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1、探析最短路径问题优秀获奖科研论文 在中考数学试卷中常常出现求几条线段之和最小值的试题.这类试题通过考查点在直线上运动时与它相关线段和的最值情况，不但能了解学生综合运用数学知识解题能力，而且还能通过让学生对 “动”与“定”之间的关系的思考，深入了解学生的探索能力与识别能力，这对指导初中数学教师的教学及引导学生的学习有着重要的意义. 现特对求线段和最小值的几种题型进行分析、归纳. 一、两点在一条直线异侧 图1 例1如图1，已知A、B在直线l的两侧，在l上求一点P，使得PA+PB最小. 解：连接AB，线段AB与直线l的交点P，就是所求.（根据两点之间线段最短） 二、两点在一条直线同侧 例2如图2，要

2、在街道旁修建一个奶站C，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短. 图2图3 解：只有A、C、B在同一直线上时，才能使AC+BC最小.作点A关于直线“街道”的对称点A，然后连接AB，交“街道”于点C，则点C就是所求的点.如图3.因为点A关于直线“街道”的对称点A，所以AC=AC.所以AC+BC=AC+BC，由三角形三边关系可知，AC+BCAB，所以当点C移到点C时，AC+BC=AC+BC= AC+BC=AB. 故此时AC+BC最小. 三、一点在两相交直线内部 例3如图4，已知A是锐角MON内部任意一点，在MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使

3、三角形周长最小. 图4图5 解：如图5，分别作点A关于OM，ON的对称点A，A；连接A，A，分别交OM，ON于点B、点C，则点B、点C即为所求.因为AB= AB、AC= AC，所以当AB、BC和AC三条线段在一条直线上时，三条边AB、BC和AC的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长最小. 图6 例4如图6，A、B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直） 解：将点B沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E；连接AE交河对岸与点M，则点M为建桥的位置，MN即为所建的桥.由平移的性质，得BNEM且BN=EM，

4、MN=CD，BDCE，BD=CE，所以A、B两地的距离为：AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN.若桥的位置建在CD处，连接AC、CD、DB、CE，则AB两地的距离为AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN.在ACE中，因为AC+CEAE ，所以AC+CE+MNAE+MN，即AC+CD+DBAM+MN+BN.所以桥的位置建在CD处，AB两地的路程最短. 四、求圆上动点与定点的距离最小的方案设计 在此问题中，可根据圆上最远点与最近点和点的关系可得到最优设计方案. 例5一点到圆上的点的最大距离为9，最短距离为1，则圆的半径为多少？ 图7图8 解：如图7，当点A在圆外，则最小距离AB=1，最大距离AC=AB+2R=9，所以R=4.如图8，当点A在圆内，则最小距离AB=1，最大距离AC=2R-AB=9

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