(新高考)高考数学一轮复习考点复习讲义第34讲《等差数列及其前n项和》（讲）（解析版）

1、第34讲 等差数列及其前n项和（讲）思维导图知识梳理1等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列这个常数叫做等差数列的公差，符号表示为an1and(nN*，d为常数) (2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是Aeq f(ab,2)，其中A叫做a，b的等差中项2等差数列的有关公式(1)通项公式：ana1(n1)dnd(a1d)当d0时，an是关于n的一次函数(2)前n项和公式：Sneq f(na1an,2) eq o(,sup7(ana1n1d)Snna1eq f(nn1,2)deq f(d,2)n2eq

2、blc(rc)(avs4alco1(a1f(d,2)n当d0时，Sn是关于n的二次函数，且没有常数项常用结论已知an为等差数列，d为公差，Sn为该数列的前n项和(1)通项公式的推广：anam(nm)d(n，mN*)(2)在等差数列an中，当mnpq时，amanapaq(m，n，p，qN*)特别地，若mn2p，则2apaman(m，n，pN*)(3)ak，akm，ak2m，仍是等差数列，公差为md(k，mN*)(4)Sn，S2nSn，S3nS2n，也成等差数列，公差为n2d.(5)若an，bn是等差数列，则panqbn也是等差数列(6)若an是等差数列，则eq blcrc(avs4alco1(f

3、(Sn,n)也成等差数列，其首项与an首项相同，公差是an公差的eq f(1,2).(7)若项数为偶数2n，则S2nn(a1a2n)n(anan1)；S偶S奇nd；eq f(S奇,S偶)eq f(an,an1).(8)若项数为奇数2n1，则S2n1(2n1)an；S奇S偶an；eq f(S奇,S偶)eq f(n,n1).(9)在等差数列an中，若a10，d0，则满足eq blcrc (avs4alco1(am0，,am10)的项数m使得Sn取得最大值Sm；若a10，则满足eq blcrc (avs4alco1(am0，,am10)的项数m使得Sn取得最小值Sm.题型归纳题型1 等差数列的基本运

4、算【例1-1】（2020春新华区校级期末）在等差数列 SKIPIF 1 0 中，若 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，则公差 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C3D SKIPIF 1 0 【分析】利用等差数列的通项公式直接求解【解答】解：因为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 故选： SKIPIF 1 0 【例1-2】（2020春黄冈期末）若等差数列 SKIPIF 1 0 满足 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，则数列 SKIPIF 1 0 的首项 SKI

5、PIF 1 0 SKIPIF 1 0 A20B SKIPIF 1 0 C22D SKIPIF 1 0 【分析】利用等差数列的通项公式列出方程组，能求出数列 SKIPIF 1 0 的首项 SKIPIF 1 0 【解答】解： SKIPIF 1 0 等差数列 SKIPIF 1 0 满足 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 数列 SKIPIF 1 0 的首项 SKIPIF 1 0 故选： SKIPIF 1 0 【例1-3】（2020春乐山期末）已知等差数列 SKIP

6、IF 1 0 中， SKIPIF 1 0 ，公差 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 与 SKIPIF 1 0 的等差中项为 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D6【分析】根据等差中项的定义即可得出 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 的等差中项为 SKIPIF 1 0 ，然后根据等差数列的通项公式即可得出 SKIPIF 1 0 的值【解答】解： SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 与 SKIPIF 1 0 的等差中项为 SKIPIF 1 0 故选

7、： SKIPIF 1 0 【跟踪训练1-1】（2020春合肥期末）若 SKIPIF 1 0 为等差数列， SKIPIF 1 0 是数列 SKIPIF 1 0 前 SKIPIF 1 0 项和， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，则该数列的公差 SKIPIF 1 0 为 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A21B2C3D4【分析】由等差数列的前 SKIPIF 1 0 项和公式即可得出 SKIPIF 1 0 ，然后解出 SKIPIF 1 0 即可【解答】解：根据等差数列的前 SKIPIF 1 0 项和公式得： SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 故选： SK

8、IPIF 1 0 【跟踪训练1-2】（2020春资阳期末）已知等差数列 SKIPIF 1 0 的公差为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A2B3C6D9【分析】由题意利用等差数列的性质，求得 SKIPIF 1 0 的值【解答】解：等差数列 SKIPIF 1 0 的公差为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，故选： SKIPIF 1 0 【跟踪训练1-3】（2020春常德期末）等差数列 SKIPIF 1 0 中，

9、 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A14B17C20D23【分析】由题意利用等差数列的通项公式，求出首项和公差，可得 SKIPIF 1 0 的值【解答】解：等差数列 SKIPIF 1 0 中， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ，故选： SKIPIF 1 0 【名师指导】等差数列基本运算的常见类型及解题策略(1)求公差d或项数n.在求解时，一般要运用方程思想(2)求通项a1和d是等差数列的两个基本元素(3)求特定项利用等差数列的通项公式

10、或等差数列的性质求解(4)求前n项和利用等差数列的前n项和公式直接求解或利用等差中项间接求解题型2 等差数列的判定与证明【例2-1】（2020山东模拟）已知数列 SKIPIF 1 0 ，且 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 求证：数列 SKIPIF 1 0 是等差数列，并求 SKIPIF 1 0 ； SKIPIF 1 0 令 SKIPIF 1 0 ，求数列 SKIPIF 1 0 的前 SKIPIF 1 0 项和 SKIPIF 1 0 【分析】 SKIPIF 1 0 对 SKIPIF 1 0 两边同时减去1，整理得到 SKIPIF 1 0 ，然后两边同时取倒数得到 SKIPIF 1 0

11、 ，即 SKIPIF 1 0 ，进而可证数列 SKIPIF 1 0 是等差数列，结合等差数列的定义可得到 SKIPIF 1 0 ，整理即可得到 SKIPIF 1 0 的表达式 SKIPIF 1 0 先根据 SKIPIF 1 0 中的 SKIPIF 1 0 的表达式表示出 SKIPIF 1 0 ，然后根据数列求和的裂项法求得答案【解答】解： SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 故 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 数列 SKIPIF 1 0 是公差为 SKIPIF 1 0 的等差数列而 SKIPIF 1 0 ，

12、SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 由 SKIPIF 1 0 知 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 故 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 【跟踪训练2-1】（2020春天心区校级期末）已知等差数列的前三项依次为 SKIPIF 1 0 ，4， SKIPIF 1 0 ，前 SKIPIF 1 0 项和为 SKIPIF 1 0 ，且 SKIPIF 1 0 （1）求 SKIPIF

13、1 0 及 SKIPIF 1 0 的值（2）已知数列 SKIPIF 1 0 满足 SKIPIF 1 0 ，证明数列 SKIPIF 1 0 是等差数列，并求其前 SKIPIF 1 0 项和 SKIPIF 1 0 【分析】（1）设该等差数列为 SKIPIF 1 0 ，由等差中项可得 SKIPIF 1 0 的方程，解得 SKIPIF 1 0 ，可得首项、公差，再由求和公式可得 SKIPIF 1 0 ；（2）运用等差数列的定义和通项公式、求和公式，即可得到所求结论【解答】解：（1）设该等差数列为 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，由

14、已知有 SKIPIF 1 0 ，得 SKIPIF 1 0 ，公差 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，由 SKIPIF 1 0 ，得 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 （舍去），故 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ；（2）证明：由（1）得 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ，故 SKIPIF 1 0 ，即数列 SKIPIF 1 0 是首项为2，公差为1的等差数列，所以 SKIPIF 1 0 【名师指导】等差数列的四个判定方法(1)定义法：证明对任意正整数n都有an1an等于同一个常数(2)等差中项法：

15、证明对任意正整数n都有2an1anan2后，可递推得出an2an1an1ananan1an1an2a2a1，根据定义得出数列an为等差数列(3)通项公式法：得出anpnq后，得an1anp对任意正整数n恒成立，根据定义判定数列an为等差数列(4)前n项和公式法：得出SnAn2Bn后，根据Sn，an的关系，得出an，再使用定义法证明数列an为等差数列 题型3 等差数列的性质及应用【例3-1】（2020春赤峰期末）在等差数列 SKIPIF 1 0 中， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A8B9C10D11【分析】根据等差数列的性质可

16、得： SKIPIF 1 0 ，即可求出【解答】解： SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ，故选： SKIPIF 1 0 【例3-2】（2020春南岗区校级期末）设等差数列 SKIPIF 1 0 的前 SKIPIF 1 0 项和为 SKIPIF 1 0 ，若 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A27B33C36D45【分析】由题意利用等差数列的性质，求出 SKIPIF 1 0 的值【解答】解： SKIPIF 1 0 等差数列 SKIPIF 1 0 的前 SKIPIF 1 0 项和为 SKIPIF 1 0 ，若 SKIP

17、IF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 成等差数列，故 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，求得 SKIPIF 1 0 ，故选： SKIPIF 1 0 【例3-3】（2020春运城期末）设等差数列 SKIPIF 1 0 满足： SKIPIF 1 0 ，公差 SKIPIF 1 0 ，其前 SKIPIF 1 0 项和为 SKIPIF 1 0 若数列 SKIPIF 1 0 也是等差数列，则 SKIPIF 1 0 的最小值为 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A3B2C5D6【分析】由题意可得： S

18、KIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，公差 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 可得 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 代入 SKIPIF 1 0 变形利用基本不等式的性质即可得出【解答】解：由题意可得： SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，公差 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 数列 SKIPIF 1 0 是等差数列，则 SKIPIF 1 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 0 时取等号， SKIPIF 1 0 S

19、KIPIF 1 0 的最小值为2故选： SKIPIF 1 0 【跟踪训练3-1】（2020春上高县校级期末）设等差数列 SKIPIF 1 0 前 SKIPIF 1 0 项和为 SKIPIF 1 0 ，等差数列 SKIPIF 1 0 前 SKIPIF 1 0 项和为 SKIPIF 1 0 ，若 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A SKIPIF 1 0 B11C12D13【分析】借助于等差数列下标性质和求和公式，将项的比值化为和的比值，再把 SKIPIF 1 0 的值代入计算即可【解答】解： SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 分别为等差数列 S

20、KIPIF 1 0 和 SKIPIF 1 0 的前 SKIPIF 1 0 项和，且 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，故选： SKIPIF 1 0 【跟踪训练3-2】（2020春安徽期末）在等差数列 SKIPIF 1 0 中， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D0【分析】由已知结合等差数列的性质即可直接求解【解答】解：由等差数列的性质可得， SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 故选： SKIPIF 1

21、 0 【跟踪训练3-3】（2020春蚌埠期末）已知等差数列 SKIPIF 1 0 的前 SKIPIF 1 0 项和为 SKIPIF 1 0 ，等差数列 SKIPIF 1 0 的前 SKIPIF 1 0 项和为 SKIPIF 1 0 ，若 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 【分析】根据题意，分析可得 SKIPIF 1 0 ，又由等差数列的前 SKIPIF 1 0 项和公式和等差数列的性质可得 SKIPIF 1 0 ；即可得答案【解答】解：根据题意，等差数列

22、 SKIPIF 1 0 和 SKIPIF 1 0 中，若 SKIPIF 1 0 ，则有 SKIPIF 1 0 ，又由 SKIPIF 1 0 ；故 SKIPIF 1 0 ；故选： SKIPIF 1 0 【跟踪训练3-4】（2020春马鞍山期末）在数列 SKIPIF 1 0 中，若 SKIPIF 1 0 ，则此数列前 SKIPIF 1 0 项和的最小值为 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D3【分析】令 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 进而可得此数列前 SKIPIF 1 0 项和的最小值为

23、SKIPIF 1 0 【解答】解：令 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 则此数列前 SKIPIF 1 0 项和的最小值为 SKIPIF 1 0 故选： SKIPIF 1 0 【跟踪训练3-5】（2020春沙坪坝区校级期末）已知等差数列 SKIPIF 1 0 ，其前 SKIPIF 1 0 项和为 SKIPIF 1 0 ，若 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 的最大值为 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A12B24C36D48【分析】利用等差数列通项公式求出 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，求出等差数列的前 SKIPIF 1 0 项和，由此能求出 SKIPIF 1 0 的最大值【