行列式的性质与计算

1、对角线法则1 二阶与三阶行列式的计算知识回顾3 n阶行列式的定义.2 计算排列逆序数.4 三角行列式的计算.1上（下）三角行列式次三角行列式2 1.2、1.3 行列式的性质、行列式按行（列）展开31.2 行列式的性质一、行列式的性质二、应用举例三、小结4一、行列式的性质行列式 称为行列式 的转置行列式. 1、记2、性质1 行列式与它的转置行列式相等 （行列互换，行列式不变)53、性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号.以 表示行列式的第i行，以 表示第i列.交换i，j两行记作 , 交换i，j两列记作 4、推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.证明互换相同的两行，有 6第i行

2、(或列)提出公因子k 记作rik(或cik) 性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数 ，等于用数 乘以此行列式.6、推论1行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面5、77、推论2行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零证明88、性质4若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和.则D等于下列两个行列式之和：例如99、性质5把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变例如以数k乘第j行(列)加到第i行(列)上 记作rikrj (cikcj) 10二、应用举例计算行列式常用方法：利用运算把行列式化为上三角形行列式，

3、从而算得行列式的值 3 1 215 14 3 2 01 1 153 3 例1 计算 11 214 31 13 3 1 3 21 1 3 21 016 72 0 1 2 31 2 11 0 010 8 0 1 2 31 2 11 0 21 1 1 1 05 3 1 215 14 3 2 01 1 153 3 例1 计算 解 3 1 215 14 3 2 01 1 153 3 35 2 1c1c2 r2r1r45r1 0 08166 4 0 21 1 72 086 4r2r3 0 010 8 0 01510 r34r2r48r2 0 05/2 040 126 1 1 1 1 例2 计算 3 1 1

4、 1 1 3 1 1 1 1 1 3 1 1 3 1 3 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 3 1 1 3 1 解 c1c2c3c4 6 6 6 6 1 3 1 1 1 1 1 3 1 1 3 16 c16 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 3 1 1 3 1r2r1r4r1r3r1 0 2 0 0 0 0 0 2 0 0 2 06848 13 对D1作运算rikrj 把D1化为下三角形行列式 设为 证 例3 证明DD1D2 其中 对D2作运算cikcj 把D2化为下三角形行列式 设为 于是 对D的前k行作运算rikrj 再对后n列作运算cikcj 把D化为下三角形行列式 故D

5、p11 pkk q11 qnnD1D2 14 (行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立). 计算行列式常用方法：(1)利用定义;(2)利用性质把行列式化为三角形行列式，从而算得行列式的值三、小结行列式的5个性质151.3 行列式按行（列）展开一、余子式与代数余子式二、行列式按行（列）展开法则三、关于代数余子式的重要性质四、小结16例如一、余子式与代数余子式17在 阶行列式中，把元素 所在的第 行和第 列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素 的余子式，记作叫做元素 的代数余子式例如18定理3 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即二、行列

6、式按行（列）展开法则19引理 一个 阶行列式D，如果其中第 行（列）所有元素除 外都为零，那么该行列式等于 与它的代数余子式的乘积，即 = 020得再看一般情形，此时21中的余子式22定理3 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即证23推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即证或24考虑行列式相同仅有第 j 行不同，因此 的第j 行元素的代数余子式与 D 的第j 行对应元素的代数余子式相同.按第 j 行展开即得将25上述证法如按列进行，即可得 由于 中有两行相同综合上述定理及推论，得代数余子式的重要性质26例1 计算行列式解27例2 直接利用定理未必简化计算，因为把一个n 阶行列式的计算化成n 个(n-1)阶行列式的计算并不减少工作量，但是，当行列式中某一行（列）含有较多零时，定理便显出了优势。 注意：28同类因式的乘积例3 (P.17)用数学归纳法证关于范德蒙行列式注意两点形式 按升幂排列，形成等比数列；结果 共 n (n-1) / 2 项的乘积, 可正可负可为零.对于范德蒙行列式,我们的任务就是：利用它计算行列式 因此要牢记范德蒙行列式的形式和结果.你能识别出范德蒙行列式吗？你会用范德蒙行列式的结果做题吗？29)(1jinijaa-P一般地?范德蒙行列式有几种形式?)(1jinija