球的切接问题(六大模型)讲义-高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

1、 立体几何球的切接问题类型一：对棱相等模型四面体中，这种四面体叫做对棱相等四面体，可以通过构造长方体来解决这类问题.如图，设长方体的长、宽、高分别为，则，三式相加可得而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为，则，所以.【例1】三棱锥中，已知，那么该三棱锥外接球的表面积为ABCD【例2】已知三棱锥，三组对棱两两相等，且，若三棱锥的外接球表面积为则【例3】在三棱锥中，则三棱锥的外接球的表面积为类型二、汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球） 题设：如图3-1，图3-2，图3-3,直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）第一步：确定球心的位置，是的外心，则

2、平面；第二步：算出小圆的半径，（也是圆柱的高）；第三步：勾股定理：，解出【例1】直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若，则此球的表面积等于【例2】在直三棱柱中，若此三棱柱外接球的半径为13，则该三棱柱的表面积为A624B576C672D720【例3】正四棱柱中，二面角的大小为，则该正四棱柱外接球的表面积为ABCD【例4】已知直三棱柱的高为，则该三棱柱外接球的表面积为；【例5】直三棱柱中，则该三棱柱的外接球的表面积为ABCD类型三：直棱锥模型（一条直线垂直于一个平面）如图，平面，求外接球半径.解题步骤：第一步：将画在小圆面上，为小圆直径的一个端点，作小圆的直径，连接，则必过球心；第二步：为的外心，所

3、以平面，算出小圆的半径(三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得)，；第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径： = 1 * GB3 ； = 2 * GB3 .【例1】九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马若四棱锥为阳马，底面为矩形，平面，二面角为，则四棱锥的外接球的表面积为ABCD【例2】三棱锥中，平面且，是边长为的等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为ABCD【例3】三棱锥中，平面，则该三棱锥的外接球表面积为ABCD【例4】在三棱锥中，平面，则三棱锥的外接球的表面积为ABCD【例5】在三棱锥中，平面，设为中点，且直线与平面所成角的余弦值为，则该三棱锥外接球的表面

4、积为【例6】已知A，B，C，D是球O上不共面的四点，且ABBCAD1，BDACeq r(2)，BCAD，则球O的体积为_类型四：垂面模型如图1所示为四面体，已知平面平面，其外接球问题的步骤如下：（1）找出和的外接圆圆心，分别记为和（2）分别过和作平面和平面的垂线，其交点为球心，记为（3）过作的垂线，垂足记为，连接，则（4）在四棱锥中，垂直于平面，如图2所示，底面四边形的四个顶点共圆且为该圆的直径 【例1】四面体ABCD的四个顶点都在球O上且ABACBCBDCD4，AD2eq r(6)，则球O的表面积为()A.eq f(70,3) B.eq f(80,3) C30 D40【例2】已知四棱锥PAB

5、CD的底面ABCD是矩形，其中AD1，AB2，平面PAD平面ABCD，PAD为等边三角形，则四棱锥PABCD的外接球表面积为()A.eq f(16,3) B.eq f(76,3) C.eq f(64,3) D.eq f(19,3)【例3】已知是以为斜边的直角三角形，为平面外一点，且平面平面，则三棱锥外接球的表面积为【例4】在三棱锥中，平面平面，则三棱锥外接球的表面积为【例5】在菱形中，将这个菱形沿对角线折起，使得平面平面，若此时三棱锥的外接球的表面积为，则的长为【例6】已知空间四边形，且平面平面，则该几何体的外接球的表面积为ABCD【例7】在边长为2的菱形中，将菱形沿对角线折起，使得平面平面，

6、则所得三棱锥的外接球表面积为ABCD【例8】在三棱锥中，与都是正三角形，平面平面，若该三棱锥的外接球的体积为，则边长为ABCD6【例9】已知矩形ABEF所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直，AD2，AB3，AFeq f(3r(3),2)，M为EF的中点，求多面体MABCD的外接球的表面积和体积类型五：二面角模型如图1所示为四面体，已知二面角大小为，其外接球问题的步骤如下：（1）找出和的外接圆圆心，分别记为和（2）分别过和作平面和平面的垂线，其交点为球心，记为（3）过作的垂线，垂足记为，连接，则（4）在四棱锥中，垂直于平面，如图2所示，底面四边形的四个顶点共圆且为该圆的直径 【例1】如图所

7、示，在三棱锥SABC中，ABC与SBC都是边长为1的正三角形，二面角ABCS的大小为eq f(2,3)，若S，A，B，C四点都在球O的表面上，则球O的表面积为_.【例2】在等腰直角中，为斜边的高，将沿折叠，使二面角为，则三棱锥的外接球的表面积为【例3】在三棱锥中，和均为边长为2的等边三角形，且二面角的平面角为，则三棱锥的外接球的表面积为【例4】已知三棱锥中，且二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为ABCD【例5】在正方体中，为棱上一点，且，若二面角为，则四面体的外接球的表面积为ABCD【例6】在菱形中，将沿折起到的位置，若二面角的大小为，三棱锥的外接球心为，则三棱锥的外接球的表面积为ABCD

8、【例7】在三棱锥中，二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积是ABCD【例8】在菱形ABCD中，Aeq f(,3)，AB4eq r(3)，将ABD沿BD折起到PBD的位置，若取BD中点为E，此时PECeq f(2,3)，三棱锥PBCD的外接球心为O，则三棱锥PBCD的外接球的表面积为_类型六：内切球 (1)题设：如图，三棱锥PABC是正三棱锥，求其内切球的半径图第一步：先画出内切球的截面图，E，H分别是两个三角形的外心；第二步：求DHeq f(1,3)CD，POPHr，PD是侧面ABP的高；第三步：由POEPDH，建立等式：eq f(OE,DH)eq f(PO,PD)，解出r(2)题设：如图，四

9、棱锥PABC是正四棱锥，求其内切球的半径图第一步：先画出内切球的截面图，P，O，H三点共线；第二步：求FHeq f(1,2)BC，POPHr，PF是侧面PCD的高；第三步：由POGPFH，建立等式：eq f(OG,HF)eq f(PO,PF)，解出r(3)题设：三棱锥PABC是任意三棱锥，求其的内切球半径方法：等体积法，三棱锥PABC体积等于内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和；第一步：先画出四个表面的面积和整个锥体体积；第二步：设内切球的半径为r，球心为O，建立等式：VPABCVOABCVOPABVOPACVOPBCVPABCeq f(1,3)SABCreq f(1,3)SPABre

10、q f(1,3)SPACreq f(1,3)SPBCreq f(1,3)(SABCSPABSPACSPBC)r；第三步：解出req f(3VPABC,SOABCSOPABSOPACSOPBC)【例1】已知正三棱锥的高为1，底面边长为2eq r(3)，内有一个球与四个面都相切，则棱锥的内切球的半径为_【例2】如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为m的正方形，PD底面ABCD，且PDm，PAPCeq r(2)m，若在这个四棱锥内放一个球，则此球的最大半径是_【例3】在封闭的直三棱柱ABCA1B1C1内有一个体积为V的球若ABBC，AB6，BC8，AA13，则V的最大值是()A4 Beq f(9,2) C6 Deq f(32,3)【例4】四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为6的正方形，且PAPBPCPD，若一个半径为1的球与此四棱锥所有面都相切，则该四棱锥的高是 ()A6 B5 Ceq f(9,2) Deq f(9,4)【例5】所谓正多面体，是指多面体的各个面都是全等的正多边形，并且各个多面角都是全等的多面角例如：正四面体(即正棱锥体)的四个面都是全等的三角形，每个顶点有一个三面角，共有四个