坐标系和参数方程

1、关于坐标系与参数方程第1页，共123页，2022年，5月20日，5点43分，星期四一、直角坐标系第2页，共123页，2022年，5月20日，5点43分，星期四 1 数轴(直线坐标系)： 2 平面直角坐标系： 3 空间直角坐标系：任意点P实数x确定有序实数对(x, y)确定有序实数组(x, y, z)确定 建立坐标系目的是确定点的位置. 创建坐标系的基本原则： (1) 任意一点都有确定的坐标与它对应； (2) 依据一个点的坐标就能确定此点的位置. 求出此点在该坐标系中的坐标.直角坐标系第3页，共123页，2022年，5月20日，5点43分，星期四例1、选择适当的平面直角坐标系，表示边长为2的正六

2、边形的顶点.ABCDEFOxyOxyABCDEF第4页，共123页，2022年，5月20日，5点43分，星期四例2、某地区原计划经过B地沿着东北方向修建一条高速公路，但在A村北偏西300方向距A村500m处，发现一古代文物遗址W。经过初步勘察，文物管理部门将遗址W周围200m范围划为禁区，已知B地位于A村的正西方向1km 处，试问：修建高速公路和计划需要修改吗？ 解决问题的关键：确定遗址W与高速公路BC的相对位置.WABC4506005001000OxyOy第5页，共123页，2022年，5月20日，5点43分，星期四例3、求证：三角形的外心、重心、垂心在一条直线上。ABCGHDxyO第6页，

3、共123页，2022年，5月20日，5点43分，星期四第7页，共123页，2022年，5月20日，5点43分，星期四第8页，共123页，2022年，5月20日，5点43分，星期四答:再增设一个观测点C，利用B、C（或A、C）两处测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的准确位置.这是双曲线的一个重要应用.第9页，共123页，2022年，5月20日，5点43分，星期四PBACxyo第10页，共123页，2022年，5月20日，5点43分，星期四第11页，共123页，2022年，5月20日，5点43分，星期四第12页，共123页，2022年，5月2

4、0日，5点43分，星期四平面直角坐标系建系时，根据几何特点选择适当的直角坐标系。（1）如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点；（2）如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴；（3）使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上。总结第13页，共123页，2022年，5月20日，5点43分，星期四二、极坐标系第14页，共123页，2022年，5月20日，5点43分，星期四问题2：如何刻画这些点的位置？情境1：军舰巡逻在海面上，发现前方有一群水雷， 如何确定它们的位置以便将它们引爆？情境2：请问到复旦中学怎么走？ 问题1：为了简便地表示上述问题中点的位置， 应创建怎样的坐标系呢？问题情境第15页，共1

5、23页，2022年，5月20日，5点43分，星期四请分析这句话，他告诉了问路人什么？从这向南走200米！出发点方向距离 在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置。这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想，就是极坐标的基本思想。情境2：请问到复旦中学怎么走？第16页，共123页，2022年，5月20日，5点43分，星期四1、极坐标系的建立：在平面内取一个定点O，叫做极点.引一条射线OX，叫做极轴。再选定一个长度单位和计算角度的正方向。（通常取逆时针方向）.这样就建立了一个极坐标系.XO极坐标系第17页，共123页，2022年，5月20日，5点43分，星期四2、极坐标系内一点的极坐标的规定

6、对于平面上任意一点M,用表示线段OM的长度,用表示以射线OX为始边,射线OM为终边所成的角,叫做点M的极径, 叫做点M的极角,有序数对(,)就叫做M的极坐标。XOM极点的极坐标为(0, ), 可为任意值.思考: 对比直角坐标系，比较异同。要素：_ _；(2) 平面内点的极坐标用_表示.极点、极轴、长度单位、计算角度的正方向(, )第18页，共123页，2022年，5月20日，5点43分，星期四例1、如图，写出各点的极坐标：。OxABCDEFGA(4,0)B(3, )4C(2, )2D(5, )56E(4.5, )F(6, )43G(7, )531第19页，共123页，2022年，5月20日，5

7、点43分，星期四小结由极坐标描点的步骤： (1) 先按极角找到点所在射线； (2) 在此射线上按极径描点.思考: 平面上一点的极坐标是否唯一？ 若不唯一，那有多少种表示方法？不同的极坐标是否可以写出统一表达式？第20页，共123页，2022年，5月20日，5点43分，星期四3、点的极坐标的表达式的研究XOM如图：OM的长度为4，请说出点M的极坐标的表达式？思考：这些极坐标之间有何异同？思考：这些极角有何关系？这些极角的始边相同，终边也相同。也就是说它们是终边相同的角。极径相同，不同的是极角.第21页，共123页，2022年，5月20日，5点43分，星期四4、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况1

8、给定（,）,就可以在极坐标平面内确定唯一的一点M2给定平面上一点M，但却有无数个极坐标与之对应。原因在于：极角有无数个。OXPM(,)如果限定0,02那么除极点外,平面内的点和极坐标就可以一一对应了.第22页，共123页，2022年，5月20日，5点43分，星期四思考：在本节开头关于修建高速公路的问题中能否在极坐标系中解题。第23页，共123页，2022年，5月20日，5点43分，星期四 在一般情况下，极径都是取正值。但在某些必要的 情况下，也允许取负值(0):当0时如何规定(, )对应的点的位置？Ox当0)，且垂直于极轴的直线l的极坐标方程。oxAM解：第52页，共123页，2022年，5月

9、20日，5点43分，星期四3、设点A的极坐标为(a,0)，直线l过点A且与极轴所成的角为, 求直线l 的极坐标方程。 解：如图，设点M(,), 为直线l上异于A的点,连接OM，在MOA中有 oMxA即显然A点也满足上方程.第53页，共123页，2022年，5月20日，5点43分，星期四练习：按下列条件写出直线的极坐标方程：第54页，共123页，2022年，5月20日，5点43分，星期四例4、设点P的极坐标(0,0,) ，直线l过点P且与极轴所成的角为,求直线l的极坐标方程。 oxMP解：如图，设点M(,) 为直线上除点P外的任意一点，连接OM，在MOP中有 显然点P的坐标也是它的解。第55页，

10、共123页，2022年，5月20日，5点43分，星期四练习：第56页，共123页，2022年，5月20日，5点43分，星期四xC(a,0)O如图,半径为a的圆的圆心坐标为(a,0)(a0), 你能用一个等式表示圆上任意一点的极坐标(,)满足的条件？探 究1. 定义：如果曲线上的点与方程f(,)=0有如下关系()曲线上任一点的坐标(所有坐标中至少有一个)符合方程f(,)=0 ；()方程f(,)=0的所有解为坐标的点都在曲线上。 则曲线的方程是f(,)=0 。圆的极坐标方程第57页，共123页，2022年，5月20日，5点43分，星期四例1、已知圆O的半径为r，建立怎样的坐标系，可以使圆的极坐标方

11、程更简单？例2、若圆心的坐标为M(0,0)，圆的半径为r，求圆的方程。OMPx第58页，共123页，2022年，5月20日，5点43分，星期四运用此结果可以推出一些特殊位置的圆的极坐标方程。练习1、求下列圆的极坐标方程()圆心在极点，半径为2；()圆心在(a,0)，半径为a；()圆心在(a ,/2)，半径为a；()圆心在(0 , )，半径为r 2 2acos 2asin 2 -2 0 cos( - ) + 0 2- r 2 = 0第59页，共123页，2022年，5月20日，5点43分，星期四辨析:圆心在不同位置时圆极坐标方程和特征.第60页，共123页，2022年，5月20日，5点43分，星

12、期四例4、以极坐标系中的点(1,1)为圆心, 1为半径的圆的方程是 ( )C例3、极坐标方程分别是cos和sin 的两个圆的圆心距是多少? 第61页，共123页，2022年，5月20日，5点43分，星期四例5、在圆心的极坐标为A(4,0)，半径为4的圆中， 求过极点O的弦的中点的轨迹。 练习3、在极坐标系中, 已知圆C的圆心C(3, /6),半径r=3 求圆C的极坐标方程。 若Q点在圆C上运动 ,P在QO的延长线上,且OQ:OP=3:2, 求动点P的轨迹方程。第62页，共123页，2022年，5月20日，5点43分，星期四例6、椭圆上 两点A,B，O为坐标原点，且（1）求证： 为定值；（2）若

13、O到AB距离为d，求证：d为定值；（3）求三角形AOB面积的取值范围。第63页，共123页，2022年，5月20日，5点43分，星期四曲线极坐标方程总结第64页，共123页，2022年，5月20日，5点43分，星期四第65页，共123页，2022年，5月20日，5点43分，星期四题型分析第66页，共123页，2022年，5月20日，5点43分，星期四解析：(1)将xcos，ysin代入y24x，得(sin)24cos.化简，得sin24cos.(2)将xcos，ysin代入y2x22x10，得(sin)2(cos)22cos10，化简，得22cos10.第67页，共123页，2022年，5月2

14、0日，5点43分，星期四第68页，共123页，2022年，5月20日，5点43分，星期四第69页，共123页，2022年，5月20日，5点43分，星期四第70页，共123页，2022年，5月20日，5点43分，星期四第71页，共123页，2022年，5月20日，5点43分，星期四第72页，共123页，2022年，5月20日，5点43分，星期四(2)曲线C1的普通方程是x2(y1)21，曲线C2的直角坐标方程是xy10，由于直线xy10经过圆x2(y1)21的圆心，故两曲线的交点个数是2.第73页，共123页，2022年，5月20日，5点43分，星期四第74页，共123页，2022年，5月20日

15、，5点43分，星期四第75页，共123页，2022年，5月20日，5点43分，星期四答案：4第76页，共123页，2022年，5月20日，5点43分，星期四8、(2011广东深圳)在极坐标系中，设P是直线l：(cossin)4上任一点，Q是圆C：24cos3上任一点，则|PQ|的最小值是_第77页，共123页，2022年，5月20日，5点43分，星期四第78页，共123页，2022年，5月20日，5点43分，星期四 第二讲 参数方程第79页，共123页，2022年，5月20日，5点43分，星期四知识梳理第80页，共123页，2022年，5月20日，5点43分，星期四第81页，共123页，202

16、2年，5月20日，5点43分，星期四第82页，共123页，2022年，5月20日，5点43分，星期四题型分析第83页，共123页，2022年，5月20日，5点43分，星期四第84页，共123页，2022年，5月20日，5点43分，星期四第85页，共123页，2022年，5月20日，5点43分，星期四第86页，共123页，2022年，5月20日，5点43分，星期四消去参数的方法一般有三种(1)利用解方程的技巧求出参数的表示式，然后代入消去参数；(2)利用三角恒等式消去参数；(3)根据参数方程本身的结构特征，选用一些灵活的方法从整体 上消去参数 将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x和y取值范

17、围 的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f(t)和g(t) 的值域，即x和y的取值范围.总结第87页，共123页，2022年，5月20日，5点43分，星期四第88页，共123页，2022年，5月20日，5点43分，星期四第89页，共123页，2022年，5月20日，5点43分，星期四第90页，共123页，2022年，5月20日，5点43分，星期四第91页，共123页，2022年，5月20日，5点43分，星期四第92页，共123页，2022年，5月20日，5点43分，星期四第93页，共123页，2022年，5月20日，5点43分，星期四第94页，共123页，2022年，5月20日，5点

18、43分，星期四例1、(2011广东深圳)在极坐标系中，设P是直线l：(cossin)4上任一点，Q是圆C：24cos3上任一点，则|PQ|的最小值是_例题深化第95页，共123页，2022年，5月20日，5点43分，星期四第96页，共123页，2022年，5月20日，5点43分，星期四第97页，共123页，2022年，5月20日，5点43分，星期四第98页，共123页，2022年，5月20日，5点43分，星期四第99页，共123页，2022年，5月20日，5点43分，星期四第100页，共123页，2022年，5月20日，5点43分，星期四第101页，共123页，2022年，5月20日，5点43分，星期四第102页，共123页，2022年，5月20日，5点43分，星期四第103页，共123页，2022年，5月20日，5点43分，星期四第104页，共123页，2022年，5月20日，5点43分，星期四第105页，共123页，2022年，5月20日，5