《函数的基本性质第一课时》示范公开课教学设计【高中数学人教版】

1、函数基性质（一时教设计 教学目能在用自然语言、图象语言描述函数单调性的基础上，用符号语言刻画函数的单 性，提升直观想象素养和数学抽象素养对简单函数，能根据解析式求出函数的单调区间；能根据单调性的定义证明简单数的单调性提升数学逻辑推理养能函数单调性的证明转化为程序化的运算问题提 升数学运算素养体会函数图象是究函数性质的一种重要工具从数的图象中发现函数的性， 并在这个过程中能进行直观与抽象的转化 教学重点教重：数单调性的概念、判断及证明教难函数值随自变量的增大而增大（减小为符号化的不等式语言 课前准用软件制作动画 件 教学过一 整体览问 1阅读本第 页节引言的内容，回答下列问题：（1为什么要研究函

2、数的性质？（2什么叫函数的性质？（3函数的性质主要有哪些？（4如何发现函数的性质？师活：生带着问题阅读课本，老师指导学生概括节引言的内容预的案（1通过研究函数的变化规律来把握客观世界中事物的变化规律；2变化中的不变性就是性质，变化中的规律性也是性质；3比如随着自变量的增大函数值是增大还是减小，有没有最大值或最小值，函数图象的对称性等；）先画出函数图象， 通过观察和分析图象的特征，可以发现函数的一些性质设意：确研究对象，初步构建研究框架二问导问 2：察图 图 图 3 中函数图象你能说说图 与 （图 的别吗？图 图 图 师活：生读图并比较，指出图 图象是一直上升，而图 ，3 有有降老师指出在述函数

3、图象特征时要照一定的标准应沿 轴正方向从向右观察图象的 变化趋势预的案图 的特点是从至右始终保持上升图 2 与 特点是：从左至右 有升也有降1 1 设意：接引出课题，形成对单调性的直观感受引语当很重要趋势更重要节课我们就来一起学习反映函数变化趋势的性 函数的单调性书函数的调性）三新探性画数单性问 3你能函数的点叙述图象从左至右上升（下降）吗？师活：生根据初中学习经验和对图象的观察分析，能描述 随 的大而增大（减小在“如何观察”上加强启发和引导比如左到右”其实就是自变量 x 不增大升（下降是函数值 y 不增大（减小预的案用函数的观点看，就是函值随着自变量的增大而增大（减小教点：数值随着自变量的增

4、大而增大（减小）的性质叫做函数的单调性 设意：图形语言转化为函数语言，为后续定量刻画做准备量画数单性问 4如何符号语准确刻画函数值随自变量的增大而增大（减小）呢？师活：是一个高度抽象的问题学生可能一子无从下手师要为学生搭好思 维的“脚手架具问题入，一步步解决抽象问题追 1：你说说函数 (x的单调性吗？（画出它的yx = 1.61f( ) = 2.6 1图象，如图 ，由图可知：当x y 随 的大而减小，f( )2x = 2.42f( ) = 5.7 2就说 f(x)x在区间0上是单调递减的当 x0 时yf( )1 x x2x图 41 1 21 2 1 2 1 21 21 1 2 21 2 1 2

5、1 21 2 1 21 1 21 2 1 2 1 21 21 1 2 21 2 1 21 21 2 1 21 1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 21 2 随着 x 的大而增大，就说 f(xx在区间0)上是单调递增的追 2：何用数量关系精确刻画“在区0上f(x)x的函数值随自变量的增大而增大”？（借助软件，在 轴侧任意改变 ， 的位置，只要点 的横坐标大于点B 的坐标，就会有点 的坐标大于点 的纵坐标将图象上的规律用函数的解析式表示出来，就可以得到函数 f)2 就有 f(x )fx )在区间0，上足：若 ，且 ，追 ：然上述改变 ， 的置是随意的，但我们不能穷举所有的点，为了确保结论 f(

6、x )fx )的正确性能试着给出它的证明吗 x 0且 x (x )x ，(x ) 2，根据不等式的性质 就以得到 (x )f(x )追 4你能类似地述 (x)x在区间，上是减函数并证明吗？（若 ，x，且 ，有 f( )fx )证明 x ，x (且 x f( ) 2，f(x ) 2，根据不等式的性质 和质 7 可以得到 (x )fx )追 5：函数 f(x|x|，f)x 各怎样的单调性？f)|在间，上单调递减，在区间，)上单调递增；f)2 间，)上是单调递减在区间，0上单调递增，在区预的案如果 ，x D，当 时，都有 (x )fx )，那么就称函数 f(x)在区间 D 上调递增（如图 果 x ，

7、 ，当 x 时都有 fx )(x )，那就称 函数 f(x)在区间 D 上调递减（如图 6图 图 教点：果函数 f)在区间 D 上调递增或单调递减，那么说函数 f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间 D 叫 (x)的调区间当函数 f()在它的定 义域上单调递增（减）时，我们称它为增（减）函数设意：实例感知的基础上助函数图象象出单调性的概念特到一般，1 1 1 2 1 21 1 2 1 1 21 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 2 1 21 1 2 1 1 21 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 21 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 从具体到抽象，从图象到符号，提

8、升学生的直观想象和数学抽象核心素养析念问 51）设 A 是间 D 上某些自变量的值成的集合，而 ， A，当 x 时，都有 f( f( )我们能说函数 fx在区间 D 上调递增吗？你能举例说明吗？（2函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，你能举出在整个定义域内是单调递增的函数例子吗？你能举出在定义域内的某些区间上单调递增但在另一些区间上单调递减 的函数例子吗？师活：生先独立思考举例，之后展示交流，老师指导总结预的案）不能，比如函数 f(xx2当 ，23D，3时，符合 ，x A，当 时，都有 fx (x )， f(x在区间 D 上是单调递增的（2f)x 在个定义域上单调递增f)(1) 在区间，)

9、上单调递增在区间，1上单调递减，设意：题（）加深单调性的概念中关词“x ， D”的理问题（ 帮助学生理解单调性是函数的一种“局部性质对单调性概念的理解调的单用例 1 根定义，研究函数 f()kxb)的单调性师活：生结合初中的学习经验可以利用函图象得到该函数的单调性老师引导学生寻找求解的依据定义，根据定义将问题转化为考察当 x 时fx )( ) 是 f(x )fx )进一步只需考察 (x )f( ) 0 大小关系预的案解：函数 f(xkxb)的定义域是 R ，x R且 x ，f(x )fx )b(bk(x )由 x ，得 x 所以当 k0 ，(x x )0于是 f(x )f(x )，即 ( )f

10、(x )这时，(x)kxb0是增函数当 k0 ，(x x )0于是 f(x )f(x )，即 ( )f(x )这时，(x)kxb0是减函数设意：确单调性的判定可以由函数图象获得是证明必须借助定义完成握应用定义证明单调性的程序一加深对概念的认识证过程中提升学生的逻辑推理 素养和数学运算素养1 1 2 11 21 21 1 1 2 11 1 21 21 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 11 21 21 1 1 2 11 1 21 21 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 21 21 2 1 2 11 1 21 21 21 21 2k例 2 物学中得玻意耳定律 p （

11、k 正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其V体积 V 减时，压强 p 将大试对此用函数的单调性证明k师活：生先将物理问题转化为数学问题，即证明函数 p （k 为正常数）在区V间，)上单调递减预的案证明：任取 ，V (，)，且 ，k (V 则 ，1 2 V 由 ， ，)，得 V ，由 ， V ，又 k0，所以 p ，即 ，k所以函数 p （k 为正常数）在区间(，)上单调递V也就是说，当体积 V 小时，压强 将大追：能总结用定义证明函数 f(x在区间 上的单调性的步骤吗？（第一步：在区间 D 上任取两个自变量的值 x x 并定 简记“设元步计 (x )( ，将 f(x )fx )分解为若干可以

12、直接确符号的式子，简记为“作差、变形步：确定 (x )fx )的符号若 f(x )(x )0则函数在区间 D 单调递增；若 (x ) f(x )，则函数在区间 D 上单调递减简记为“断号、定论设意：会函数模型可以用来刻画现实世界中的现象借助函数性质就可以把握事物的变化规律过证明进一步熟悉使用定义证明单调性的程序通追问让学生总 结出证明单调性的基本步骤，提升学生的数学抽象素养1例 3 根定义证明函数 yx 在区间，)上单调递增x师活：生根据例 1例 的经验独立完成，然后展示交流，老针对书写规范、 变形技巧做重点的纠正和讲解预的案证明： x ， ， ，有 1y ( x ) )( 1 2 2 x 1

13、 2 x x x x 1 (x ) (x x ) ( x )( ) )( )1 2 x 1 1 2 x 1 21 2 1 21 1 1 21 21 21 21 1 21 2 1 21 1 1 21 21 21 21 21 1 21 21 2由 x ， (，)，得 ，x ，所以 x ，x x 1由 x ，得 x ，于(x x )( ，即 1 2 2 x x 21所以，函数 yx 在间1)上的单调递增x 1追：能用单调性定义探究 yx 在个定义域内的单调性吗 的义x xx 域为(，0)(，)当 ，x (，)时，在 (x x )( )，1 2 1 2 x xx ， ，所以当 x ， (，1时x x

14、，则 y ，即 ，所以 1yx 在间，1上单调递减同理可得，函数 yx 在，)上单调递 x x增，在区间，)上单调递减设意：过例 3 掌用定义证明单调性的步骤养学生数学表达的严谨性和书写过程的规范性通过追问体会除了可以用定义法证明单调性外还可以用定义去探索单调区 间，感受定义的力量四归小，置业问 6回忆节课的容，请你回答以下几个问题：（1什么是函数的单调性？用定义证明单调性的步骤是怎样的？（2你能总结研究单调性的过程和方法吗？师活：生叙述单调递增、单调递减、增函数、减函数等概念交流学习过程中的 体验和感受，师生合作共同完成小结预的案）略（2先画函数图象并观察图象上点的坐标变化趋势，得到单调性定

15、性的叙述；再用数学符号准确表示得到单调性的量刻画最应用概念作判定与证明应用中掌握概念 的本质设意：过梳理本节课的内容仅让学生明本节课的内容能让学生对研究 函数性质有初步的方法论认识作业布置：教科书习题 .2 第 1，6，8，9 题五目检设 根据右图描绘某装配线的生产率与生产线上工人数量间的关系设计意图：考查单调性的定义1 21 1 2 1 1 2 1 22 1 22 11 21 2 1 2 1 21 1 2 1 1 2 1 22 1 22 11 21 2 1 2 1 2 2 11 根据定义证明函数 fx 增函数设计意图：考查增函数的定义证明函数 f 在间，)上单调递增x设计意图：考查用定义证明

16、单调性k画出反比例函数 的图象x（1这个函数的定义域 I 什么？（2它在定义域 I 上的单调性是怎样的？证明你的结论设计意图：考查单调性的判定与证明参考答案：在一定范围内，生产效率随着工人数的增加而提高，当工人数达到某个数量时， 产效率达到最大值，而超过这个数量时，生产效率又随着工人数的增加而降低任取 ， R，当 x 时因为 fx )(x )(x )0，即 f(x )fx )， 所以 f(x)3x2 在 R 上增函数 2 x )任取 ， (，)， ，则 fx )fx ) ，1 2 1 2 x x因为 x 0以 f( )f(x )即 f(x )fx )以函数 f(x 在 1 2 2 x区间(，0)上单调递增图象略（1）(，00，)k k（2当 y 在区间0和0，上