高中数学函数解题技巧方法总结(高考)

1、资料内容仅供您学习参照，如有不当之处，请联系改正也许删除高中数学函数知识点总结函数的三要素是什么？如何比较两个函数可否同样？（定义域、对应法规、值域）同样函数的判断方法：表达式同样；定义域一致(两点必定同时具备)求函数的定义域有哪些常有种类？x4x例：函数y2的定义域是（答：0，22，33，4）lgx3函数定义域求法：分式中的分母不为零；偶次方根下的数（或式）大于或等于零；指数式的底数大于零且不等于一；对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。正切函数ytanxxR,且xk,k2余切函数ycotxxR,且xk,k反三角函数的定义域函数yarcsinx的定义域是1,1，值域是，函数yarccos

2、x的定义域是1,1，值域是0,，函数yarctgx的定义域是R，值域是.，函数yarcctgx的定义域是R，值域是(0,).当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条件的自变量的范围，再取他们的交集，就获取函数的定义域。如何求复合函数的定义域？如：函数f(x)的定义域是a，b，ba0，则函数F(x)f(x)f(x)的定义域是_。（答：a，a）复合函数定义域的求法：已知yf(x)的定义域为m,n，求yfg(x)的定义域，可由mg(x)n解出x的范围，即为yfg(x)的定义域。例若函数yf(x)的定义域为1,2，则f(log2)的定义域为。2x解析：由函数yf(x)的定义域为

3、1,2可知：1x2；因此yf(log2x)中22有1log2x2。2-完满版学习资料分享-资料内容仅供您学习参照，如有不当之处，请联系改正也许删除解：依题意知：1log2x22解之，得2x4f(log)的定义域为x|2x42x4、函数值域的求法1、直接察见解关于一些比较简单的函数，其值域可经过观察获取。1x2、配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。例、求函数y=x2-2x+5，x-1，2的值域。3、鉴识式法对二次函数也许分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也能够用其他方法进行化简，不用拘泥在鉴识式上面下面，我把这一种类的详细写出来，希望大家能够看懂a.yb2型：

4、直接用不等式性质k+xb.ybx型,先化简，再用均值不等式x2mxn例：yx111+x212x+xc.yx2mxn型平时用鉴识式x2mxnd.yx2mxnxn型法一：用鉴识式法二：用换元法，把分母代替掉x2x2）+111（x+1）（x+1）例：yx1x1（x+11211x14、反函数法直接求函数的值域困难时，能够经过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。3x4例求函数y=值域。5、函数有界性法直接求函数的值域困难时，能够利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。-完满版学习资料分享-资料内容仅供您学习参照，如有不当之处，请联系改正也许删除例求函数

5、y=ex1，y2sin1，y2sin1的值域。ex11sin1cosyex1exex1y2sin11siny2sin11cos2sinycos1y10y|sin|1y|1,2y2sin1y(1cos)1y21y4ysin(x)1y,即sin(x)又由sin(x)1知1y14y2解不等式，求出y，就是要求的答案6、函数单调性法平时和导数结合，是近来高考考的很多的一个内容例求函数y=2x5log3x1（2x10）的值域7、换元法经过简单的换元把一个函数变成简单函数，其题型特色是函数解析式含有根式或三角函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。例求函数y=x+

6、x1的值域。数形结合法其题型是函数解析式拥有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，经常会更加简单，如数家珍，神清气爽。22-完满版学习资料分享-资料内容仅供您学习参照，如有不当之处，请联系改正也许删除y的取值范围2(2)y-2x的取值范围解:(1)令yk,则yk(x2),是一条过(-2,0)的直线.x2R(d为圆心到直线的距离,R为半径)(2)令y-2xb,即y2xb0,也是直线ddR例求函数y=(x2(x8)22)+的值域。解：原函数可化简得：y=x-2+x+8上式能够看作数轴上点P（x）到定点A（2），B（-8）间的距离之和。由上图可知：当点P在线段A

7、B上时，y=x-2+x+8=AB=10当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，y=x-2+x+8AB=10故所求函数的值域为：10，+）例求函数y=2+x2x6x134x5的值域(x2222解：原函数可变形为：y=3)(02)+(x2)(01)上式可看作x轴上的点P（x，0）到两定点A（3，2），B（-2，-1）的距离之和，由图可知当点P为线段与x轴的交点时，ymin=AB22=(32)(21)=43，故所求函数的值域为43，+）。注：求两距离之和时，要将函数、不等式法-完满版学习资料分享-资料内容仅供您学习参照，如有不当之处，请联系改正也许删除利用基本不等式a+b2ab，a+b+c33ab

8、c（a，b，cR），求函数的最值，其题型特色解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，但是有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。例：x22(x0)x=x21133x2113xxxx(应用公式a+b+c3abc时，注意使者的乘积变成常数）33x2(3-2x)(0 x1.5)=xx(3-2x)(xx+3-2x)313(应用公式abc(abc)3时，应注意使3者之和变成常数）3倒数法有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来此后，你会发现另一番情况例求函数y=x2的值域yx3x2320时，1x21x2120y1yx2x22x2时，y=000y12多种方法综合运用总之，在详细求某个函数的值

9、域时，第一要仔细、仔细观察其题型特色，尔后再选择合适的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，尔后才考虑用其他各种特别方法。求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？切记：做题，特别是做大题时，必然要注意附加条件，如定义域、单位等东西要记得协商，不要犯我当年的错误，与到手的满分失之交臂如：fx1exx，求f(x).令tx1，则t0 xt21-完满版学习资料分享-资料内容仅供您学习参照，如有不当之处，请联系改正也许删除f(t)t21t21ef(x)x21x21x0e反函数存在的条件是什么？（一一对应函数）求反函数的步骤掌握了吗？（反解x；互换x、y；注明定义域）

10、如：求函数f(x)1xx0 x2x的反函数0（答：f1x1x1(x)x）x0在更多时候，反函数的求法可是在选择题中出现，这就为我们这些喜欢偷懒的人供应了大方便。请看这个例题：(2004.全国理)函数yx11(x1)的反函数是（B）y=x2xx1)x2xx1)A2+2(By=2+2(Cy=x22x(x=1.消除选项C,D.现在看值域。原函数至于为y=1,则反函数定义域为x=1,答案为B.我题目已经做完了，忧如没有动笔（除非你拿来写*书）。思路能不能够理解呢？反函数的性质有哪些？反函数性质：1、反函数的定义域是原函数的值域（可扩展为反函数中的x对应原函数中的y）2、反函数的值域是原函数的定义域（可

11、扩展为反函数中的y对应原函数中的x）3、反函数的图像和原函数关于直线=x对称（难怪点（x,y）和点（y，x）关于直线y=x对称互为反函数的图象关于直线yx对称；保存了原来函数的单调性、奇函数性；设yf(x)的定义域为A，值域为C，aA，bC，则f(a)=bf1(b)af1f(a)f1(b)a，ff1(b)f(a)b由反函数的性质，能够快速的解出很多比较麻烦的题目，如（04.上海春季高考）已知函数f(x)log3(42)，则方程f1(x)4的解_.xx8.如何用定义证明函数的单调性？-完满版学习资料分享-资料内容仅供您学习参照，如有不当之处，请联系改正也许删除（取值、作差、判正负）判断函数单调性

12、的方法有三种：(1)定义法：依照定义，设任意得x1,x2，找出f(x1),f(x2)之间的大小关系能够变形为求f(x1)f(x2)的正负号也许f(x1)与1的关系x1x2f(x2)参照图象：若函数f(x)的图象关于点(a，b)对称，函数f(x)在关于点(a，0)的对称区间拥有同样的单调性；（特例：奇函数）若函数f(x)的图象关于直线xa对称，则函数f(x)在关于点(a，0)的对称区间里拥有相反的单调性。（特例：偶函数）利用单调函数的性质：函数f(x)与f(x)c(c是常数)是同向变化的函数f(x)与cf(x)(c是常数)，当c0时，它们是同向变化的；当c0时，它们是反向变化的。若是函数f1(x

13、)，f2(x)同向变化，则函数f1(x)f2(x)和它们同向变化；（函数相加）若是正当函数f1(x)，f2(x)同向变化，则函数f1(x)f2(x)和它们同向变化；若是负值函数f1(2)与f2(x)同向变化，则函数f1(x)f2(x)和它们反向变化；（函数相乘）函数f(x)与1f(x)在f(x)的同号区间里反向变化。若函数u(x)，x，与函数yF(u)，u()，()或u(),()同向变化，则在，上复合函数yF(x)是递加的；若函数u(x),x，与函数yF(u)，u()，()或u()，()反向变化，则在，上复合函数yF(x)是递减的。（同增异减）若函数yf(x)是严格单调的，则其反函数xf1(y

14、)也是严格单调的，而且，它们的增减性同样。f(gg(xfg(xf(x)+g(f(x)*g()x)x)都是正数增增增增增增减减/减增减/减减增减减如：求ylog1x22x的单调区间2（设ux22x，由u0则0 x2且log1u，u21，如图：x12-完满版学习资料分享-资料内容仅供您学习参照，如有不当之处，请联系改正也许删除uO12x当x(0，1时，u，又log1u，y2当x1，2)时，u，又log1u，y2）如何利用导数判断函数的单调性？在区间a，b内，若总有f(x)0则f(x)为增函数。（在个别点上导数等于零，不影响函数的单调性），反之也对，若f(x)0呢？如：已知a0，函数f(x)x3ax

15、在1，上是单调增函数，则a的最大值是（）A.0（令f(x)3x2a3xaxa033则xa或xa33由已知fx在，)上为增函数，则a，即()131a3a的最大值为3）函数f(x)拥有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？f(x)定义域关于原点对称）若f(x)f(x)总成立f(x)为奇函数函数图象关于原点对称若f(x)f(x)总成立f(x)为偶函数函数图象关于y轴对称注意以下结论：（1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。（2）若f(x)是奇函数且定义域中有原点，则f(0)0。-完满版学习资料分享-资料内容仅供您学习参照，如有不当之处，

16、请联系改正也许删除如：若f(x)a2xa2为奇函数，则实数a2x1（f(x)为奇函数，xR，又0R，f(0)0即a20a20，a1）201又如：f(x)为定义在(1，1)上的奇函数，当x2x，(0，1)时，f(x)4x1求f(x)在1，1上的解析式。（令x1，0，则x0，1，f(x)2xx14又f(x)为奇函数，f(x)2x2x4x114x2xx(1，0)又f(0)4x1x0）0，f(x)2xx0，14x1判断函数奇偶性的方法一、定义域法一个函数是奇（偶）函数，其定义域必关于原点对称，它是函数为奇（偶）函数的必要条件.若函数的定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数.二、奇偶函数定义法在给定

17、函数的定义域关于原点对称的前提下，计算f(x)，尔后依照函数的奇偶性的定义判断其奇偶性.这类方法能够做以下变形f(x)+f(-x)=0奇函数f(x)-f(-x)=0偶函数f(x)1偶函数f(-x)f(x)1奇函数f(-x)三、复合函数奇偶性f(g)g(x)fg(xf(x)+g(f(x)*g()x)x)-完满版学习资料分享-资料内容仅供您学习参照，如有不当之处，请联系改正也许删除奇奇奇奇偶奇偶偶非奇非奇偶偶奇偶非奇非奇12.你偶熟悉周偶偶偶偶偶期函数的定义吗？（若存在实数T（T0），在定义域内总有fxTf(x)，则f(x)为周期函数，T是一个周期。）如：若fxaf(x)，则（答：f(x)是周期函

18、数，T2a为f(x)的一个周期）我们在做题的时候，经常会遇到这样的情况：告诉你f(x)+f(x+t)=0,我们要马上反应过来，这时说这个函数周期2t.推导：f(x)f(xt)0f(x)f(x2t)，f(xt)f(x2t)0同时可能也会遇到这类样子：f(x)=f(2a-x),也许说f(a-x)=f(a+x).其实这都是说同样一个意思：函数f(x)关于直线对称，对称轴能够由括号内的2个数字相加再除以2获取。比方，f(x)=f(2a-x),也许说f(a-x)=f(a+x)就都表示函数关于直线x=a对称。如：又如：若图象有两条对称轴，xbf(x)xa即f(ax)f(a，f(bx)f(bx)x)f(x)

19、f(2ax)f(2ax)f(2bx)f(x)f(2bx)令t2ax,则2bxt2b2a,f(t)f(t2b2a)即f(x)f(x2b2a)因此,函数以为周期因不知道的大小关系,f(x)2|ba|(a,b为保守起见,我加了一个绝对值你掌握常用的图象变换了吗？f(x)与f(x)的图象关于y轴对称联想点（x,y）,(-x,y)f(x)与f(x)的图象关于x轴对称联想点（x,y）,(x,-y)f(x)与f(x)的图象关于原点对称联想点（x,y）,(-x,-y)f(x)与f1(x)的图象关于直线yx对称联想点（x,y）,(y,x)-完满版学习资料分享-资料内容仅供您学习参照，如有不当之处，请联系改正也许

20、删除f(x)与f(2ax)的图象关于直线xa对称联想点（x,y）,(2a-x,y)f(x)与f(2ax)的图象关于点(a，0)对称联想点（x,y）,(2a-x,0)将yf(x)图象左移a(a0)个单位yf(xa)右移a(a0)个单位yf(xa)上移b(b0)个单位yf(xa)b下移b(b0)个单位yf(xa)b（这是书上的方法，诚然我向来不用，但可能大家接触最多，我还是写出来吧。对于这类题目，其实根本不用这么麻烦。你要判断函数y-b=f(x+a)怎么由y=f(x)获取，能够直接令y-b=0,x+a=0,画出点的坐标。看点和原点的关系，就可以很直观的看出函数平移的轨迹了。）注意以下“翻折”变换：

21、f(x)|f(x)|把x轴下方的图像翻到上面f(x)f(|x|)把y轴右方的图像翻到上面如：f(x)log2x1作出ylog2x1及ylog2x1的图象yy=log2xO1x你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？(k0)y=bO(a,b)Oxx=a-完满版学习资料分享-资料内容仅供您学习参照，如有不当之处，请联系改正也许删除（1）一次函数：ykxbk0(k为斜率，b为直线与y轴的交点)（2）反比率函数：yk0实行为ybk0是中心O(a，b)kkxxa的双曲线。2b2（3）二次函数yax2bxca0axb4ac图象为抛物线2a4a极点坐标为b，4acb2，对称轴xb2a4a2a张口方向：a0，向上

22、，函数4acb2ymin4aa0，向下，ymax4acb24a根的关系：xb2ax1x2b,x1x2c,|x1x2|aa|a|二次函数的几种表达形式：f(x)ax2bxc(一般式)f(x)a(xm)2n(极点式，（m，n）为极点f(x)a(xx1)(xx2)(x1,x2是方程的2个根）f(x)a(xx1)(xx2)h(函数经过点（x1,h)(x2,h)应用：“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系二次方程ax2bxc0，0时，两根x1、x2为二次函数yax2bxc的图象与x轴的两个交点，也是二次不等式ax2bxc0(0)解集的端点值。求闭区间m，n上的最值。-完满版学习资料分享-资

23、料内容仅供您学习参照，如有不当之处，请联系改正也许删除区间在对称轴左边（nb）fmaxf(m),fminf(n)2a区间在对称轴右边（mb）fmaxf(n),fminf(m)2a区间在对称轴边（nb）22am4cb2fmina,fmaxmax(f(m),f(n)4a也能够比较m,n和对称轴的关系，距离越远，值越大(只谈论a0的情况）求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。一元二次方程根的分布问题。0如：二次方程ax2bxc0的两根都大于kbk2af(k)0y(a0)Okx1x2x一根大于k，一根小于kf(k)00mb在区间（m，n）内有2根n2af(m)0f(n)0在区间（m，n）内有1根f

24、(m)f(n)0（4）指数函数：yaxa0，a1（5）对数函数ylogaxa0，a1由图象记性质！（注意底数的限制！）-完满版学习资料分享-资料内容仅供您学习参照，如有不当之处，请联系改正也许删除yy=ax(a1)(0a1)1O1x(0a01yf（y）三角函数型的抽象函数f（x）tgx-f（xy）f(x)f(y)1f(x)f(y)f（x）cotx-f（xy）f(x)f(y)1f(x)f(y)例1已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（xy）f（x）f（y），且当x0时，f(x)0，f(1)2求f(x)在区间2,1上的值域.解析：先证明函数f（x）在R上是增函数（注意到f（x2）f（x2x1）x

25、1f（x2x1）f（x1）；再依照区间求其值域.-完满版学习资料分享-资料内容仅供您学习参照，如有不当之处，请联系改正也许删除例2已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（xy）2f（x）f（y），且当x0时，f(x)2，f(3)5，求不等式f（a22a2）0,xN；f（a）bf（a）f（b），a、bN；f（2）4.同时成立？若存在，求出f（x）的解析式，若不存在，说明原由.解析：先猜出f（x）2x；再用数学归纳法证明.例6设f（x）是定义在（，）上的单调增函数，满足f（xy）f（x）（），求：0f（y），f31（1）f（）；1（2）若f（x）f（x），求x的取值范围.82解析：（1）利用313

26、；2）利用函数的单调性和已知关系式.例7设函数yf（x）的反函数是yg（x）.若是f（ab）f（a）f（b），那么g（ab）g（a）g（b）可否正确，试说明原由.解析：设f（a）m，f（b）n，则g（m）a，g（n）b，进而mnf（a）f（b）f（ab）fg（m）g（n）.例8已知函数f（x）的定义域关于原点对称，且满足以下三个条件：x1、x2是定义域中的数时，有f（x1x2）f(x1)f(x2)1；f(x2)f(x1)-完满版学习资料分享-资料内容仅供您学习参照，如有不当之处，请联系改正也许删除f（a）（a，a是定义域中的一个数）；10当0 xa时，f（x）0.2试问：（1）f（x）的奇偶性

27、如何？说明原由；（2）在（0，4a）上，f（x）的单调性如何？说明原由.解析：（1）利用f（x1x2）f（x1x2），判断f（x）是奇函数；（3）先证明f（x）在（，a）上是增函数，再证明其在（a，a）上0224也是增函数.关于抽象函数的解答题，诚然不能用特别模型代替求解，但可用特别模型理解题意.有些抽象函数问题，对应的特别模型不是我们熟悉的基本初等函数.因此，针对不同的函数要进行合适变通，去追求特别模型，进而更好地解决抽象函数问题.例9已知函数f（x）（x0）满足f（xy）f（x）f（y），（1）求证：f（1）f（1）0；（2）求证：f（x）为偶函数；（3）若f（x）在（0，）上是增函数，解

28、不等式0.f（x）gax（a）解析：函数模型为：lo|0（1）先令xy1，再令xy1；（2）令y；1（3）由f（x）为偶函数，则f（x）f（|x|）.（x）f（x1）2例10已知函数f（x）对一的确数x、y满足f（0）0，f（xy）f（x）fy），且当x0时，f（x）1，求证：（1）当x0时，f（x）；01（2）f（x）在xR上是减函数.解析：（1）先令xy0得f（0）1，再令yx；（3）受指数函数单调性的启示：由f（xy）f（x）f（y）可得f（xy）f(x)，f(y)进而由x1x2，有f(x1)f（x1x2）1.f(x2)练习题：1.已知：f（xy）f（x）f（y）对任意实数x、y都成立，则（）（A）f（）0（）f（）0或B01（C）f（）01（D）以上都不对02.若对任意实数x、y总有f（xy）f（x）f（y），则以下各式中错误的选项是（）（A）f（）0（）f（1）f（x）1Bx（C）f（x）f（x）f（y）（D）f（xn）nf（x）（nN）yf（x）对一的确数x、y满足：f（），f（xy）f（x）f（y），且当x0时，00-完满版学习资料分享-资料内容仅供您学习参照，如有不当之处，请联系改正也许删除f（x），则当x0时，f（x）的取值范围是（）1（）（，）（A）（，）1B1（C）（0