2022-2023年度 名师 《椭圆》导学案

1、PAGE8椭圆导学目标：1了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用2掌握椭圆的定义，几何图形、标准方程及其简单几何性质自主梳理1椭圆的概念在平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数大于|F1F2|集合2a11A1Fn0”是方程“m2ny21表示焦点在y轴上的椭圆”的A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件y2cos100，n0且mn，可以避免讨论和繁杂的计算，也可以设为A2By21A0，B0且AB，这种形式在解题中更简便2椭圆的几何性质分为两类：一是与坐标轴无关的椭圆本身固有的性质，如：长轴长、短轴长、焦距、离心率等；另一类是与坐

2、标系有关的性质，如：顶点坐标，焦点坐标等第一类性质是常数，不因坐标系的变化而变化，第二类性质是随坐标系变化而相应改变3直线与椭圆的位置关系问题它是高考的热点，通常涉及椭圆的性质、最值的求法和直线的基础知识、线段的中点、弦长、垂直问题等，分析此类问题时，要充分利用数形结合法、设而不求法、弦长公式及根与系数的关系去解决椭圆答案自主梳理1椭圆焦点焦距1ac2ac3a|AB|4点M的轨迹是以点B2,0、A2,0为焦点、线段AB中点0,0为中心的椭圆a3，c2，beqr5所求轨迹方程为eqf2,9eqfy2,51例2解题导引确定一个椭圆的标准方程，必须要有一个定位条件即确定焦点的位置和两个定形条件即确定

3、a，b的大小当焦点的位置不确定时，应设椭圆的标准方程为eqf2,a2eqfy2,b21ab0或eqfy2,a2eqf2,b21ab0，或者不必考虑焦点位置，直接设椭圆的方程为m2ny21m0，n0，且mn解1若椭圆的焦点在轴上，设方程为eqf2,a2eqfy2,b21ab0椭圆过点A3,0，eqf9,a21，a3，又2a32b，b1，方程为eqf2,9y21若椭圆的焦点在y轴上，设方程为eqfy2,a2eqf2,b21ab0椭圆过点A3,0，eqf9,b21，b3，又2a32b，a9，方程为eqfy2,81eqf2,91综上可知椭圆的方程为eqf2,9y21或eqfy2,81eqf2,912设

4、经过两点A0,2，Beqblcrcavs4alco1f1,2，r3的椭圆标准方程为m2ny21，将A，B坐标代入方程得eqblcrcavs4alco14n1,f1,4m3n1eqblcrcavs4alco1m1,nf1,4，所求椭圆方程为2eqfy2,41变式迁移2解1当椭圆的焦点在轴上时，a3，eqfc,aeqfr6,3，ceqr6，从而b2a2c2963，椭圆的标准方程为eqf2,9eqfy2,31当椭圆的焦点在y轴上时，b3，eqfc,aeqfr6,3，eqfra2b2,aeqfr6,3，a227椭圆的标准方程为eqf2,9eqfy2,271所求椭圆的标准方程为eqf2,9eqfy2,3

5、1或eqf2,9eqfy2,2712设椭圆方程为m2ny21m0，n0且mn椭圆经过n1，,3m2n1，两式联立，解得eqblcrcavs4alco1mf1,9，,nf1,3所求椭圆方程为eqf2,9eqfy2,31例3解题导引1椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|2a，|1F4c2n22mncos60mn2a，m2n2mn22mn4a22mn4c24a23mn，即3mn4a24c2又mneqblcrcavs4alco1fmn,22a2当且仅当mn时取等号，4a24c23a2eqfc2,a2eqf1,4，即eeqf1,2e的取值范围是eqblcrcavs4alco1f1,2，12证明由1知mneqf4,3b2，S1Fnsin60eqfr3,3b2，即1Fc，yMeqfb2,a，OMeqfb2,acABeqfb,a，OMAB，eqfb2,aceqfb,a，bc，故eeqfc,aeqfr2,22设|F1Q|r1，|F2Q|r2，F1QF2，r1r22a，|F1F2|2ccoseqfroal2,1