高考数学玩转压轴题专题极值点偏移-含对数式的极值点偏移问题_第1页
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文档简介

1、专题 极值点偏移第三招 - 含对数式的极值点偏移问题前面我们已经指明并提炼出利用判定定理解决极值点偏移问题的策略： 若 f x 的极值点为x ，则根据对称性构造一元差函数 F x f x0 x f x0 x ，巧借 F x 的单调性以0及 F 0 0 ， 借 助 于f x f x f x x 与 xf x0 x0 x21 2 0 0 2f 2x x ，比较 x2 与 2x0 x1 的大小，即比较 x0 与0 2x x2 12的大小有了这种解题策略，我们师生就克服了解题的盲目性，细细咀嚼不得不为其绝妙的想法喝彩。本文将提炼出极值点偏移问题的又一解题策略：根据f x f x 建立等式，通过1 2消

2、参、恒等变形转化为对数平均，捆绑构造函数，利用对数平均不等式链求解例. 已知函数2f ( x) ln x ax (2 a) x.（1）讨论 f (x) 的单调性；（2）设 a 0，证明：当0 x1a时，1 1f ( x) f ( x)a a；（3）若函数 y f (x) 的图象与 x轴交于 A,B 两点，线段 AB 中点的横坐标为x ，证明：0f (x ) 0.0法二：构造以 a为主元的函数，设函数 ( ) ( 1 ) ( 1 x)h a f x f ，a a则 h( a) ln(1 ax) ln(1 ax) 2ax，3 2x x 2x ah (a) 2x2 21 ax 1 ax 1 a x，

3、1由0 x1a，解得0 a1x，当0 a1x时， h (a) 0， h(a) 在(0, ) 上单调递增，而 h(0) 0， 所以 h(a) 0 ，故当0 x1a时，1 1f ( x) f ( x)a a.【问题的进一步探究】对数平均不等式的介绍与证明两个正数 a和 b 的对数平均定义：a bL( a,b) ln a lnba(a b).(a b),对数平均与算术平均、几何平均的大小关系：a bab L (a,b) （此式记为 对数平均不等式 ）2取等条件：当且仅当 a b 时，等号成立 .a b只证：当 a b时， ab L(a,b) . 不失一般性，可设 a b .2证明如下：（I ）先证： ab L(a, b)不等式a b a a b 1 aln a ln b ln 2ln x x ( x 1)其中ab b b a x b构造函数1f

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