【八年级数学】《勾股定理》全章复习与巩固提高-教师讲义

1、中 正 教 育 教 师 辅 导 讲 义年 级： 八年级 课 时 数：3 学员姓名： 辅导科目： 数学 学科教师：课程主题 勾股定理全章复习与巩固 提高授课类型T 课本同步C 专题辅导T 应用能力提升授课日期时段年 月 日 段（ ：00- ：00）学习目标1.了解勾股定理的历史，掌握勾股定理的证明方法；2.理解并掌握勾股定理及逆定理的内容；3.能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题.教学内容 【知识网络】【要点梳理】要点一、勾股定理1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.（即：） 2.勾股定理的应用 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用

2、是：（1）已知直角三角形的两边，求第三边；（2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题；（3）解决与勾股定理有关的面积计算；（4）勾股定理在实际生活中的应用要点二、勾股定理的逆定理1.勾股定理的逆定理如果三角形的三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.要点诠释：应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤：（1）首先确定最大边，不妨设最大边长为；（2）验证：与是否具有相等关系： 若，则ABC是以C为90的直角三角形； 若时，ABC是锐角三角形；若时，ABC是钝角三角形 2.勾股数满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定

3、是直角三角形.要点诠释：常见的勾股数：3、4、5； 5、12、13；8、15、17；7、24、25；9、40、41.如果()是勾股数，当t为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.观察上面的、四组勾股数，它们具有以下特征：1.较小的直角边为连续奇数；2.较长的直角边与对应斜边相差1.3.假设三个数分别为，且，那么存在成立.（例如中存在2425、4041等）要点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关. 类型一、勾股定理及逆定理的简单应用1、已

4、知直角三角形的两边长分别为6和8，求第三边的平方长【答案与解析】解：设第三边为当为斜边时，由勾股定理得当为直角边时，由勾股定理，得所以这个三角形的第三边的平方为100或28【总结升华】题中未说明第三边是直角边还是斜边，应分类讨论，本题容易误认为所求的第三边为斜边举一反三：【变式】在ABC中，AB15，AC13，高AD12求ABC的周长【答案】解：在RtABD和RtACD中，由勾股定理，得 同理 当ACB90时，BCBDCD954 ABC的周长为：ABBCCA1541332当ACB90时，BCBDCD9514 ABC的周长为：ABBCCA15141342综上所述：ABC的周长为32或422、如图

5、所示，ABC中，ACB90，ACCB，M为AB上一点求证：【思路点拨】欲证的等式中出现了AM2、BM2、CM2，自然想到了用勾股定理证明，因此需要作CDAB【答案与解析】证明：过点C作CDAB于D ACBC，CDAB， ADBD ACB90， CDADDB 在RtCDM中， 【总结升华】欲证明线段平方关系问题，首先联想勾股定理，从图中寻找或作垂线构造包含所证线段的直角三角形，利用等量代换和代数中的恒等变换进行论证举一反三：【变式】已知ABC中，ABAC，D为BC上任一点，求证：.【答案】 解：如图，作AMBC于M，ABAC，BMCM,则在RtABM中：在RtADM中：由得： （MCDM）BDC

6、DBD类型二、勾股定理及逆定理的综合应用3、已知如图所示，在ABC中，ABAC20，BC32，D是BC上的一点，且ADAC，求BD的长【思路点拨】由于BD所在的ABD不是直角三角形，不易直接求出BD的长，且ACD尽管是直角三角形，但AD的长是未知的，因而不能确定CD的长.过点A作AEBC于E，这时可以从RtABE与RtADE、RtADC中，运用勾股定理可求得AE、DE的长，从而求出BD的长【答案与解析】解：过点A作AEBC于E ABAC， BEECBC16在RtABE中，AB20，BE16， ， AE12，在RtADE中，设DE，则， ADAC， ，而解得：9 BDBEDE1697【总结升华】

7、勾股定理的作用是：已知直角三角形的两边可以求第三边，所以求直角三角形的边长时应该联想到勾股定理 4、如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA，PB，PC，以BP为边作PBQ=60，且BQ=BP，连结CQ(1)观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论(2)若PA：PB：PC=3：4：5，连结PQ，试判断PQC的形状，并说明理由【答案与解析】解：(1)猜想：AP=CQ 证明：在ABP与CBQ中， AB=CB，BP=BQ，ABC=PBQ=60 ABP=ABC-PBC=PBQ-PBC=CBQ ABPCBQ AP=CQ(2)由PA：PB：PC=3：4：5 可设PA=3a，PB=4a，PC=

8、5a 连结PQ，在PBQ中，由于PB=BQ=4a，且PBQ=60 PBQ为正三角形 PQ=4a 于是在PQC中， PQC是直角三角形【总结升华】本题的关键在于能够证出ABPCBQ，从而达到线段转移的目的，再利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状举一反三：【变式】如图所示，在ABC中，D是BC边上的点，已知AB13，AD12，AC15，BD5，求DC的长【答案】解：在ABD中，由可知：，又由勾股定理的逆定理知ADB90在RtADC中，5、如果ABC的三边分别为，且满足，判断ABC的形状.【答案与解析】解：由，得 ： , .由勾股定理的逆定理得：ABC是直角三角形.【总结升华】勾股定理的逆定理是通过

9、数量关系来研究图形的位置关系的,在证明中经常要用到.类型三、勾股定理的实际应用6、如图，一只蚂蚁在长方体木块的一个顶点A处，食物在这个长方体上和蚂蚁相对的顶点B处，蚂蚁急于吃到食物，所以沿着长方体的表面向上爬，请你计算它从A处爬到B处的最短路线长为多少?【思路点拨】将长方体表面展开，由于蚂蚁是沿长方体木块的表面爬行，且长方体木块底面是正方形，故它爬行的路径有两种情况【答案与解析】 解：如图所示因为两点之间线段最短，所以最短的爬行路程就是线段AB的长度 在图中，由勾股定理，得 在图中，由勾股定理，得 因为130100，所以图中的AB的长度最短，为10，即蚂蚁需要爬行的最短路线长为10【总结升华】

10、解本题的关键是正确画出立体图形的展开图，把立体图形上的折线转化为平面图形上的直线，再运用勾股定理求解 举一反三：【变式】如图，有一个圆柱体，它的高为20，底面半径为5如果一只蚂蚁要从圆柱体下底面的A点，沿圆柱表面爬到与A相对的上底面B点，则蚂蚁爬的最短路线长约为_.(取3)【答案】25； 一选择题1. 如图，ABC中，D为AB中点，E在AC上，且BEAC若DE=10，AE=16，则BE的长度为（）A10 B11 C12 D132 如图所示，折叠长方形ABCD一边，点D落在BC边的点F处，若AB8，BC10，EC的长为（ ）A3 B4 C5 D63如图，长方形AOBC中，AO=8，BD=3，若将

11、矩形沿直线AD折叠，则顶点C恰好落在边OB上E处，那么图中阴影部分的面积为（ ）A.30 B32 C34 D16 4如图，已知ABC中，ABC90,ABBC，三角形的顶点在相互平行的三条直线，上，且，之间的距离为2 , ，之间的距离为3 ,则的值是（ ）A68 B20 C32 D475在ABC中，AB15，AC13，高AD12,则ABC的周长为（ ）A42 B32 C42或32 D37或336如图，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约为（）A600m B500m C400m D300m二填空题7若

12、一个直角三角形的两边长分别为12和5，则此三角形的第三边的平方为_8 将一根长为15cm的很细的木棒置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形杯中，木棒露在杯子外面的部分长度x的范围是 9如图，在的正方形网格中，以AB为边画直角ABC，使点C在格点上，这样的点C共 个10我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为a、b，那么（a+b）2的值是_11已知长方形ABCD，AB3，AD4，过对角线BD的中点O做BD的垂直平分线EF，分别交AD、BC于点E、F，则A

13、E的长为_12在直线上依次摆着7个正方形(如图)，已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1，2，3，水平放置的4个正方形的面积是则_ 三解答题13如图，DE分别是ABC的边BC和AB上的点，ABD与ACD的周长相等，CAE与CBE的周长相等设BC=a，AC=b，AB=c（1）求AE和BD的长；（2）若BAC=90，ABC的面积为S，求证：S=AEBD14现有10个边长为1的正方形，排列形式如左下图, 请把它们分割后拼接成一个新的正方形要求： 在左下图中用实线画出分割线, 并在右下图的正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形15由于过度采伐森林和破坏植被，我国部分地

14、区频频遭受沙尘暴的侵袭近日，A城气象局测得沙尘暴中心在A城的正西方向240km的B处，以每时12km的速度向北偏东60方向移动，距沙尘暴中心150km的范围为受影响区域（1）A城是否受到这次沙尘暴的影响？为什么？（2）若A城受这次沙尘暴影响，那么遭受影响的时间有多长？【答案与解析】一选择题1. 【答案】12【解析】BEAC，AEB是直角三角形，D为AB中点，DE=10，AB=20，AE=16，,所以BE=12.2【答案】A【解析】设CE，则DE(8)在RtABF中，由勾股定理，得BF2，BF=6 FC1064()在RtEFC中，由勾股定理，得，即解得即EC的长为33【答案】A 【解析】由题意C

15、DDE5，BE4，设OE，AEAC，所以，阴影部分面积为4【答案】A【解析】如图，分别作CD交于点E，作AF，则可证AFBBDC，则AF3BD, BFCD235，DF538AE，在直角AEC中，勾股定理得5【答案】C【解析】高在ABC内部，第三边长为14；高在ABC外部，第三边长为4，故选C6【答案】B 【解析】易证ABCDEA, EA=BC=300m，在RtABC中，AC=500m，CE=AC-AE=200，从B到E有两种走法：BA+AE=700m；BC+CE=500m，最近的路程是500m二填空题7【答案】13或119；【解析】没有指明这两边为直角边，所以要分类讨论，12也可能是斜边8【答

16、案】2cmx3cm；【解析】由题意可知BC=5cm，AC=12cm，AB=13cm当木棒垂直于底面时露在杯子外面的部分长度最长为，15-AC=15-12=3cm，当木棒与AB重合时露在杯子外面的部分长度最短为15-AB=15-13=2cm.9【答案】8；【解析】如图所示：有8个点满足要求10【答案】25；【解析】根据题意，结合勾股定理a2+b2=13，四个三角形的面积=4ab=131，2ab=12，联立解得：（a+b）2=13+12=2511【答案】；【解析】连接BE，设AE，BEDE，则，12【答案】4； 【解析】，故三解答题13【解析】（1）解：ABD与ACD的周长相等，BC=a，AC=b，AB=c，AB+BD=AC+CD = BD=c = ，同理AE