2023版高三一轮总复习数学新教材老高考人教版教案：第8章 命题探秘5 第2课时　圆锥曲线中的范围、最值问题

1、 第2课时圆锥曲线中的范围、最值问题 考点一范围问题 eq avs4al(典例1)已知椭圆的一个顶点A(0，1)，焦点在x轴上，离心率为 eq f(r(3),2).(1)求椭圆的标准方程；(2)设直线ykxm(k0)与椭圆交于不同的两点M，N.当|AM|AN|时，求m的取值范围思维流程解(1)设椭圆的标准方程为 eq f(x2,a2) eq f(y2,b2)1(ab0)，联立 eq blc(avs4alco1(b1，,f(c,a)f(r(3),2)，,a2b2c2，)解得 eq blc(avs4alco1(a2，,b1，,cr(3)故椭圆的标准方程为 eq f(x2,4)y21.(2)设P(x

2、0，y0)为弦MN的中点，M(x1，y1)，N(x2，y2).联立 eq blc(avs4alco1(ykxm，,f(x2,4)y21，)得(4k21)x28kmx4(m21)0.则x1x2 eq f(8km,4k21)，x1x2 eq f(4（m21）,4k21).(8km)216(4k21)(m21)0所以m214k2.所以x0 eq f(x1x2,2) eq f(4km,4k21)，y0kx0m eq f(m,4k21).所以kAP eq f(y01,x0) eq f(m14k2,4km).又|AM|AN|，所以APMN，则 eq f(m14k2,4km) eq f(1,k)，即3m4k

3、21.把代入得m23m，解得0m由得k2 eq f(3m1,4)0，解得m eq f(1,3).综上可知，m的取值范围为 eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)，3).解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围跟进训练

4、1设过定点M(0，2)的直线l与椭圆C1： eq f(x2,4)y21交于不同的两点P，Q，若O在以线段PQ为直径的圆的外部，求直线l的斜率k的取值范围解显然直线x0不满足题设条件，故可设直线l：ykx2，P(x1，y1)，Q(x2，y2).由 eq blc(avs4alco1(f(x2,4)y21，,ykx2，)得(14k2)x216kx120.(16k)2412(14k2)0，k eq blc(rc)(avs4alco1(，f(r(3),2) eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),2)，)，x1x2 eq f(16k,14k2)，x1x2 eq f(12,14k2)，根据

5、题意，得0POQ0， eq o(OP,sup6() eq o(OQ,sup6()x1x2y1y2x1x2(kx12)(kx22)(1k2)x1x22k(x1x2)4 eq f(12（1k2）,14k2)2k eq blc(rc)(avs4alco1(f(16k,14k2)4 eq f(164k2,14k2)0，解得2kb0)的离心率为 eq f(r(3),2)，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为 eq f(2r(3),3)，O为坐标原点(1)求椭圆E的方程；(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当OPQ的面积最大时，求l的方程思维流程解(1)设F(c，0)，由条件知， eq f(2,

6、c) eq f(2r(3),3)，得c eq r(3).又 eq f(c,a) eq f(r(3),2)，所以a2，b2a2c21.故椭圆E的方程为 eq f(x2,4)y21.(2)当lx轴时不合题意，故设l：ykx2，P(x1，y1)，Q(x2，y2).将ykx2代入 eq f(x2,4)y21，得(14k2)x216kx120.当16(4k23)0，即k2 eq f(3,4)时，x1，2 eq f(8k2r(4k23),4k21).从而|PQ| eq r(k21)|x1x2| eq f(4r(k21)r(4k23),4k21).又点O到直线PQ的距离d eq f(2,r(k21).所以O

7、PQ的面积SOPQ eq f(1,2)d|PQ| eq f(4r(4k23),4k21).设 eq r(4k23)t，则t0，SOPQ eq f(4t,t24) eq f(4,tf(4,t)1.当且仅当t2，即k eq f(r(7),2)时等号成立，且满足0.所以当OPQ的面积最大时，l的方程为2y eq r(7)x40.圆锥曲线中的最值问题的求解方法(1)函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数的单调性求解(2)不等式法：根据题意建立含参数的不等式，通过解不等式求参数范围跟进训练2(2021长郡中学模拟)已知椭圆O： eq f(x2,a2) eq f(y2,b2)1(ab0)过

8、点 eq blc(rc)(avs4alco1(r(3)，f(1,2)，A eq blc(rc)(avs4alco1(x0，y0) eq blc(rc)(avs4alco1(x0y00)，其上顶点到直线 eq r(3)xy30的距离为2，过点A的直线l与x，y轴的交点分别为M、N，且 eq o(AN,sup6()2 eq o(MA,sup6().(1)证明：|MN|为定值；(2)如图所示，若A，C关于原点对称，B，D关于原点对称，且 eq o(BD,sup6() eq o(NM,sup6()，求四边形ABCD面积的最大值解(1)其上顶点(0，b)到直线 eq r(3)xy30的距离为2, eq

9、f(b3,2)2 ，解得b1.又椭圆O： eq f(x2,a2) eq f(y2,b2)1(ab0)过点 eq blc(rc)(avs4alco1(r(3)，f(1,2)， eq f(3,a2) eq f(1,4)1，解得a24.椭圆的标准方程为 eq f(x2,4)y21.点A在椭圆上， eq f(x eq oal(sup1(2),sdo1(0),4)y eq oal(sup1(2),sdo1(0)1.设经过点A的直线方程为yy0k eq blc(rc)(avs4alco1(xx0)，可得M eq blc(rc)(avs4alco1(x0f(y0,k)，0)，N eq blc(rc)(avs

10、4alco1(0，y0kx0). eq o(AN,sup6()2 eq o(MA,sup6()，x0 eq f(2y0,k)，即k eq f(2y0,x0). eq blc|rc|(avs4alco1(MN) eq r(blc(rc)(avs4alco1(x0f(y0,k)2blc(rc)(avs4alco1(y0kx0)2) eq r(f(9,4)x eq oal(sup1(2),sdo1(0)9y eq oal(sup1(2),sdo1(0)3为定值(2)由(1)得直线MN斜率为k eq f(2y0,x0)， eq o(BD,sup6() eq o(NM,sup6()，BD方程为y eq

11、f(2y0,x0)x，即2y0 xx0y0，x eq oal(sup1(2),sdo1(0)4y eq oal(sup1(2),sdo1(0)4，联立 eq blc(avs4alco1(yf(2y0,x0)x，,f(x2,4)y21，) 解得x2 eq f(4x eq oal(sup1(2),sdo1(0),x eq oal(sup1(2),sdo1(0)16y eq oal(sup1(2),sdo1(0)，|x| eq f(2|x0|,r(x eq oal(sup1(2),sdo1(0)16y eq oal(sup1(2),sdo1(0)，|BD|2 eq r(1f(4y eq oal(su

12、p1(2),sdo1(0),x eq oal(sup1(2),sdo1(0) eq f(2|x0|,r(x eq oal(sup1(2),sdo1(0)16y eq oal(sup1(2),sdo1(0) eq f(8,r(x eq oal(sup1(2),sdo1(0)16y eq oal(sup1(2),sdo1(0)，点A到直线BD的距离为d eq f(|2y0 x0 x0y0|,r(4y eq oal(sup1(2),sdo1(0)x eq oal(sup1(2),sdo1(0) eq f(3|x0y0|,2)，SABCD|BD|d eq f(12|x0y0|,r(x eq oal(s

13、up1(2),sdo1(0)16y eq oal(sup1(2),sdo1(0) eq f(12,r(f(1,y eq oal(sup1(2),sdo1(0)f(16,x eq oal(sup1(2),sdo1(0)， eq f(1,y eq oal(sup1(2),sdo1(0) eq f(16,x eq oal(sup1(2),sdo1(0) eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,y eq oal(sup1(2),sdo1(0)f(16,x eq oal(sup1(2),sdo1(0) eq blc(rc)(avs4alco1(f(x eq oal(sup1(2),sdo1(0),4)y eq oal(sup1(2),sdo1(0)5 eq f(x eq oal(sup1(2),sdo1(0),4y eq oal(sup1(2),sdo1(0) eq f(16y eq oal(sup1(2),sdo1(0),x eq oal(sup1(2),sdo1(0)9，当且仅当 eq f(x eq oal(sup1(2),sdo1(0),4y eq oal(sup