新高考版数学高中总复习专题专题十二数系的扩充与复数的引入(讲解练)教学讲练

1、专题十二 数系的扩充与复数的引入 高考数学考点一复数的概念及几何意义1.复数的有关概念考点清单内容意义备注复数的概念形如a+bi(aR,bR)的数叫做复数,其中实部为a,虚部为b若b=0,则a+bi为实数;若a=0且b0,则a+bi为纯虚数复数相等a+bi=c+dia=c且b=d(a,b,c,dR) 共轭复数a+bi与c+di共轭a=c且b=-d(a,b,c,dR) 复平面建立平面直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x轴叫实轴,y轴叫虚轴实轴上的点都表示实数;除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数,各象限内的点都表示虚数复数的模设对应的复数为z=a+bi,则向量的长度叫做复数z=a+bi的模,其

2、中a,bR|z|=|a+bi|=(a,bR)2.复数的几何意义复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的,复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是一一对应的.其中a,bR.考点二复数的运算1.复数的加、减、乘、除运算法则设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dR),则(1)加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;(2)减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i;(3)乘法:z1z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i;(4)除法:=+i(c+di0).2.复数加法的运算律复数的加法

3、满足交换律、结合律,即对任何z1,z2,z3C,有z1+z2=z2+z1,(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).3.复数加、减法的几何意义(1)复数加法的几何意义若复数z1、z2对应的向量、不共线,则复数z1+z2是以、为两邻边的平行四边形的对角线所对应的复数.(2)复数减法的几何意义复数z1-z2是-=所对应的复数.考法一复数有关概念的解题方法知能拓展例1(1)(2019河北唐山模拟,3)若z=(m2+m-6)+(m-2)i为纯虚数,则实数m的值为()A.-2B.2C.3D.-3(2)(2017天津,9,5分)已知aR,i为虚数单位,若为实数,则a的值为.解析(1)z=(m2+m-6)

4、+(m-2)i为纯虚数,解得m=-3,故选D.(2)解法一:因为=为实数,所以-=0,解得a=-2.解法二:令=t(tR),则a-i=t(2+i)=2t+ti,所以解得a=-2.答案(1)D(2)-2方法总结1.解决与复数的基本概念和性质有关的问题时,应注意复数和实数的区别与联系,把复数问题实数化是解决复数问题的关键.2.复数的分类及所对应的点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件的问题,只需把复数化为a+bi(a,bR)的形式,列出实部和虚部满足的关系式即可.3.解题时一定要先看复数是不是a+bi(a,bR)的形式,以确定实部和虚部.例2(1)(2019安徽马鞍山二模,3)已知

5、复数z=(i为虚数单位),则|z|=()A.B.2C.D.(2)(2019湖北武汉模拟,3)设复数z满足=i,则z=()A.+iB.-iC.-+iD.-i(3)(2019甘肃、青海、宁夏3月联考)在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限考法二复数四则运算问题的解法解析(1)z=-+i,|z|=.故选A.(2)由=i,得1+2z=i-iz,z=-+i.故选C.(3)=-4+3i.该复数在复平面内对应的点为(-4,3),此点在第二象限,故选B.答案(1)A(2)C(3)B方法总结1.复数的乘法复数的乘法类似于多项式的乘法,可将含有虚数单位i的看作一类同类项,不含i的看作另一类同类项,分别合并即可.2.复数的除法除法的关键是分子、分母同乘分母的共轭复数,解题中要注意把i的幂写成最简形式.