广东省梅州市五福中学高三数学理期末试卷含解析

1、广东省梅州市五福中学高三数学理期末试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设l，m，n为不重合的三条直线，其中直线m，n在平面内，则“l”是“lm且ln”的 A充要条件 B充分不必要条件 C既不充分也不必要条件 D必要不充分条件 参考答案：B2. 已知定义在R上的函数满足f（1）=2，且f（x）的导数f（x）在R上恒有f（x）1（xR），则不等式f（x）x+1的解集为（）A（1，+）B（，1）C（1，1）D（，1）（1，+）参考答案：A【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】由题意，设g（x）=f（x）（x+1），

2、xR；求出g（x），判定g（x）的单调性，由此求出不等式f（x）x+1的解集【解答】解：根据题意，设g（x）=f（x）（x+1），xR；g（x）=f（x）10，g（x）在R上是单调减函数；又g（1）=f（1）（x+1）=0，当x1时，g（x）0恒成立，即f（x）x+1的解集是（1，+）故选：A3. 设点O是面积为4的ABC内部一点，且有+2=，则AOC的面积为（）A2B1CD参考答案：B【考点】向量的加法及其几何意义【分析】利用向量的运算法则：平行四边形法则得到O是AB边的中线的中点，得到三角形面积的关系【解答】解：设AB的中点为D，+2=，O为中线CD的中点，AOC，AOD，BOD的面积相等

3、，AOC与AOB的面积之比为1：2，同理BOC与A0B的面积之比为1：2，A0C是ABC面积的，A0C的面积为1故选B4. 已知集合，则为( )A.B.C.D.参考答案：D5. 在复平面内，复数对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限参考答案：B【考点】A5：复数代数形式的乘除运算【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数，求出在复平面内，复数对应的点的坐标，则答案可求【解答】解： =，在复平面内，复数对应的点的坐标为：（，），位于第二象限故选：B6. 等比数列an中的a1，a2015是函数f（x）=x34x2+4x1的极值点，则log2a1+log2a2+log2a201

4、5=（）A4032B4030C2016D2015参考答案：D【考点】利用导数研究函数的极值【专题】转化思想；综合法；导数的综合应用【分析】利用对数函数的运算性质与等比数列的性质即可求的log2a1+log2a2+log2a2015的值【解答】解：f（x）=x28x+4，a1、a2015是函数f（x）的极值点，a1、a2015是方程x28x+4=0的两实数根，则a1?a2015=4，a1008=2，log2a1+log2a2+log2a2015=2015，故选：D【点评】本题考查对数函数的运算性质与等比数列的性质，得到a1?a2?a2015是=关键，属于中档题7. 已知两点A（l，2），B（4，

5、2），则与向量共线的单位向量是（）A（3，4）B（3，4），（3，4）C（，一）D（，一），（一，）参考答案：D【考点】单位向量【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用【分析】利用向量的坐标公式求出向量的坐标；利用向量共线的充要条件及单位向量的定义列出方程组，求出值【解答】解： =（3，4），设与共线的单位向量是（x，y），则有，解得或，故选：D【点评】本题考查向量的坐标公式、向量共线的充要条件、单位向量的定义8. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说，你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩，看后甲对大家说：我还是不知道

6、我的成绩，根据以上信息，则A.乙可以知道四人的成绩 B.丁可能知道四人的成绩C.乙、丁可以知道对方的成绩 D.乙、丁可以知道自己的成绩参考答案：D由甲的说法可知乙、丙一人优秀一人良好，则甲丁一人优秀一人良好，乙看到丙的结果则知道自己的结果，丁看到甲的结果则知道自己的结果，故选D.9. 已知,分别是双曲线:()的左右两个焦点,若在双曲线上存在点使,且满足,那么双曲线的离心率为( )A. B. C. D. 参考答案：A10. 已知x0，y0，若恒成立，则实数m的取值范围是Am4或m2 Bm2或m4 C2m4 D4m2参考答案：D二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知单位向量

7、的夹角为，若，如图，则叫做向量的坐标，记作，有以下命题：已知，则；若，则；若，则；若， ，且三点共线，则。上述命题中正确的有（将你认为正确的都写上）参考答案：略12. （理）.已知函数任取记函数在区间上的最大值为最小值为则函数的值域为 参考答案：13. 如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第行有个数，且第行两端的数均为，每个数都是它下一行左右相邻两数的和，如，则第行第个数（从左往右数）为_参考答案：14. 向量与满足，且，则 参考答案：15. 过原点作曲线的切线，则切线的方程为 .参考答案：【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程B11 【答案解析】y=ex

8、 解析：y=ex，设切点的坐标为（x0，ex0），切线的斜率为k，则k=ex0，故切线方程为yex0=ex0（xx0），又切线过原点，ex0=ex0（x0），x0=1，y0=e，k=e则切线方程为y=ex，故答案为y=ex【思路点拨】欲求切点的坐标，先设切点的坐标为（ x0，ex0），再求出在点切点（ x0，ex0）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=x0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率最后利用切线过原点即可解决问题16. 考察下列一组不等式：23+5322?5+2?52，24+5423?5+2?53，25+5523?52+22?53，将上述不等式在

9、左右两端仍为两项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式可以是 参考答案：2n+5n2nk5k+2k5nk，n3，1kn【考点】F1：归纳推理【分析】题目中的式子变形得22+1+52+122?51+21?52（1）23+1+53+123?51+21?53（2）观察会发现指数满足的条件，可类比得到2m+n+5m+n2m5n+2n5m，使式子近一步推广得2n+5n2nk5k+2k5nk，n3，1kn【解答】解：22+1+52+122?51+21?52（1）23+1+53+123?51+21?53（2）观察（1）（2）（3）式指数会发现规律，则推广的不等式可以是：2n+

10、5n2nk5k+2k5nk，n3，1kn故答案为：2n+5n2nk5k+2k5nk，n3，1kn17. 某普通高中有3000名学生，高一年级800名，男生500名，女生300名；高二年级1000名，男生600名，女生400名；高三年级1200名，男生800名，女生400名，现按年级比例用分层抽样的方法抽取150名学生，则在高三年级抽取的女生人数为_参考答案：20略三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. （14分）已知函数f（x）=（a）x2+lnx（aR）（1）当a=0时，求f（x）在x=1处的切线方程；（2）若在区间（1，+）上，函数f（x）的图

11、象恒在直线y=2ax下方，求a的取值范围；（3）设g（x）=f（x）2ax，h（x）=x22bx+当a=时，若对于任意x1（0，2），存在x21，2，使g（x1）h（x2），求实数b的取值范围参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值 【专题】分类讨论；分类法；导数的概念及应用；导数的综合应用【分析】（1）求出f（x）的导数，求得切线的斜率和切点，可得切线的方程；（2）令，由题意可得g（x）0在区间（1，+）上恒成立求出g（x）的导数，对a讨论，若，若，判断单调性，求出极值点，即可得到所求范围；（3）由题意可得任意x1（0，2），存

12、在x21，2，只要g（x1）maxh（x2）max，运用单调性分别求得g（x）和h（x）的最值，解不等式即可得到所求b的范围【解答】解：（1）f（x）=x2+lnx的导数为f（x）=x+，f（x）在x=1处的切线斜率为0，切点为（1，），则f（x）在x=1处的切线方程为；（2）令，则g（x）的定义域为（0，+）在区间（1，+）上，函数f（x）的图象恒在直线y=2ax下方等价于g（x）0在区间（1，+）上恒成立.若，令g（x）=0，得极值点x1=1，当x2x1=1，即时，在（0，1）上有g（x）0，在（1，x2）上有g（x）0，在（x2，+）上有g（x）0，此时g（x）在区间（x2，+）上是增函

13、数，并且在该区间上有g（x）（g（x2），+），不合题意；当x2x1=1，即a1时，同理可知，g（x）在区间（1，+）上，有g（x）（g（1），+），也不合题意；若，则有2a10，此时在区间（1，+）上恒有g（x）0，从而g（x）在区间（1，+）上是减函数；要使g（x）0在此区间上恒成立，只须满足，由此求得a的范围是，综合可知，当a，时，函数f（x）的图象恒在直线y=2ax下方（3）当时，由（）中知g（x）在（0，1）上是增函数，在（1，2）上是减函数，所以对任意x1（0，2），都有，又已知存在x21，2，使g（x1）h（x2），即存在x21，2，使，即存在x21，2，即存在x21， 2，使因

14、为，所以，解得，所以实数b的取值范围是【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调性，考查不等式恒成立问题及任意性和存在性问题，注意转化为求最值问题，考查运算能力，属于中档题19. 如图，在七面体ABCDMN中，四边形ABCD是边长为2的正方形，平面ABCD，平面ABCD，且MD =2，NB=1，MB与ND交于P点（1）在棱AB上找一点Q，使QP / 平面AMD ，并给出证明；（2）求平面BNC与平面MNC所成锐二面角的余弦值参考答案：（）当时，有/平面AMD.证明：MD平面ABCD，NB平面ABCD，MD/NB，又，在中，QP/AM，又面AMD，AM面AMD，/ 面AMD.（）解：以DA、

15、DC、DM所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则D（0,0,0），B（2,2,0），C（0,2,0），M（0,0,2）N（2,2,1），=（0,-2,2），=（2,0,1），=（0,2,0），设平面CMN的法向量为=（x,y,z）则，=（1,-2,-2）.又NB平面ABCD，NBDC，BCDC，DC平面BNC，平面BNC的法向量为=（0,2,0），设所求锐二面角为，则.略20. 已知函数f（x）=|2xa|+|2x+3|，g（x）=|x1|+2（1）解不等式g（x）|x2|+2；（2）若对任意x1R都有x2R，使得f（x1）=g（x2）成立，求实数a的取值范围参考答案：【考点】

16、R5：绝对值不等式的解法；R4：绝对值三角不等式【分析】（1）问题转化为|x1|x2|，然后求解不等式即可（2）利用条件说明y|y=f（x）?y|y=g（x），通过函数的最值，列出不等式求解即可【解答】解：（1）由g（x）|x2|+2，得：|x1|x2|，两边平方得：x22x+1x24x+4，解得：x，故不等式的解集是x|x；（2）因为任意x1R，都有x2R，使得f（x1）=g（x2）成立，所以y|y=f（x）?y|y=g（x），又f（x）=|2xa|+|2x+3|（2xa）（2x+3）|=|a+3|，g（x）=|x1|+22，所以|a+3|2，解得a1或a5，所以实数a的取值范围为a1或a521. （本小题满分12分）在ABC中，、所对的边分别是a、b、c，设平面向量，且。(I)求cos2A的值；()若a=2，则ABC的周长L的取值范围。参考答案：22. 已知椭圆W：（ab0）的上下顶点分别为A，B，且点B（0，1）F1，F2分别为椭圆W的左、右焦点，且F1BF