材料力学第八章 能量法

1、第八章 能量法作业8-1 （b）、（d）8-2 （b）、（d）8-3 （b）、（d）8-48-68-108-11 （a）、（b） 8-12 （a）、（b） 8-15 1第八章 能量法8.1 杆件的变形能8.3 虚功原理 互等定理8.2克拉贝隆原理 卡氏定理8.4 单位力法 图乘法8.6 冲击应力 动载强度计算 8.5 超静定问题 力法正则方程 2第八章 能量法基于能量守恒原理，外力功在数值上等于存储在弹性体内的变形能。 即 U=W8.1 杆件的变形能 例如，图示悬臂梁，在自由端受到集中力P作用。外力功：变形能：或在数值上，U=W3外力功的表达式思考：外力功在P-D曲线上的几何意义?线弹性小变形

2、下的外力功观察加载过程，加载路径与外力功关系？载荷-位移(P-D)曲线静加载下的外力功4内力功（变形能）的表达式应力-应变(s-e)曲线思考:材料力学性能、加载路径与变形能的关系？思考:计算弹性比能时，什么时候需要沿加载路径积分？线弹性材料的弹性比能弹性材料的弹性比能5平面弯曲直梁*以上分析，杆件均为线性弹性材料制成*而且只考虑了弯曲正应力产生的变形能*长为L的等直杆，横截面弯曲刚度为EI 。当弯矩M=常数时，杆的变形能为U=W=当弯矩M=M(x)时，杆的变形能为6直杆的轴向拉伸与压缩 以上分析，杆件均为线性弹性材料制成长为L的线弹性直杆，其截面抗拉压刚度为EA 。当轴力N=常数时，杆的变形能

3、为U=W=当轴力N=N(x)时，杆的变形能为7圆轴扭转*以上分析，杆件均为线性弹性材料制成*而且杆件为等截面圆杆（实心、空心、薄壁）*长为L的等截面圆杆，其截面扭转刚度为GIp 。当扭矩MT=常数时，杆的变形能为U=W=当扭矩MT=MT(x)时，杆的变形能为8基本变形杆件的变形能计算公式变形能=内力功=(内力2)*杆件长度2*(杆件刚度) 变形能=弹性比能*杆件的体积9弯曲切应力产生的变形能一般而言，在细长梁、刚架等构件中，弯曲切应力产生的变形能可以忽略不计。例题：图示矩形悬臂梁，在自由端受到集中力P作用，求弯曲切应力产生的变形能。解：在梁的长度方向上，Q=P;0 x4h,D10h,D2)根均

4、匀直杆组成的平面汇交杆系，如图所示。已知每根杆长li，横截面面积Ai，杆材料的弹性模量Ei以及杆轴线与X轴正向的夹角ai。当A点发生水平位移u和垂直位移v时，计算结构的变形能。 解：分析第i根杆的变形，由胡克定律可知, 第 i根杆的变形能，结构的总变形能，结构的自由度杆件的变形杆件的内力杆件/结构的变形能16对于一般的线弹性体，变形能为 ，小 结长L的等直杆，承受拉（压）、弯曲、扭转组合变形 。1）杆件弹性变形能计算式为*以上分析，杆件均为线性弹性材料制成*而且扭转杆件为等截面圆杆（实心、空心、薄壁）*17杆件承受外载荷P作用，沿P 的作用方向上发生位移D 。2）用功能原理计算杆件的变形一般而

5、言，线弹性杆件i承受外载荷Pi作用，发生位移Di 。3）既可以用杆件系统所受外力，也可以用结构的位移表示杆件系统的变形能。结构的自由度杆件/结构的变形能杆件的变形杆件的内力结构所受外力杆件的内力杆件的变形力 法位移法18在线弹性范围内，外力按比例加载以及小变形条件下，存储在弹性体内的变形能可以表示为， 8.2 克拉贝隆原理 卡氏定理 即，在上述三个条件下，弹性体内的变形能与外力加载的次序（加载路径）无关。 19P1和P2同时比例加载首先，加载P1，然后施加P2在线弹性范围内，外力按比例加载以及小变形条件下，弹性体内的变形能与外力加载的次序无关。 按照克拉贝隆原理，20线弹性结构的变形能对于任一

6、独立广义外力的偏导数等于相应于该力的广义位移 ，即卡氏第二定理 线弹性结构的变形能对于任一独立广义位移的偏导数等于相应于该力的广义力 ，即卡氏第一定理 设应变能以广义力为自变量的形式表示给定一个载荷增量 dPi ，则应变能增量：同时 ，则外力功增量：由功能原理 dU=dW， 得：设应变能以广义位移为自变量的形式表示如上述类似地证明，21例6-1悬臂梁AB如图所示，自由端A有一集中横力P和一力偶矩M0 =PL作用，EI是常数。求梁A端的挠度yA和转角A 解：按内力功计算梁的变形能，但不计剪力作的功 。梁的弯矩方程为M(x) = - (M0+ Px) 事实上，查表3-2和运用叠加原理，容易得到与上

7、式一致的结果。228.3 虚功原理 互等定理 在外力作用下处于平衡的梁，任意给它一个虚位移，则外力在虚位移上所作的外力虚功等于梁的内力在虚变形上所作的虚变形功（或内力虚功），这便是虚功原理。 外力虚功=内力虚功外力虚功=虚应变能23P(实际载荷)(单位载荷)Dxdx内力：变形：变形：内力：内力虚元功虚应变元能外力虚功24P(实际载荷)(单位载荷)Dxdx内力虚功虚应变能外力虚功25在外力作用下处于平衡的梁，任意给它一个虚位移，则外力在虚位移上所作的外力虚功等于梁的内力在虚变形上所作的虚变形功（或内力虚功），这便是虚功原理。 虚功原理的适用范围如何？线弹性、小变形条件下即线弹性、小变形条件下的莫

8、尔定理（莫尔积分）26例 设在任一弹性体上作用有一对等值反向的力P，如图所示，力的作用点间距为H，求该弹性体的体积变化。 解：利用功的互等定理，需要设计另一个加载情形。假设弹性体受静水压力p（s1=s2=s3=-p)作用的情景（图b），以H表示在压力p作用下P力作用点间的相对位移，以V表示在一对力P作用下的体积改变量。根据功的互等定理，有 PH = pV 以下求图b中的H 讨论：外力愈大或两力相距愈远则其体积变化愈大；材料的弹性模量愈大，即材料愈硬，则其体积变化愈小；如果=0.5，其体积变化为零，就成为不可压缩材料。27例6-3 图示简支梁的中点受到集中力P作用，EI=常数。求变形前后梁轴线所

9、夹的面积A。 解：假设简支梁受均布载荷q作用的情景（图b）。由互等定理，注意到：因为q 为常数，式中，A即为所求之面积。288.4 单位力法 图乘法 29线弹性、小变形条件下的莫尔定理（莫尔积分）其中最常用于计算梁的变形的莫尔积分对于一段同材料等截面（等刚度）梁，则下面介绍一种由图形互乘代替积分的方法单位力法 30图乘法设M0(x)=ax+b（一段斜线），积分项即当M0图中为一段斜线时，莫尔积分项等于M图的面积与M0图中与M图形心坐标对应的函数值。当M图中为一段斜线时，上述结论应该怎样？31常见图形的形心和面积bb/33b/8bb/4b直角三角形二次抛物线二次抛物线顶点顶点面积=bh/2面积=

10、2bh/3面积=bh/332例题 图示梁，求中点C的挠度。解：画出弯矩图M(图b)和M0(图c).利用弯矩图的对称性可简化计算。33例题 图示梁，求载荷作用点的挠度。解：画出弯矩图M(图b)和M0(图c).34例 图乘法求图示外伸梁A端转角A 解：1.叠加法作M图2.作 图3.求解A ql8C1C2C3w1w3w2MC1MC2MC3358.5 超静定结构的基本解法1.确定超静定次数，选定静定基2.作出相当系统3.写出相当系统的应变能4.根据多余约束处的位移条件，5.联立求解补充方程，得到全部多余约束力6.按静定结构求其余约束力、内力、应力和位移 应用卡氏定理列出补充方程36例 图示超静定梁的E

11、I为常量，试求多余约束力。解：一次超静定1.取静定基 2.作相当系统 4. 求解变形协调方程3.列变形协调方程375.讨论 求MA 利用变形能可以求得38例题悬臂梁AB如图所示，A、B端固支。问题为三次超静定。除掉A 端固支，得到包含未知反力的静定结构，称为静定基。利用叠加原理，分别画出外载荷（图b);支反力X1和X2（图b和图c)单独作用图。式中， 分别表示外载荷在静定基中X1和X2方向上产生的位移。力法正则方程39按照归一化要求，改写式中， 为Xi 方向上的总位移； 为外载荷(P)在静定基中在Xi 方向上的位移； 为未知反力Xj =1在静定基中作用在Xi 方向上的位移；上式称为力法正则方程

12、， 称为柔度系数。40利用莫尔积分，正则方程中的柔度系数写为：对二次静不定问题要作几个弯矩图，用莫尔图乘法，要作几次图乘？三次静不定问题呢?运用前面的知识，证明柔度系数具有对称性 dij=dji41例题悬臂梁AB如图所示，A、B端固支。求支反力。解：画静定基（图a),分别画弯矩图b-d;42代入力法正则方程，得解联立方程组得43例题 内力为一次静不定桁架如图6-15(a)所示，设各杆EI相同，求两种情况下的各杆轴力：(1) 在力P的作用下；(2) P = 0，但杆5升温T，已知材料膨胀系数。解：(1) 断开杆5，加一对约束内力X1即得静定基如图6-15(b)所示。杆号 i杆长Li轴力Ni轴力N

13、0i1aP2aP3a04aP5016144(2) 仅有杆5升温，正则方程为 11 X1+ 1T = 0 1T = l5T是因杆5升温而引起的相对位移 由表中数据计算，得到代入正则方程 11 X1+ 1P = 0 得 ，其余各杆的内力请读者自行算之。在既受到外载荷作用，又有温度变化时，如何求解此问题？45载荷对称性：载荷关于结构的对称轴对称或反对称。对称结构：结构的尺寸、形状、支承情况和材料性质是关于某一根线对称的。*利用对称性条件简化计算EIEI2EIEIEI2EIEI2EI2EI对称结构非对称结构46利用对称性简化计算，要选择恰当的静定基。EIEIEIEIEI EI EIX2X2X1X1X3

14、X3X1=1X2=1X3=1M10：M20：M30：*对称性条件简化正则方程的计算47若载荷也具有对称性，则计算还可再简化。 MF：X1=1X2=1X3=1M10：M20：M30：对称结构受对称载荷时，对称轴截面上反对称内力等于零。FFFF对称性条件简化正则方程的计算48若载荷也具有对称性，则计算还可再简化。 MF：X1=1X2=1X3=1M10：M20：M30：对称结构受反对称载荷时，对称轴截面上对称内力等于零。FFFF对称性条件简化正则方程的计算49一般载荷的对称化处理：Fqq / 2F/2F/2F/2q / 2q / 2F/2对称性条件简化正则方程的计算利用对称性将方程组进行解耦508.

15、6 冲击应力 动载强度计算 为了简化计算，可作下面三个假定：1、忽略弹性体的重量，撞击物视为刚体，它与弹性体接触后即连成一体；2、撞击时应力立即就传播到弹性体的各个部分，且处于平衡状态；3、撞击时只考虑动能和势能的转化，而无其它形式的内能及热能的耗散。51动荷系数Kd式中，Ps 为静载荷（接触前动能为零）, Pd 为动载荷；sd 、 ss 分别为动应力和静态应力； Dd 、 Ds 分别为（撞击点）的动位移和静位移。冲击过程中体系的响应是线性的52自由落体冲击的动荷系数冲击前能量：冲击结束时能量：由能量守恒，注意：53水平速度冲击时的动荷系数冲击前能量：冲击结束时能量：由能量守恒注意54例6-1

16、0 图6-18a 与图6-18b 分别表示不同支承方式的钢梁，承受相同的重物冲击。已知支承弹簧的刚度k=100N/mm，l=3m，H=50mm，G =1kN，钢梁的I =3.40107mm4，W=3.09105mm3，E=200GPa，试比较两者的冲击应力 。 对于图 (b) 解： 对于图 (a) 55静态最大应力对于图 (b) 对于图 (a)最大应力 由于图 (b)采用了弹簧支座，使系统的刚度减小，因而使动载系数减小，这是减低冲击应力的有效方法。 降低动载系数Kd还有其他那些有效方法?56制动冲击例：钢吊索的下端悬挂一重物 P=20kN ，并以等速度 v=1m / s 下降，当吊索长度为 l

17、 =20m 时，滑轮 D 突然被卡住, 求吊索冲击应力。已知吊索E=170GPa, A =414mm2, 滑轮和吊索的重量略去不计。解：制动冲击问题，冲击物的能量减少全部转换为被冲击物的应变能冲击物的能量减少：被冲击物(吊索)的应变能增加：PlD57例：钢吊索的下端悬挂一重物 P=20kN ，并以等速度 v=1m / s 下降，当吊索长度为 l =20m 时，滑轮 D 突然被卡住, 求吊索冲击应力。已知吊索E=170GPa, A =414mm2, 滑轮和吊索的重量略去不计。PlD制动冲击58例：钢吊索的下端悬挂一重物 P=20kN ，并以等速度 v=1m / s 下降，当吊索长度为 l =20

18、m 时，滑轮 D 突然被卡住, 求吊索冲击应力。已知吊索E=170GPa, A =414mm2, 滑轮和吊索的重量略去不计。PlD增加缓冲弹簧，使冲击物减少的能量大部分转变为弹簧的应变能，动载系数降低 58% 。制动冲击59例：图示等截面圆轴 AB 长为 l ，B 端装有飞轮，轴与飞轮以角速度 等速转动，飞轮对旋转轴的转动惯量为 J ，轴的直径为 d 。不计轴的转动惯量和飞轮的变形，试求当轴的 A 端突然被刹住时轴内的最大扭转切应力。解：当轴的 A 端突然被刹住时，飞轮因惯性继续转动一角度后转速才变为零，将引起扭转冲击。ldAB轴的体积越大，冲击切应力越小。如果在B端被刹住时的情况又将是怎样的60动载荷的强度计算动载荷的强度计算公式设计截面尺寸校核强度许可载荷动载荷的强