流体控制工程-7-线性定常系统的状态空间分析和综合-课件

1、第七章线性定常系统的状态空间分析与综合第七章经典控制理论现代控制理论线性定常系统线性定常、非线性、时变系统单输入-单输出系统多输入-多输出系统传递函数（或者微分方程）状态空间分析法（由状态变量构成的一阶微分方程组）只研究输入-输出的关系，不包含其他相互独立的中间变量的信息（即不包含系统的所有信息）输入-输出通过中间变量反映，反映了系统的全部独立变量的变化，即反映了全部内部状态经典控制理论和现代控制理论之间的区别 2.研究方法 第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合1.研究问题区别 经典控制理论现代控制理论线性定常系统线性定常、非线性、时变系7-1 状态变量及状态空间表达式 一、定义 1、状态

2、变量的定义：能够完全确定系统运动状态的最小个数的一组独立变量 注：、n阶系统（即用n阶微分方程描述的系统）有n个独立变量； 、状态变量不是唯一的，但数目是唯一的； 、状态变量在t=t0时刻已知时（初始条件），且tt0时输入给定时，可完全确定系统在任何时刻tt0时的行为（因n个独立的初始条件已知时，n阶微分方程有唯一确定的解） 2、状态矢量 第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合7-1 状态变量及状态空间表达式 一、定义第七章 由n个状态变量x1(t),x2(t)xn(t)组成的矢量x(t)称为状态矢量，即 或3、状态空间和状态轨迹 状态变量 为坐标轴所构成的维空间称为状态空间。 为状态空间的

3、一个初始点， 为状态空间中对应t时刻的一个点。当t由 时 在状态空间中形成点的轨迹，称为状态轨迹。 第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合由n个状态变量x1(t),x2(t)xn(t)组成的矢量x4、状态方程 由系统状态变量构成的一阶微分方程组称为状态方程。 例建立如图所示R-L-C网络的状态方程。 解:当给定独立变量 和 的初始位置系统在任何时刻的状态便可确定，故选 和 为状态变量 由电路原理得包含这两个状态变量的一阶微分方程组，即为状态方程 即 第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合4、状态方程第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合写成状态变量的系数在等式左端，状态变量在右端的标准形

4、式，即为 若令 写成矩阵形式第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合写成状态变量的系数在等式左端，状态变量在右端的标准形式，即为或式中(要适应矩阵表达方法) 写出状态方程的步骤： 确定状态变量（完全、确定的描述系统的最少独立变量个数） 写成状态变量的系数在等式左端，状态变量在等式右端的标准形式 由物理规律写出关于状态变量的一阶微分方程组第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合或(要适应矩阵表达方法) 写出状态方程的步骤： 确定状态变5、输出方程 反映系统输出于状态变量间的函数关系式称为输出方程，对应例，若输出用Y表示，确定 作为输出，则输出方程为 或 写成矩阵形式 或 式中 (或 )步骤：写入

5、输出和状态变量的表达式将该表达式写成矩阵形式第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合5、输出方程步骤：写入输出和状态变量的表达式将该表达式写7、状态变量的非唯一性和状态方程的非唯一性 如之例 取 和 为两个状态变量 令 和 则 即 由电路原理（在原状态方程中消去 i） 即第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合6、状态空间表达式 状态方程和输出方程合起来称为系统的状态空间表达式。即第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合6、状态空间表达式 可见在同一系统中，状态变量选取不同时，状态方程也不同。一般地，从工程实际出发，把容易测量的量作为状态变量。 状态变量的非唯一性，如果是状态矢量，只有矩阵P是

6、非奇异的（满秩），那么也是状态矢量。第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合 第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合二、单输入-单输出定常系统状态空间表达式的一般形式 设状态变量为，则状态方程的一般形式为：输出方程式一般有： 写成向量矩阵形式的状态空间表达式为第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合二、单输入-单输出定常系统状态空间表达式的一般形式设状态式中 为n维状态矢量 为（）维系统矩阵（反映了系统内部状态的联系）为（）维矩阵（列阵）即为输入矩阵或者控制矩阵（反映了输入对状态的作用） 第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合式中 为n维状态矢量 为（为（）维输出矩阵，（建立了输出和状态的

7、联系） 第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合三、多输入-多输出的状态空间表达式（如具有r个输入，m个输出）状态方程一般为为（）维输出矩阵，（建立了输出和状态的联系） 第七章 线性定输出方程一般为其状态空间表达式的矢量矩阵形式为式中 和 -同单输入系统，分别为维状态矢量和维系统矩阵-为维输入（或控制）矢量第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合输出方程一般为其状态空间表达式的矢量矩阵形式为式中 -为维输出矢量-为维输入（控制）矩阵-为维输出矩阵第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合-为维输出矢量-为维输入（控制）矩阵- -为 维直接传递矩阵 （输入直接传递到输出） 一般地（除特别说明），为

8、简单起见，令 ，即不考虑输入矢量的直接传递作用。第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合 第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合7-2状态空间表达式的模拟结构图 一、状态空间表达式的系统方块图 1、什么是系统方块图及模拟结构图？ 以传递函数表示系统信号之间传递关系的图为方块图。 用积分器表示的系统信号之间传递关系的图为模拟结构图。 2、状态空间表达式结构图的绘制步骤： 确定积分器的数目，积分器的数目等于状态变量的数目或微分方程的阶数； 每个积分器的输出表示相应的单个状态变量，输入为状态 变量的系数； 根据状态方程和输出方程，确定加法器和比例器； 用箭头将这些元件连接起来。第七章 线性定常系统

9、的状态空间分析与综合7-2状态空间表达式的模拟结构图 一、状态空间表达式的系统 3、状态空间表达式一般形式的系统方块图 单输入-单输出系统 多输入-多输出系统 4、举例 画出 的模拟结构图。 画出用以下微分方程描述系统的模拟结构图 分析：微分方程为三阶，故有3个积分器 先画出3个积分器；第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合 3、状态空间表达式一般形式的系统方块图第七章 线性 将微分方程写成最高系数项在等式左端的表达式，即为 其余系数项前的系数分别为各比例器的数值，输入项前的系数为输入比例器的数值，等式右端为4项的代数和，即加法器有4个分支输入。 经过上述分析，不难画出： 画出有以下状态空间

10、表达式描述系统的模拟结构图 第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合 将微分方程写成最高系数项在等式左端的表达解仿上例第1步，先画出3个积分器；第2步，由状态方程所确定的关系连接有关积分器；第3步，由状态方程的关系式确定的关系，来自4路，分别相加；第4步，画出输出方程的关系。 对二输入二输出系统可仿照参考书，此处从略。第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合解仿上例第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合7-3状态空间表达式的建立（一）状态空间表达式建立的3种方式由系统的方块图，根据系统各个环节的实际连结；由（物理、化学、电子等）机理出发进行推导求得；由系统运动的微分方程和传递函数。一、由系统

11、方块图建立状态空间表达式 该方法的关键是由方块图模拟结构图； 取每个积分器的输出作为一个状态变量，其输入是相应的； 根据实际连接写出状态方程和输出方程。 第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合7-3状态空间表达式的建立（一）状态空间表达式建立的3种方例1、如图第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合例1、如图第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合从图可知状态方程输出方程第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合从图可知状态方程输出方程第七章 线性定常系统的状态空间分析与写成矢量矩阵形式，系统的状态空间表达式为对于含有零点的环节，先展开成部分分式，即第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合写成

12、矢量矩阵形式，系统的状态空间表达式为对于含有零点的环节， 二、从系统的机理出发建立状态空间表达式例 7-2 电网络如图所示，输出量为电流源，并指定以电容和上的电压作为输出，求此网络的状态空间表达式。第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合例 7-2 电网络如图所示，输出量为电流源，并指定解：取电容和上的电压和及电感和中的电流和为状态变量。（四个独立储能元件，故有四个独立变量） 第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合解：取电容和上的电压和及电感和中的电流和为状态变量。（四个独即令：从节点a、b、c, 按基尔霍夫电流定律列出电流方程 流经电容*注：的电流；流入节点为正；流出节点为负。从三个回路l

13、1、l2、l3 ，按基尔霍夫定律列出电压方程 第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合即令：从节点a、b、c, 按基尔霍夫电流定律列出电流方程流经由以上6式消去独立变量和得由第1式得：代入4式得 由第2式得：由3式得，代入5式得 由6式第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合由以上6式消去独立变量和得由第1式得：代入4式得 由第2式得从上式解出：第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合从上式解出：第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合7-3状态空间表达式的建立（一） 例7-3由即由牛顿定律，对为脱离体进行受力分析第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合7-3状态空间表达式的建立（一） 例7-

14、3由即将代入整理，即得第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合将代入整理，即得第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合注为输入指定 和为输出即 第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合注为输入指定 和为输出即 第七章 线性定常系统的状例7-4 试写出如图所示机械系统的状态空间表达式，其中K为扭转轴的刚性系数（类似弹簧刚度） B为粘性阻尼系数 T为外扭矩 J为转动惯量第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合令解：选择扭转轴的转角 为及其角速度 为为状态变量例7-4 试写出如图所示机械系统的状态空间表达式，其中由牛顿定律，得即 从而有 而指定为输出，即 整理得：第七章 线性定常系统的状态空间分析与

15、综合由牛顿定律，得即 从而有 而指定为输出，即 整理得：第七章 例7-5 如图是直流他励电动机的示意图，写出该系统在电枢电压作为控制作用时的状态空间表达式。由电枢回路知 解：流过电感回路的电流 和转体的角速度 为状态变量（转体有两个独立的状态变量，另一个为转角）即 （ 为反电动势） 由动力系方程 第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合例7-5 如图是直流他励电动机的示意图，写出该系统在电枢由电磁感应关系 代入 关系，得到若指定角速度 为输出，则 若指定电动机的转角 为输出，则需要增加状态变量 即第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合由电磁感应关系代入 关系，得到若指定角速度 为输出，则 若

16、指输出方程为 第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合输出方程为 第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合若考虑一个单变量线性定常系统，它的运动方程是一个n阶线形常系数微分方程相应的传递函数为所谓实现问题，就是根据上二式寻求如下式的状态空间表达式 7-4状态空间表达式的建立（二）第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合若考虑一个单变量线性定常系统，它的运动方程是一个n阶线形常系注意：1、实现的存在条件是 当 时，状态空间表达式中 当 时，在这种情况下传递函数可写成2、实现并非唯一的， 可以取无穷多种形式 3、若原系统传递函数中分子和分母没有公因子，即不出现零极点对消，系统矩阵 的元素取值不同，

17、但其特征根是相同的。通常把这种没有零极点对消的传递函数的实现称之为最小实现。 第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合注意：1、实现的存在条件是 当 时，状态空间表达式中 当一、传递函数中没有零点时的实现（即没有输入系数项）在这种情况下，系统的微分方程为 相应的传递函数为（7-22） （7-23）将(7-22)移项，并两端同除以第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合一、传递函数中没有零点时的实现（即没有输入系数项）相应的传递令则输出方程为 第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合令则输出方程为 第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合表示成矩阵形式为 上述 A阵为友矩阵，即主对角线上方元素为

18、1；最后一行元素可取任意值；其余元素均为零。第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合表示成矩阵形式为 上述 A阵为友矩阵，即主对角线上方元素为1例7-6 系统的输入输出微分方程为 写出其状态空间表达式。传递函数标准形式解：对比标准形式，故 第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合例7-6 系统的输入输出微分方程为 写出其状态空间表达式。传 故状态方程为 输出为 二、传递函数中有零点时的实现（即方程中包含输入函数的系数）此时，系统的微分方程为第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合 故状态方程为 输出为 二、传递函数中有零点时的实现（即相应地，系统传递函数为实现一：为了说明方便，又不失一般性，这

19、里先从三阶微分方程出发，如待实现的系统传递函数为 即第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合相应地，系统传递函数为实现一：为了说明方便，又不失一般性，这该式可分解为 令 则 即原传递函数 可分解为以下二式： 由1得， 第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合该式可分解为 令 则 即原传递函数 可分解为以下二式： 由可由上面“1中没有输入系数项命题”求得状态方程及它的输入方程 由2式取拉氏反变换求输出方程第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合可由上面“1中没有输入系数项命题”求得状态方程及它的输入方程或表示为 其模拟结构图可仿上“1”，只是输出不同罢了。第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合

20、或表示为 其模拟结构图可仿上“1”，只是输出不同罢了。第七章第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合对于 n 阶系统类似地有 对于“1”可见两者状态方程式相同，不同的是输出方程。因此，可根据传递函数中系数写出状态空间表达式。第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合对于 n 阶系统类似地有 对于“1”可见两者状态方程式相同，实现二：书中的方法是图1-15将所有系数项等效地处理一个无系数的如此按“1”中方法求解，然后令图1-16（a）和图1-15等效，再将图1-16（a）等效变换成图1-16（b），因图1-16（b）和图1-15等效，并结构完全相同，求得传递

21、函数后，故可求得本题也可直接用数学方法求得。 取状态变量为输出 和输入 的多阶导数的适当组合 第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合实现二：书中的方法是图1-15将所有系数项等效地处理一个无系取分别用 乘上式中的前 项，并移项得第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合取分别用 乘上式中的前 项，并移项得第七章 线性定常系统的状上式左端相加后，即为线性微分方程的左端，因此， 上式右端相加后，也应等于线性微分方程的右端。 第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合上式左端相加后，即为线性微分方程的左端，因此， 上式右端相加即 如 则自然就有 等式 第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合即 如 则

22、自然就有 等式 第七章 线性定常系统的状态空间分或记为 系统状态空间表达式为 第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合或记为 系统状态空间表达式为 第七章 线性定常系统的状态空间注意到上*式 再令状态变量中第一式 得， 第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合注意到上*式 再令状态变量中第一式 即 第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合即 第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合例7-7 已知系统的输入输出微分方程为 ，试写出其状态空间表达式。解：由微分方程得 第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合例7-7 已知系统的输入输出微分方程为 ，试写出其状态空状态方程表达式为 第七章 线性定常系

23、统的状态空间分析与综合状态方程表达式为 第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合三、多输入-多输出系统微分方程的实现简介（举例） 以双输入双输出的三阶系统为例，设系统的微分方程为 注：虽然第一式导数最高阶为2，但式中为求得 ，需要对第一式求导 原式可写为 对每一个方程积分 第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合三、多输入-多输出系统微分方程的实现简介（举例） 以双由上面式子，可得模拟结构图（注意一次积分相当一个积分器，两次积分相当两个积分器） 第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合由上面式子，可得模拟结构图（注意一次积分相当一个积分器，两次第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合第七章 线

24、性定常系统的状态空间分析与综合取每一个积分器的输出为一个状态变量，如图，则根据模拟结构图可列出一种实现，输出： 写成矩阵形式： 第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合取每一个积分器的输出为一个状态变量，如图，则根据模拟结构图可第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合 7-5 状态向量的线性变换（坐标变换）一、系统状态空间表达式的非唯一性 对于任意状态变量 为什么要进行线性变换？说明状态变量不同，但实际可以通过线性交换互相转换；交换成标准形式可使后面的研究简化。选择不同的状态变量，可以得到不同的状态空间表达式。实质上不同的状态变量可以通过非奇异交换实现。

25、 设系统为，我们可以找到一个非奇异矩阵（满秩），通过线性变换，将 变换为 第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合 7-5 状态向量的线性变换（坐标变换）一、系统状态空间表 左边乘 ，即得因 为 任意非奇异矩阵，故状态空间表达式非唯一。新的状态空间表达式令 即 为变换矩阵（ 为非奇异阵， 存在） 代入原状态空间表达式得第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合 左边乘 ，即得因 为 任意非奇异矩阵，故状态空间表达例7-8 若系统状态空间表达式为 即 解：若取变换矩阵 则变换后的状态矢量将为 即 亦即新的状态变量 、 是原始状态变量 的线性组合。 第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合例7-8

26、若系统状态空间表达式为 即 解：若取变换矩阵 则变又 从而得交换后的状态空间表达式为第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合又 从而得交换后的状态空间表达式为第七章 线性定常系统的状态书本2）、3）举了其他交换矩阵下（我们也可举出任意的非奇异矩阵），可以得到不同的状态空间表达式。第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合书本2）、3）举了其他交换矩阵下（我们也可举出任意的非奇异矩二、系统特征值的不变性及系统的不变量1、系统特征值的概念 系统 的特征值，也即特征方程： 系统特征值就是系统矩阵 的根。 若 方阵 有n个特征值； 实际物理系统中，A为实数方阵，故特征值或为实数，或为成对 共轭复数； A

27、为是实数对称方阵，则其特征值都是实数。 第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合二、系统特征值的不变性及系统的不变量的特征值，也即特征方程：2、系统的不变量与特征值的不变性定理：系统 经非奇异变换后（交换阵为 ），其特征值不变，且特征多项式的系数 也不改变。 证明： 设变换矩阵 为非奇异，则系统可变换为其特征方程为 而 第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合2、系统的不变量与特征值的不变性经非奇异变换后（交换阵为 ）将特征方程写成多项式形式 而特征多项式的系数 唯一地确定，而特征值经非奇异变换是不变的，即这些系数 也是不变的量。所以称特征多项式的系数为系统的不变量。设 3、特征变量为 的一个

28、特征值，若存在等个非零矢量 ，满足 ，则称 为 的对应于 的特征矢量。 第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合将特征方程写成多项式形式 而特征多项式的系数 唯一地确定，而例7-9 试求 的特征矢量。 解： 的特征方程为即 解之 对应于 的特征矢量 第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合例7-9 试求 的特征矢量。 解： 的特征方程为即 解之 设 ，按特征矢量定义 则有 亦即 解之得 第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合设 ，按特征矢量定义 则有 亦即 解之得 第七章 线性定常系令于是 同理，可以算出对应于时的特征矢量对应于时的特征矢量第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合令于是 同理

29、，可以算出对应于时的特征矢三、状态空间表达式变换为对角线标准型和约旦标准型 定理：对于线性定常系统，如果其特征值 是两两相异的，1、系数矩阵A具有任意形式经过变换， 化为 则必存在非奇异矩阵T，经过变换，状态方程化为对角线标准型。第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合三、状态空间表达式变换为对角线标准型和约旦标准型 定理：对于其中 如果特征值包含有q个重根时，则将状态方程化为约旦标准型第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合 证明：先证特征值无重根 设是 A 的 n 个互异特征根 ， 是 A 对应于这些特征值的特征矢量。 由于特征值 互异，故特征矢量 线性无关。它们构成的矩阵 必为非奇异，即 存在。 由特征矢量的意义： 第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合 证明：先证特征值无重根第七章 线性定常系统的状态空间分两端左乘得到：从而，证得经非奇异矩阵T变换后，系统矩阵为对角矩阵第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合两端左乘得到：从而，证得经非奇异矩阵T第七章 线性定常系统的 7-5 状态向量的线性变换（坐标变换）当 A 的特征值包含 q 个重根时不加证明地给出变换矩阵 T ：其中， 是对应于 (n-q) 个单根的特征矢量，求法同前，对应于 q个 重根的各向量 的求得，应根据下式计算