【人教版】高中数学选修4-5单元质量评估测试卷

1、 (第一讲)(90 分钟 120 分)(本大题共8,每小题5分共40分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2016聊城高二检测如果 a,b,c 满足 cba,且 acac)B.c(b-a)0D.ac(a-c)0C.cb 0,c0,b-a0.故 A,B,D 均正确当 b=0 时,C不正确.2.若-4x1,y1,且lgx+lgy=4,则 lgxlgy的最大值是 (A.4 B.2 C.1 D.B.C.4D.6)【解析】选 由 x1,y1,故 lgx0,lgy0,所以 4=lgx+lgy2所以 lgxlgy当且仅当 x=y=100时取等号.5.(2016宿州高二检测不等式|x-x

2、|2的解集为 ()2A.(-1,2)C.(-2,1)B.(-1,1)D.(-2,2)【解析】选 原不等式可化为-2x-x2,2解得-1x2.6.(2016广州高二检测在下列函数中,最小值是2的是 (A.y= + (xR且 0)B.y=lgx+ (1x10)C.y=3+3 (xR)xD.y=sinx+【解析】选 C.A 中当 x0 时,y0;B 因为 1x2;故 A,B 中最小值都不是 2.D中,0sinx2.无最小值.只有 C正确.7.已知a0,b0,a,b的等差中项是 , =a+ , =b+ , 的最小值是()A.3B.4C.5D.6【解析】选 因为a+b=2 =1,所以=a+ +b+ =1

3、+ +=1+ + =3+ + 5,当且仅当 a=b= 时等号成立.8.设0 x0)的最小值为.【解析】f(x)=3x+ = + + 3答案:9=9,当且仅当 = 即x=2时取等号.【补偿训练】函数y=x+ (x0)的最小值是 ()2A.B.D.C.【解析】选 A.y=x+=x+ +223=3 =.当且仅当 x= 即 x =时等号成立.211.(2016)已知f(x)是定义在R 上的偶函数,且在区间(-,0)上单调递增若实数a 满足f(2 )f(- ),则 a的取值范围是.【解析】由题意知函数f(x)在(0,+上单调递减,又 f(x)是偶函数,所以由 f(2 )f(- )=f( 知,2 ,即|a

4、-1|解得 a0,y0,x+2y+xy=30,求 xy 的取值范围.【解析】因为x0,y0,所以30=x+2y+xy2+xy=2+xy,所以(所以(所以 0) +2-300,+5 0,2-3 )(3 即 00,所以(x+2)+ 2=16,当且仅当 x+2= 即 x=6时等号成立,所以 -16+34=18,当且仅当 x=6,y=3时等号成立.所以 xy的取值范围是(0,18.14.(10 )(2016郑州高二检测)设函数f(x)=|x-a|+3x,其中 a0.(1)求当a=1时不等式f(x)3x+2的解集.(2)若不等式f(x)0 的解集为x|x-1,求a .【解析】当 a=1时,f(x)3x+

5、2可化为|x-1|2.由此可得 3或 -1.故不等式 3x+2的解集为x|x3或 -1.(2)由 f(x)0,得|x-a|+3x0,此不等式化为不等式组或即或因为 a0,所以不等式组的解集为.由题设可得- =-1,故 a=2.15.(10 )已知a0,b0且 a+ =1,求a的最大值.2【解析】a= = = =,当且仅当 a= 时等号成立.2又 a + =1,即 a= ,b= 时等号成立故所求最大值为.216.(10 )(2016南昌高二检测)f(x)=|x+1|+|x-3|.(1)解不等式f(x)3x+4.(2)若不等式f(x)m 的解集为R,试求实数m 的取值范围.【解析】(1)f(x)=

6、原不等式等价于:或或所以不等式的解集为0,+).(2)由绝对值的几何意义可知,|x+1|+|x-3|当且仅当3 时等号成立,即 f(x) =4,从而要使 m的解集为 只需f(x) ,即实数 m的取值范围是,4.17.(10 )(2016全国卷)已知函数f(x)=|x+1|-|2x-3|.(1)画出y=f(x)的图象.(2)|f(x)|1 .【解析】如图所示:(2)f(x)=|f(x)|1,当 -1时,|x-4|1,解得 x5或 x3,所以 -1.当-1x1,解得 x1或 x ,所以-1x 或 1x1,解得 x5或 x3,所以 x5.综上,x 或 1x5,所以|f(x)|1的解集为(1,3)(5

7、,+).18.(10 )(2015全国卷)已知函数f(x)=|x+1|-2|x-a|,a0.(1)当a=1 ,求不等式f(x)1的解集.(2)若f(x)的图象与x 轴围成的三角形面积大于6,求 a的取值范围.【解析】当 a=1时,f(x)1化为|x+1|-2|x-1|-10.当 -1时不等式化为x-40,无解;当-1x0,解得 x0,解得 x1的解集为(2)由题设可得,.f(x)=所 以 函 数 f(x) 的 图 象 与 x 轴 围 成 的 三 角 形 的 三 个 顶 点 分 别 为,B(2a+1,0),C(a,a+1),ABC的面积为 (a+1).A2由题设得 (a+1)6,2故 a2.所以

8、a的取值范围为).(第二讲)(90 分钟 120 分)(本大题共8,每小题5分共40分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知abc0,A=a b c ,B=a b c 则 A 与 B的大小关系是 () A.ABC.A=BB.Abc0,所以A0,B0,所以 =a a b b c c =.因为 ab0,所以 1,a-b0,所以 1,同理 1,所以 1,即 AB.2.若实数x,y 适合不等式xy1,x+y-2,则 (1.)A.x0,y0C.x0,y0B.x0,y0D.x0【解析】选 A.x,y 异号时显然与 xy1 矛盾所以可排除 C,D.假设 x0,y0,则x .所以 x+y

9、0,y0.3.(2016威海高二检测使不等式 + 1+ 成立的正整数a的最大值是()A.10B.11C.12D.13【解析】选 用分析法可证a=12时不等式成立,a=13时不等式不成立.4.设a0,b0,a+b=1,M= + + ,则M 与 8的大小关系是 ()A.M=8C.M0,b0,a+b=1,所以 2所以 所以 4.+ 2 2 +4=8.所以 + + =(a+b)所以 + + 即 8.当且仅当 a=b= 时等号成立.5.(2016石家庄高二检测)已知 ab,则不等式a b; 中不成立22的个数是 ()A.0B.1C.2D.3【解析】选 因为ab,a -b=(a-b)(a+b)符号不确定即

10、a b 不一定成立;2222 - = 符号不确定,即 不6.已知ABC ,C=90,则 的取值范围是 ()A.(0,2)C.B.D.【解析】选 因为C=90所以c=a+b,222即 c=又有a+bc,= .所以 10,则 + + 的值的情况为 ()A.一定是正数C.可能是0B.一定是负数D.正负不能确定【解析】选 因为实数a,b,c满足a+b+c=0,abc0,不妨设 则 a0bc,+ + =0,b0,若 P 是 a,b的等差中项,Q 是a,b 的正的等比中项, 是 , 的等差中项,则 P,Q,R按从大到小的排列顺序为.【解析】由已知得P= ,Q=,=所以 R= 所以P.答案P10.若T =

11、,T=,则当s,m,nR ,T 与T 的大小为.12+12【解析】因为 -=s=0.所以TT.12答案:TT1211.(2016湛江高二检测)若函数 a,b 满足 a+b=1,则 + 的最大值是.【解析】 + =2- 则 a+b=12所以 + =2-=知 ab ,2- = .当且仅当 a=b= 时取最大值.答案:12.(2016太原高二检测)已知 abc,且 + 恒成立,则实数 m 的最大值为【解析】因为所以 a-b,b-c,a-c均为正数,(a-c) =(a-b)+(b-c).= + 4,当且仅当|a-b|=|b-c|时取等号,于是 + .所以 4.答案:4三、解答题本大题共 6 小题,共

12、60 .解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)13.(10 )设a,b,c为三角形的三边,:+3.【证明】设 x=b+c-a,y=a+c-b,z=a+b-c,则有 a+b+c=x+y+z,a= (y+z),b= (x+z),c= (x+y).此时原不等式等价于 + + 3.而 + + =3.所以原不等式成立.14.(10 )已知x,yR,且 1, 1,求证: + .【证明】因为 1, 0, 0.所以 + .故要证明结论成立只需证 成立,成立即可,即证 1-xy因为(y-x)0,有-2xy-x-y,222所以(1-xy)(1-x)(1-y),222所以 1-xy0,所以不等式成立.15

13、.(10 分)(2016莱芜高二检测 )已知函数 f(x)=tanx,x.若 x,x 12且 x x .: f(x)+f(x)f.1212【证明】要证 f(x)+f(x)f.12即证: (tanx+tanx)tan,12只需证明只需证明tan,.由于 x,x故 x +x(0,),1212所以 cosxcosx0,sin(x+x)0,1+cos(x+x )0.121212故只需证明 1+cos(x+x )2cosxcosx.1212即证 1+cosxcosx-sinxsinx2cosxcosx.121212即证 cos(x-x)f.1216.(10 分)(2016盐城高二检测 )已知 x,x 均

14、为正数,求证:12.【解题指南】直接证明不易找到切入点可采用分析法或反证法完成证明.【证明】假设,两边平方得:1+.即1+x x.12再两边平方得1+ + +1+2xx+,12即 + 0,b0,且a+b= + ,:(1)a+b2.(2)a +a2与b +b2不可能同时成立.22【解题指南】将已知条件中的式子可等价变形为 ab=1,再由基本不等式即可得证.(2)利用反证法,假设a+a2与b+b2同时成立可求得0a1,0b0,b0,得 ab=1.(1)由基本不等式及ab=1,有 a+b2=2,即 a+b2.(2)假设 a+a2 与 b+b2 同时成立则由 a +a0 得 0a1,同理 0b1,从2

15、22而 ab1,这与ab=1矛盾故 a+a2与 b+bcd,则 + + .(2) + + 是|a-b|cd,可证明( + ) ( + ) ,开方即得22+ + .(2)本小题可借助第一问的结论来证明,但要分必要性与充分性来证明.【证明】因为( + ) =a+b+2,( + )=c+d+2 .22由题设 a+b=c+d,abcd得( + ) ( + ) 因此 + + .22(2)(i)若|a-b|c-d|,则(a-b)(c-d),22即(a+b)-4abcd.由(1)得 + + .(ii)若 + + 则( + ) ( + ) ,22即 a+b+2因为 a+b=c+d,所以abcd.于是(a-b)

16、=(a+b)-4abc+d+2 .2222因此|a-b| + 是|a-b|0,且a+b+c=1,则 + + 的最大值是 ()A.1B.C.3D.9 由柯西不等式得( ) +( ) +( ) (1+1 +1( + + ),2222222所以( + + ) 13=3.当且仅当a=b=c= 时等号成立故 + + 的最大2值为 .4.n 个正数的和与这n 个正数的倒数和的乘积的最小值是 (A.1 B.n C.n2 D. 设n个正数为x,x,x由柯西不等式得:(x+x +x)( + )12n12n+ )=(1+1+1)=n.当且仅当2 2x =x=x 时取等号.12n5.(2016 石 家 庄 高 二

17、检 测 ) 已 知 正 数 a,b,c 满 足 a+b+c=1, 则+的最大值为 ()A.3B.3C.18D.9+【 解 析 】 选 B. 根 据 柯 西 不 等 式 ,+=3 当且仅当 a=b=c= 时等号成立.6.(2016 西 宁 高 二 检 测 ) 已 知 a,b,x,x R,ab=1,x+x=2, 则12+12M=(ax+bx)(bx +ax)与4 的大小关系是 ()1212A.M4B.M4C.M4D.M4【解析】选 C.(ax+bx)(bx+ax)1212=() +() () +()2222(x+x)=(x+x )=4.2 212127.设a,a,a ,E= + + ,F=a+a+

18、a则 E,F 的大小关系是 ()123123A.E0,123于是 ,aaa aa a.233112由排序不等式顺序和乱序和得 + + a a+ a a+ a a=a+a+a ,233112312即 + + a +a +a .123所以 F.8.(2016武汉高二检测已知 2x+3y+4z=10,则 x+y+z 取得最小值时的 x,y,z222的值分别为 ()A. , ,B. , ,D.1, ,C.1, ,【解析】选 B.(x +y+z)(4+9+16)(2x+3y+4z)=100,2222当且仅当 = = 且 2x+3y+4z=10时等号成立,此时 x= ,y= ,z= .二、填空题本大题共4

19、 ,每小题5分,共20 分请把正确答案填在题中横线上)9.有 4 人各拿一只水桶去接水,设水龙头注满每个人的水桶分别需要5s,4s,3s,7s,每个人接完水后就离开则他们等候的总时间最短为【解析】由题意知等候的时间最短为4+42+7=41.答案:41s.10.(2016盐城高二检测)正数 a,b,c 满足 a+b+4c=1,则 + + 的最大值为.【解析】(1+1+ )(a+b+4c)= ,所以 + + .答案:11.(2016昆明高二检测)已知 0 x1,0y0,于是 又 c0,所以 0,从而 .同理因为c0,于是 ,因为 a0,所以 0,于是得 .从而 .(2)由(1) 于是顺序和乱序和得

20、,+ + + += + + + + = + += + + .16.(10 )设 c,c,c 为正数组 a ,a,a 的某一排列求证: + + 12n12nn.【证明】不妨设0aaa,12n则 .因为 , , 是 , , 的一个排列,故由排序原理反序和乱序和得 a +a +a12na +a +a .12n即 + + n.17.(10 )(2016徐州高二检测)已知函数 f(x)=m-|x-2|,mR,且 f(x+2)0的解集为-1,1.(1)求m .(2)若a,b,cR,且 + + =m,:a+2b+3c9.+【解析】因为f(x+2)=m-|x|0,等价于m,由m有解得 且其解集为m,又 f(x

21、+2)0的解集为-1,1,故 m=1.(2)由(1)知 + + =1,又 a,b,cR由柯西不等式得+a+2b+3c=(a+2b+3c)=9.18.(10 )(2016广州高二检测)设 a,a,a 为 1,2,3,n 的一个排列求12n证: + + + + .【证明】设 b,b,b 是 a,a,a 的一个排列且bbb ,121212c ,c,c 是 a ,a,a 的另一个排列且cc 由乱序和反序和得 + + + + .因为 b1,b,b n-1,c2,c,c n,1212所以 + + + + .即 + + + + + + .(第四讲)(90 分钟 120 分)(本大题共8,每小题5分共40分在

22、每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2016广州高二检测如果命题 P(n)对 n=k ,那么它对 n=k+2 ,又若P(n)对 n=2,则P(n)对所有 (A.正整数n 成立)B.正偶数n 成立C.正奇数n 成立D.大于1的自然数n 成立【解析】选 根据数学归纳法的意义可知命题P(n)对所有正偶数n都成立.2.(n+1)(n+2)(n+n)=212(2n-1)(nN )n=kn+到 n=k+1,左边应增加的式子是 (A.2k+1 B.2k+3 C.2(2k+1)【解析】选 当 n=k时左边=(k+1)(k+2)(k+k).)D.2(2k+3)当 n=k+1时左边=(k+2)

23、(k+3)(k+k)(k+k+1)(k+1+k+1).可见从“n=k到 n=k+1”左边增加了2(2k+1).3.(2016用数学归纳法证明n(n+1)(2n+1)能被6 ,由归纳假设推证n=k+1时命题成立,需将n=k+1时的原式表示成 (A.k(k+1)(2k+1)+6(k+1)B.6k(k+1)(2k+1)C.k(k+1)(2k+1)+6(k+1)2D.以上都不对 因为假设当n=k时命题成立即k(k+1)(2k+1)能被6当n=k+1时,(k+1)(k+2)(2k+3)=(k+1)(2k+7k+6)2=k(k+1)(2k+1)+6(k+1).24.(2016大连高二检测在应用数学归纳法证

24、明凸n 边形的对角线为 n(n-3)条时,第一步检验第一个值n 等于 ()0A.1B.2C.3D.0【解析】选 因为凸n边形中边数最少的是三角形边数为3.5.在数列a,a=1- + - +- ,则 a = ()nnA.a +B.a +-kkC.a +D.a +kk【解析】选 D.a=1- ,a =1- + - ,a=1- + - +- ,a=1- + - +12nk+- 所以a =a+-.k6.已知数列a中,a=1,a =2,a =2a+a (nN),用数学归纳法证明a 能被4整n12n+除,假设a 能被4整除然后应该证明()A.a 能被4 整除B.a 能被4 整除C.a 能被4 整除D.a

25、能被4 整除【解析】选 由假设 a 能被 4 整除则当 n=k+1 时应该证明 a =a 能被 4整除.7.(2016烟台高二检测)设f(n)=1+ + + +,则 f(k+1)-f(k)等于()A.B. +D. +C. +【解析】选 当 n=k时,f(k)=1+ + +当 n=k+1时,f(k+1)=1+ + + + +8.已知 n 为正偶数用数学归纳法证明:1- + - + =2.所以f(k+1)-f(k)= +.时,若已假设n=k(k2 ),等式成立,则还需要利用归纳假设再证()A.n=k+1时等式成立C.n=2k+2 时等式成立B.n=k+2时等式成立D.n=2(k+2)时等式成立【解

26、析】选 偶数k的后继偶数为 故应再证 n=k+2时等式成立.【误区警示】解答本题易忽视k的限制条件2且为偶数而错选 A.二、填空题本大题共4 ,每小题5分,共20 分请把正确答案填在题中横线上)9.观察等式 1=1,2+3+4=3,3+4+5+6+7=5,4+5+6+7+8+9+10=7,推测第 n 个等2222式应该是. 1=1,2+3+4=3,3+4+5+6+7=5,4+5+6+7+8+9+10=7 知第 n个等2222式左端是2n-1个连续自然数的和其中最小的自然数是右端是(2n-1)即第n2个等式应该是n+(n+1)+(n+2)+(3n-2)=(2n-1).2答案:n+(n+1)+(n

27、+2)+(3n-2)=(2n-1)210.(2016大连高一检测)用数学归纳法证明 cos +cos3 +cos(2n-1)=(sin 0,nN 在验证n=1,等式右边的式子是.+【解析】当 n=1时右边=答案:cos=cos.11.设 f(n)=,用数学归纳法证明 f(n)3.在“假设 n=k 时成立”后,f(k+1)与f(k)的关系是f(k+1)=f(k) _.【解析】当 n=k时,f(k)=;当 n=k+1时,f(k+1)=,所以 f(k)应乘答案: .12.a,其中a =6,且满足=n,则 a =,a=,n213a =,猜想a=.4n【解析】由已知可得=1,=2,=3,将 a =6代入

28、以上三式,解得:a=1,a=15,a=28.2134由于 a=1,a3,a=35,a7,1234猜想得 a=n(2n-1).n答案:1 15 28 n(2n-1)三、解答题本大题共 6 小题,共 60 .解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)13.(10 分)(2016石家庄高二检测)用数学归纳法证明当 N , + +=.【证明】当 n=1时左边= = 右边=(2)假设当n=k(k时等式成立即= ,左边右边所以等式成立.+ +=.则当 n=k+1时, + +=+=.即当 n=k+1时等式也成立.由(1),(2)可知对一切N等式都成立.+14.(10 )对于nN ,用数学归纳法证明:+

29、1n+2(n-1)+3(n-2)+(n-1)2+n1= n(n+1)(n+2).【证明】设 n+2(n-1)+3(n-2)+2+n1.(1)当 n=1时左边=1,右边等式成立;(2)设当n=k(k1)时,等式成立,即 k+2(k-1)+3(k-2)+2+k1= k(k+1)(k+2),则当n=k+1时,f(k+1)=1(k+1)+2(k+1)-1+3(k+1)-2+(k+1)-23+(k+1)-12+(k+1)1=f(k)+1+2+3+k+(k+1)= k(k+1)(k+2)+ (k+1)(k+1+1)= (k+1)(k+2)(k+3).所以由可知当nN时等式都成立.+15.(10 )(201

30、6)用数学归纳法证明:f(n)=(2n+7)3 +9(nN)n*能被 36.【证明】当 n=1时,f(1)=(21+7)3 +9=36,能被 36整除.1(2)假设n=k(k1,kN ),f(k)=(2k+7)3 +9能被 36整除,*k当 n=k+1时,f(k+1)=(2k+9)3 +9=3(2k+7)3 +9+18(3 -1)k=3f(k)+18(3 -1)又因为 3 -1是偶数,所以 f(k+1)能被 36整除即当 n=k+1时,f(n)=(2n+7)3 +9也能被 36整除.n由(1)(2)知对 N,f(n)=(2n+7)3 +9都能被 36整除.*n16.(10 分 )(2016 苏 州 高 二 检 测 ) 已 知 正 项 数 列 a 和 b nn