanC=2sinA+2sinB=2评析本题主要考查二倍角公式、诱导公式、余弦定理、简单的三角恒等变换等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力,考查化归与转化等数学思想.19.(2013课标,17,12分)如图,在ABC中,ABC=90,AB=3,BC=1,P为ABC内一点,BPC=90.(1)若PB=12,求(2)若APB=150,求tanPBA.解析(

33、1)由已知得PBC=60,所以PBA=30.在PBA中,由余弦定理得PA2=3+14-2312cos 30=74.故(2)设PBA=,由已知得PAB=30-,PB=sin .在PBA中,由正弦定理得3sin150=化简得3cos =4sin .所以tan =34,即tanPBA=3思路分析(1)由已知求出PBA,在PAB中利用余弦定理求解PA;(2)设PBA=,则PAB=30-,在RtPBC中求得PB=sin ,然后在PBA中利用正弦定理求得tan .20.(2013课标,17,12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=bcos C+csin B.(1)求B;(2)若b=2

34、,求ABC面积的最大值.解析(1)由已知及正弦定理得sin A=sin Bcos C+sin Csin B.又A=-(B+C),故sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C.由和C(0,)得sin B=cos B.又B(0,),所以B=4(2)ABC的面积S=12acsin B=2由已知及余弦定理得4=a2+c2-2accos4又a2+c22ac,故ac42-2,当且仅当a=c时因此ABC面积的最大值为2+1.方法总结求三角形面积的最值时,常利用基本不等式求两边之积的最值,从而确定面积的最值.【三年模拟】一、单项选择题(每题5分,共35分)1.(2019北京朝阳综

35、合练习,4)在ABC中,B=6,c=4,cos C=53,则b=(A.33B.3C.32D.答案B2.(2020届黑龙江双鸭山一中开学考,3)在ABC中,a=3,b=5,sin A=13,则sin B=(A.15B.59C.3答案B3.(2019上海嘉定(长宁)二模,16)对于ABC,若存在A1B1C1,满足cosAsin A1=cosBsin B1=cosCsin C1=1,则称A.有一个内角为30B.有一个内角为45C.有一个内角为60D.有一个内角为75答案B4.(2018河北衡水中学4月模拟,11)已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且acos B+3asin B=b+c

36、,b=1,点D是ABC的重心,且AD=73,则ABC的外接圆的半径为(A.1B.2C.3D.4答案A5.(2018山东济宁二模,12)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且acos B-bcos A=23c,则tan(A-B)的最大值为(A.255B.55C.3答案A6.(2019河南六市3月联考,10)在ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c,若2a-cb=cosCcosB,b=4,A.43B.23C.33D.3答案A7.(2019湘东六校3月联考,5)若ABC的三个内角满足6sin A=4sin B=3sin C,则ABC是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形

37、D.以上都有可能答案C二、多项选择题(每题5分,共10分)8.(改编题)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(a+b)(a+c)(b+c)=91011,则下列结论正确的是()A.sin Asin Bsin C=456B.ABC是钝角三角形C.ABC的最大内角是最小内角的2倍D.若c=6,则ABC外接圆的半径为8答案ACD9.(改编题)在ABC中,根据下列条件解三角形,其中有两解的是()A.b=10,A=45,C=70B.b=45,c=48,B=60C.a=14,b=16,A=45D.a=7,b=5,A=80答案BC三、填空题(每题5分,共10分)10.(2019安徽合肥二模,1

38、5)在锐角ABC中,BC=2,sin B+sin C=2sin A,则中线AD的长的取值范围是.答案311.(2020届黑龙江双鸭山一中开学考,15)已知A船在灯塔C的北偏东85方向且A到C的距离为2 km,B船在灯塔C的北偏西65方向且B到C的距离为3 km,则A,B两船的距离为.答案13 km四、解答题(共60分)12.(2020届山东夏季高考模拟,18)在ABC中,A=90,点D在BC边上.在平面ABC内,过D作DFBC且DF=AC.(1)若D为BC的中点,且CDF的面积等于ABC的面积,求ABC;(2)若ABC=45,且BD=3CD,求cosCFB.解析(1)因为CD=BD,所以CD=

39、12由题设知DF=AC,12CDDF=12AB因此CD=AB.所以AB=12BC,因此(2)不妨设AB=1,由题设知BC=2.由BD=3CD得BD=324,CD=由勾股定理得CF=324,BF=由余弦定理得cosCFB=98+1713.(2020届山东济宁二中10月月考,19)在ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,已知cos 2A-3cos(B+C)=1.(1)求角A的大小;(2)若a=21,b+c=9,求ABC的面积.解析(1)在ABC中,cos(B+C)=cos(-A)=-cos A,则由cos 2A-3cos(B+C)=1,得2cos2A+3cos A-2=0,即(2cos A-1)(cos A+2)=0,解得cos A=12或cos A=-2(舍去0A0,若函数f(x)=mn的最小正周期为.(1)求的值;(2)在ABC