机械工程测试技术2.5信号分析基础

1、华中科技大学机械学院第二章、信号分析基础华中科技大学机械学院信号的相关分析相关系数与相关函数1 相关系数（变量相关）研究信号之间的相似性。两个信号x(t)和y(t)的波形完全相同，则有：t)y(t为常系数11TT2Tx(t) ay(t)dt22dPddadPdda1T 1T12t)t)y(t)dt0T1T1t)y(taT1T1y( t2T华中科技大学机械学院Pd的大小随a值变化，调整a选择参数a使最小，则应满足：华中科技大学机械学院P1 / T x( t ) y( t )1 / T华中科技大学机械学院 1 / 华中科技大学机械学院x( t) y()dt 2 dtminT 1/ T1 / T 1

2、 / y 2 ()dt1T其中：1 / T 1 / x2xy1/Txy2xy 1/t t 11/Tx2(1/)dt.y2(2xy11/T1/Txy1称为相关系数为华中科技大学机械学院第二章、信号分析基础华中科技大学机械学院2.5 信号的相关分析统计学中，两随机变量之积的数学期望，称为相关性（相关系数），表征了x、y之间的关联程度。xyyxyy )华中科技大学机械学院yx华中科技大学机械学院yxxy 1yxxy 1yyxx0 xy 1xy 0华中科技大学机械学院2 相关函数（波形变量相关）华中科技大学机械学院研究信号时延后的相似程度（性）即相关系数是关于时延的函数。如果所研究的变量x, y是与时

3、间有关的函数，即x(t) 与y(t)：x(t)y(t)华中科技大学机械学院这时可以引入一个与时间有关的量，称为函数的相关系数，简称相关函数，并有：华中科技大学机械学院1 / T( )1/x(t )y(t)dtxy1 /T/Tx2( 1 / T)dt/y2 ( t )dt 1/ 2相关函数反映了二个信号在时移中的相关性。x(t)y(t)y(t)(t)yy(t)y(t)y(t)(t)( )1 / T/x(t )y(t)dtxy1 /T/Tx2( 1 / T)dt/y2(t )dt1/分母为常量为描述方便，设x(t)和y(t)函数定义为：华中科技大学机械学院Ryx ()华中科技大学机械学院Ryx (

4、) x(t )y(t x(t )y(t dt) y()x( t )d华中科技大学机械学院当 t华中科技大学机械学院y( t时，称为自相关函数：Rx ()Rx () x(t )x(t x(t )x(t dtRxy ) xt)yt )dt x(t )yt)dtRyx ) xt )yt)dt xt)yt )dt和y(t)均为实功率信号的情况下(即共轭为信号本身)：Rx Rx ) xt)xt )dt xt)xt )dtR) lim 1 T2xyT TT 2x(t)y(t )dt lim 1 T 2T TT 2x(t )y(t)dt华中科技大学机械学院此时的自相关为：华中科技大学机械学院如果信号不是能量

5、信号，那么上式中的积分将趋于无穷，因而这两个式子的定义将失去意义。但如果信号是功率信号， 我们可以定义它们之间的相关函数。华中科技大学机械学院R华中科技大学机械学院R) lim 1 T2yxT TT 2y(t)x(t )dt lim 1 T 2T TT 2y(t )x(t)dtRx ) lim1T TT2T 2x(t)x(t )dt lim 1 T 2T TT 2x(t)x(t )dt自相关函数有华中科技大学机械学院特别地，如果两个信号为周期信号，且它们的周期分别为T1和T2，且一个周期是另外一个周期的整数倍，不妨设华中科技大学机械学院(m N那么它们之间的互相关函数可以求得为RR) 1xyT

6、2T2x(t)y(t )dt 1T2T2x(t )y(t)dtR) 1yxT2Ty(t)x(t )dt 12T2T2y(t )x(t)dtR) 1xT2T2x(t)x(t )dt 1T2Tx(t)x(t )dt2自相关函数 可用积分区间2 或代替T 2022华中科技大学机械学院相关函数的性质华中科技大学机械学院相关函数描述了两个信号间或信号自身不同时（1）自相关函数是的偶函数，RX()=Rx(-)；（2）互相关函数为非奇非偶函数，但满足下式Rxy) Ryx)（3）当 =0 时，自相关函数具有最大值。华中科技大学机械学院（4）周期信号的自相关函数仍然是同频率的周期信号，但不保留原信号的相位信息。

7、华中科技大学机械学院（5）随机噪声信号的自相关函数将随的增大速衰减。（7）两个非同频率的周期信号互不相关。华中科技大学机械学院例求正弦信华中科技大学机械学院Asin(0的自相关函数1Rx 1Rx TT1T2T2x tx t dtT02T02A0t20t0Rx2TA2T02T02cos 0 0t 002T02co0t dt 0此处其中)sincos cossinRxRxA2T02T02A20dt 200华中科技大学机械学院最后得华中科技大学机械学院正弦信号自相关实验正弦信号自相关实验正弦信号与带有噪音的正弦信号自相关实验正弦信号与带有噪音的正弦信号自相关实验华中科技大学机械学院随机信号的相关函数

8、与其频谱的关系华中科技大学机械学院对于平稳随机信号，自相关函数Rx()是时域描述的重要 统计特征，而功率谱密度函数Sx(f)统计特征。Rx()与Sx(f)有着密切的关系。Rx()与自功率谱密度函数Sx(f)构成 了一对傅里叶变换对。Rx ) Sxxxj 2fdfSflim1XSflim1Xf2xT TTR)ej2fd华中科技大学机械学院2.5.3 随机信号的相关函数与其频谱的关系华中科技大学机械学院F R( ) limT2 t )x( t )dtej2f,x T T2变量替换，不影响积分结果 lim 1 t)t)e j 2f d dtT T lim 1 t)xt)ej2f(t )d( t )e

9、 j 2ftdtT Tlim 1 t)ej2ftdt )ej2ftdtT T lim 1 X( ) X( f X( ) X*( f) 对于实信号x( t )T T lim 1 X( )X*( f )T T lim 1X( f )2T T Sx( f )华中科技大学机械学院随机信号的相关函数与其频谱的关系华中科技大学机械学院Sxf Rx)e j 2f dRx ) Sxj 2fdf称为维纳-辛钦（Wiener-X）定理，维纳-辛钦定理揭示了平稳随机信号时域统计特征与其频域统计特征之间的内在联系，是分析随机信号的重要公式。由于Sx(f)和Rx()之间是傅里叶变换对的关系，二者唯一对应，Sx(f)中包

10、含着Rx()的全部信息。因为Rx()为实 偶函数，Sx(f)亦为实偶函数。华中科技大学机械学院互谱密度函数Sxy(f)和互相关函数Ryx()也构成一对傅立叶变换对华中科技大学机械学院SxyfRyx)e j 2f dRyx) Sxye j 2f df华中科技大学机械学院例：求周期余弦的功率谱S()华中科技大学机械学院和自相关)f (t)tE1F) E 2 S()211f (t) f (t) Ecos1t E (e j1t e j1t )2S( ) Cn2n(n)1 ) E 22(1 )(1)2 1 2S(jEejejE2421欣定理)华中科技大学机械学院相关函数的应用华中科技大学机械学院X(t)

11、Y(t)Rxyt0X(t)地下输油管道漏损位置的探测Y(t)L X VV t0油X油X 0.5*LV*t0XL传感器微血管红血球的流速测量传感器1(t)0tx2 (t)L2传感器)传感器00tt0 t2 华中科技大学机械学院0v华中科技大学机械学院0vLt t21华中科技大学机械学院案例：机械加工表面粗糙度自相关分析华中科技大学机械学院 被测工件相关分析 性质3,性质4:性质3,性质4:提取出回转误差等周期性的故障源。2.4 2.4 信号的时差域相关分析理想信号华中科技大学机械学院案例：自相关测转速理想信号华中科技大学机械学院实测信号自相关系数实测信号自相关系数干扰信号干扰信号性质3，性质4：性质3，性质4：提取周期性转速成分。脉冲器脉冲器L漏电)(t)x2 (t) T1T2华中科技大学机械学院互相关法用于长电力传输线的故障检测华中科技大学机械学院RR(T1)