北京大学 真题量子力学

1、 8/8北京大学 真题量子力学 北京大学20032012学年 量子力学 考研真题 与原子物理试题答案 可能会有用的公式： 薛定谔方程： ?H i t ?=? 一维定态薛定谔方程：()()()2 2 2 2d V x x E x m dx ?-+= ? 动量算符： ?p i x ?=? 高斯积分： 2 x e dx - = ? 一。30分一维无限深方势阱： 质量为 m 的粒子在一维无限深方势阱中运动，势阱可表示为： ()()0;0,;0,x a V x x x a ?=? 1。10分求解能量本征值 n E 和归一化的本征函数()n x ； 2。5分若已知 0t =时，该粒子状态为：() 12,0

2、()()x x x = +，求t 时刻该粒子的波函数； 3。5分求 t 时刻测量到粒子的能量分别为1E 和2E 的几率是多少？ 4。10分求t 时刻粒子的平均能量E 和平均位置x 。 解：1）10分 222 22n n n x a n E ma ?=? ?=? 2）5分 ()(),n iE t n n x t x e - = 时刻的波函数：( )1212,()()iE t iE t x t x e x e -? ?=+? 3）5分 t 时刻测量到粒子的能量为1E 的几率是：()() 2 11 ,2 x t x t = 时刻测量到粒子的能量为2E 的几率是：()() 2 21,2 x t x t

3、 = 4）10分 平均能量：()()()()22122 5?,24E E E x t E x t x t i x t t ma +?=? 平均位置： ()()()12216,cos 29E E t a a x x t x x t -?= - ? 二。30分一维线性谐振子： 质量为m 的粒子在一维线性谐振子势：22 ()2 m x V x = 中运动。按占有数表象，哈密顿可写为： ( ) ? 12 H a a =+ 。这里 ?a 是湮灭算符， ? ?a 是产生算符： ?i a x p m i a x p m ?=+? ? ? ?=-? 已知一维线性谐振子基态波函数为： 1。10分利用产生算符性质

4、： ()()?01?a x x =，求线性谐振子第一激发态在坐标表象下的波函数：()1x ；（()1 2 42 0m x m x e -?= ? ） 2。10分假设粒子处在基态()0 x ，突然改变一维线性谐振子的“振动频率”为2=，粒子新的基态能是多少？新的基态波函数是 什么？ 3。10分假设这时粒子波函数仍然保持不变（()1 2 42 m x m x e -?= ? ），此时测量粒子能量，发现粒子能量取新的基态能的几率是多 少？ 解：1）10分 ()( )12 4?2 10m x i m x a x x p e m -?= -? ? 利用：,d x x p i dx =，( )2202x

5、x ?=-? ，其中： =()( ) )22? 101/42221/ 422223/222222 3/2 1/4 exp 21exp 222exp 22ex i d x x a x x m i dx d x x dx x x x x x x ?=-? ?= - ? ? ?=-?=-+-?= ()220p 2x x x ? -=? ? 2）10分 新基态能： 2 E = 新基态波函数：()1 1 2 2 4 42 02m x m x m m x e e - -? ?= ? ? ? 3）10分 测量粒子能量取新基态能的几率： ()2 2 1/0 20.94283w x ?= ? 三。40分两电子波

6、函数： 考虑两个电子组成的系统。它们空间部分波函数在交换电子空间部分坐标时可以是对称的或是反对称的。由于电子是费米子，整体波函数在交换全部坐标变量（包括空间部分和自旋部分）时必须是反对称的。 1。15分假设空间部分波函数是反对称的，求对应自旋部分波函数。总自旋算符定义为： 12S s s =+。求：2S 和z S 的本征值； 2。15分假设空间部分波函数是对称的，求对应自旋部分波函数， 2S 和z S 的本征值； 3。10分假设两电子系统哈密顿量为：12H Js s =?，分别针对（1）（2）两种情形，求系统的能量。 解：1）15分自旋三重态（spin triplet） 空间部分波函数是反对称

7、的，自旋部分应对称： ) s ? ? ? = ? ? + 对应总自旋平方 2 S本征值为：2 2 对应总自旋第三分量z S本征值分别为：,0 - 2）15分自旋单态（spin singlet） 空间部分波函数是对称的，自旋部分应反对称：) A =- 对应总自旋平方 2 S本征值为：0 对应总自旋第三分量z S本征值分别为：0 3）10分 哈密顿：12 H Js s =?，利用： 222 12 122 S s s s s - ?= 针对自旋三重态： 22 2 12 3 22 4 24 s s -? ?=，对应能量：2 4 T J E= 针对自旋单态： 2 2 12 3 023 4 24 s s

8、-? ?=-，对应能量：2 3 4 S J E=- 七 夕，只因有你， 总有一些人牵肠挂肚难以忘记， 总有一些日子温暖甜蜜最为珍惜 从春夏到秋冬，从陌生到熟悉， 虽不能时时联系，却总在特别的日子想起你， 七夕快乐，我的朋友。 七夕，只因有你， 因为有你，再苦生活也不觉得累， 再大的险阻也无所畏， 再大的波折也不担忧， 再痛的经历也会忘记， 因为有你，我就拥有了整个世界， 谢谢你出现在我的生命里。 七夕快乐，我的朋友。 七夕，只因有你， 相识，是最珍贵的缘分， 牵挂，是最真挚的心动， 思念，是最美丽的心情， 问候，是最动听的语言， 在这七夕到来之际，最美的祝福送给你，七夕快乐，我的朋友。 七夕，

9、只因有你， 雨点轻敲窗，风吹散了梦想， 唯有你的模样依旧在脑海里徜徉， 夜深人静时，你占满了心房， 舍半生轻狂，半世时光， 只为拥有一段和你相处的珍贵情缘， 七夕快乐，我的朋友。 七夕，只因有你， 虽然相距很远，但两颗心却紧紧相连 虽然不常见面，音容笑貌犹如眼前， 悄悄的挟一缕情丝，放飞在炎炎夏日 默默的拽一丝牵挂，悬挂在无垠宇宙静静的捎一声问候，盛开在七夕佳节七夕快乐，我的朋友。 七夕，只因有你， 祝福，是一种真实的心意， 是一种甘甜的快乐， 是一种浪漫的味道， 是一种温馨的记忆， 是一种美丽的幸福， 更是我们情谊永远不变的纽带， 七夕快乐，我的朋友。 七夕，只因有你， 爱是种体会，即使心碎也觉得