新高考版数学高中总复习专题6.4数列求和、数列的综合应用(讲解练)教学讲练

1、. 数列求和、数列的综合应用高考数学考点一数列求和1.公式法(1)直接用等差、等比数列的求和公式求解.(2)掌握一些常见的数列的前n项和公式:1+2+3+n=;2+4+6+2n=n2+n;1+3+5+(2n-1)=n2;12+22+32+n2=;13+23+33+n3=.考点清单如果一个数列an,与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数,那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法.3.错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么这个数列的前n项和即可用此法来求.4.裂项相消法把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和.常

2、见的拆项公式:(1)=-;2.倒序相加法(2)=;(3)=-.5.分组求和法有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,即先分别求和,再合并,形如:(1)an+bn,其中(2)an= 考点二数列的综合应用1.解答数列应用题的基本步骤(1)审题仔细阅读材料,认真理解题意;(2)建模将已知条件翻译成数学(数列)语言,将实际问题转化成数学问题,弄清该数列的特征以及要求什么;(3)求解求出该问题的数学解;(4)还原将所求结果还原到实际问题中.2.数列应用题常见模型(1)等差模型:如果增加(或减少)的量是一个固定值,那么该模型是等差模型,增加(或减

3、少)的量就是公差.其一般形式是an+1-an=d(常数).(2)等比模型:如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数,那么该模型是等比模型,这个固定的数就是公比.其一般形式是=q(q为常数,且q）(3)混合模型:在一个问题中同时涉及等比数列和等差数列的模型.(4)生长模型:如果某一个量,每一期以一个固定的百分数增加(或减少),同时又以一个固定的具体量增加(或减少),称该模型为生长模型,如分期付款问题,树木的生长与砍伐问题等.如设贷款总额为a,年利率为r,等额还款数为b,分n期还完,则b=a.(5)递推模型:如果容易推导该数列任意一项an与它的前一项an-1(n2)(或前几项)间的递推关系式,那么

4、我们可以用数列的知识求解.考法一错位相减法求和知能拓展例1(2018河南、河北两省联考,18)已知数列an的前n项和为Sn,a1=5,nSn+1-(n+1)Sn=n2+n.(1)求证:数列为等差数列;(2)令bn=2nan,求数列bn的前n项和Tn.解题导引 解析(1)证明:由nSn+1-(n+1)Sn=n2+n得-=1,又=5,所以数列是首项为5,公差为1的等差数列.(2)由(1)可知=5+(n-1)=n+4,所以Sn=n2+4n.当n2时,an=Sn-Sn-1=n2+4n-(n-1)2-4(n-1)=2n+3.又a1=5符合上式,所以an=2n+3(nN*),所以bn=(2n+3)2n,所

5、以Tn=52+722+923+(2n+3)2n,2Tn=522+723+924+(2n+1)2n+(2n+3)2n+1,所以-得Tn=(2n+3)2n+1-10-(23+24+2n+1)=(2n+3)2n+1-10-=(2n+3)2n+1-10-(2n+2-8)=(2n+1)2n+1-2.方法总结1.如果数列an是等差数列,bn是等比数列,求数列anbn的前n项和时,常采用错位相减法.2.用错位相减法求和时,应注意:(1)要善于识别题目类型,特别是等比数列的公比为负数的情形.(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”,以便于下一步准确地写出“Sn-qSn”的表达式.

6、(3)应用等比数列求和公式必须注意公比q是否等于1,如果q=1,应用公式Sn=na1.考法二裂项相消法求和例2已知数列an的前n项和为Sn,且a2=8,Sn=-n-1.(1)求数列an的通项公式;(2)求数列的前n项和Tn.解题导引 解析(1)a2=8,Sn=-n-1,a1=S1=-2=2.n2时,an=Sn-Sn-1=-n-1-,即an+1=3an+2,an+1+1=3(an+1),又a2+1=9,3(a1+1)=33=9,数列an+1是等比数列,且a1+1=3,公比为3,an+1=33n-1=3n,an=3n-1.(2)=-,数列的前n项和Tn=+=-.例(2020届河北邯郸大名一中周测,

7、10)“垛积术”(隙积术)是由北宋科学家沈括在梦溪笔谈中首创,南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法,有茭草垛、方垛、刍童垛、三角垛,等等.某仓库中部分货物堆放成如图所示的“茭草垛”:自上而下,第一层1件,以后每一层比上一层多1件,最后一层是n件.已知第一层货物单价为1万元,从第二层起,货物的单价是上一层单价的.若这堆货物的总价是万元,则n的值为()实践探究A.7B.8C.9D.10解题导引由题意,第一层货物的总价为1万元,第二层货物的总价为2万元,第三层货物的总价为3万元,第n层货物的总价为n万元,可设这堆货物的总价为W万元,从而可得到W=1+2+3+n,利用错位相减法

8、可求出W的表达式,结合W=100-200可求出答案.解析由题意,得第n层货物的总价为n万元,设这堆货物的总价为W万元,则W=1+2+3+n,W=1+2+3+n,两式相减得W=-n+1+=-n+=-n+10-10,则W=-10n+100-100=100-200,解得n=10,故选D.解析由题意,得第n层货物的总价为n万元,设这堆货物的总价为W万元,则W=1+2+3+n,W=1+2+3+n,两式相减得W=-n+1+=-n+=-n+10-10,则W=-10n+100-100=100-200,解得n=10,故选D.答案D方法总结(1)本题以数学文化为背景考查数列求和,考查数学建模、数学抽象、数学运算的核心素养.(2)认真阅读题意,理解数量关系;建立相应的数学模型;求解数学模型,得出数学结论.例设函数f(x)=x+,O为坐标原点,An为函数y=f(x)图象上横坐标为n(nN*)的点,向量与向量i=(1,0)的夹角为n,则满足:tan 1+tan 2+tan 3+tan n的最大整数n的值为.创新思维解析由题意可得An,