新高考版数学高中总复习专题8.2空间点、线、面的位置关系(讲解练)教学讲练

1、. 空间点、线、面的位置关系高考数学考点空间点、线、面的位置关系1.平面的基本性质考点清单名称图形文字语言符号语言用途公理1如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内Al,Bl,且A,Bl证明“点在面内”或“线在面内”公理2过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面A,B,C不共线有且只有一个平面,使得A,B,C(1)确定一个平面;(2)判断两个平面重合;(3)证明点、线共面公理3如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线P,且P=l,且Pl(1)证明“三点共线”“三线共点”;(2)确定两平面的交线公理4平行于同一条直线的两条直线平行若直线ab,bc,则

2、ac判断直线平行说明公理2的推论推论1经过一条直线和直线外一点,有且只有一个平面.推论2经过两条相交直线,有且只有一个平面.推论3经过两条平行直线,有且只有一个平面.2.空间两直线间的位置关系3.直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系有且只有以下三种:位置关系共面情况公共点个数相交在同一平面内有且只有一个平行在同一平面内零个异面不同在任何一个平面内零个位置关系图形表示符号表示公共点直线a在平面内a有无数个公共点直线a与平面相交a=A有且只有一个公共点直线a与平面平行a没有公共点说明直线l和平面相交、直线l和平面平行统称为直线l在平面外,记作l.4.两个平面的位置关系两个平面之间的位置关系有且

3、只有以下两种:位置关系图形表示符号表示公共点平面与平面平行没有公共点平面与平面相交=l有一条公共直线注意(1)如果一个平面内有一条直线与另一个平面平行,那么这两个平面不一定平行;(2)即使一个平面内有无数条直线都与另一个平面平行,也不能推出这两个平面平行.5.异面直线(1)定义:所谓异面直线是指不同在任何一个平面内的两条直线.其含义是不存在这样的平面,能同时经过这两条直线.其符号表示为:不存在平面,使得a且b.当然也可以这样理解:ab=且a、b不平行.(2)性质:两条异面直线既不相交也不平行.6.异面直线所成的角如图,直线a,b是异面直线,经过空间任一点O分别作直线aa,bb,相交直线a,b所

4、成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).特别地,当两条异面直线所成的角是直角时,称这两条异面直线互相垂直.注意异面直线所成的角的范围是,所以空间两直线垂直有两种情况异面垂直和相交垂直.考法一平面的基本性质及应用知能拓展例1已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为D1C1,C1B1的中点,ACBD=P,A1C1EF=Q.求证:(1)D,B,F,E四点共面;(2)若A1C交平面DBFE于R点,则P,Q,R三点共线.解题导引 证明如图.(1)连接B1D1,由已知得EF是D1B1C1的中位线,EFB1D1.在正方体AC1中,B1D1BD,EFBD.EF,BD确定一个平面,即

5、D,B,F,E四点共面.(2)正方体AC1中,设平面A1ACC1确定的平面为,平面BDEF确定的平面为.QA1C1,Q.又QEF,Q,故Q是与的公共点.同理P是与的公共点,=PQ.又A1C=R,RA1C.R,且R,则RPQ.故P,Q,R三点共线.方法总结1.证明点共线问题的方法:(1)公理法:先找出两个平面,然后证明这些点都是这两个平面的公共点,再根据公理3证明这些点都在交线上.(2)同一法:选择其中两点确定一条直线,然后证明其余点也在该直线上.2.证明线共点问题的方法:先证两条直线交于一点,再证明第三条直线经过该点.3.证明点、直线共面问题的方法:(1)纳入平面法:先确定一个平面,再证明有关

6、点、线在此平面内.(2)辅助平面法:先证明部分点、线确定平面,再证明其余元素确定平面,最后证明平面,重合.考法二求异面直线所成角的方法例2(1)已知四棱锥P-ABCD的侧棱长与底面边长都相等,点E是PB的中点,则异面直线AE与PD所成角的余弦值为()A.B.C.D.(2)(2018四川泸州模拟,7)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为BC的中点,F为B1C1的中点,则异面直线AF与C1E所成角的正切值为()A.B.C.D. 解析(1)设棱长都为1,连接AC,BD交于点O,连接OE.所有棱长都相等,四边形ABCD是正方形,O是BD的中点,又E为PB的中点,OEPD,AEO(或其补角)为异面

7、直线AE与PD所成的角.又OE=PD=,AE=AB=,OA=AC=,在OAE中,由余弦定理得cosAEO=.即异面直线AE与PD所成角的余弦值为.(2)以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为2,可得A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),B1(2,2,2),C1(0,2,2),由E,F分别为BC,B1C1的中点,得E(1,2,0),F(1,2,2),则=(-1,2,2),=(1,0,-2),则cos=-,故异面直线AF与C1E所成角的余弦值为,则异面直线AF与C1E所成角的正弦值为=,可得异面直线AF与C1E所成角的正切值为,故选C.