数值计算基础期末试题及解答

1、3分，共 15分）x12ALR。Aff( ) yk hf(x ,yk)yc11yk hf(x ,yk)ych(yp. . fa,b.- x103k0 A(kyk hf(x ,yp)2(ykyk hf(xk ,yp)yc)(x)A0,A ,A A(B) A 满足（(B) 某个x0)x )ypkpyp(D)yk2x21, n 0)，则称3分，共 15分）x12ALR。Aff( ) yk hf(x ,yk)yc11yk hf(x ,yk)ych(yp. . fa,b.- x103k0 A(kyk hf(x ,yp)2(ykyk hf(xk ,yp)yc)(x)A0,A ,A A(B) A 满足（(B

2、) 某个x0)x )ypkpyp(D)yk2x21, n 0)，则称 x有 4位有效数字 . 12）时，则存在唯一单位下三角阵kf (f (yk(B)yc)ykyc(yp4，则 f 满足104L0 x0)x )hf(xkycykhf(x ,yk)ykyc)1,2A1(C) 和上(C)0 0 ,n)数值计算基础考试样卷一、单项选择题（每小题1、数值 x的近似值 x*=0.1215102，若满足(A) 2、若 为矩阵 A 的 k 阶主子矩阵，则矩阵三角阵 R，使 A(A) 3、通过四个互异节点的插值多项式 P(x)，只要满足 ( ), 则 P(x)是不超过一次多项式。(A) 初始值 y0=0 (B

3、) 所有一阶均差为 0 (C) 所有二阶均差为 0 (D) 所有三阶均差为 0 4、牛顿切线法求解方程 f(x)=0 的近似根，若初始值 x0满足( )，则解的迭代数列一定收敛。(A)(C)5、改进欧拉法的平均形式公式是yp(A)ykyp(C)yk二、填空题（每小题 3分，共 15分）1、sin1有 2位有效数字的近似值 0.84的相对误差限是2、设 f(x)可导，求方程 x=f(x) 根的牛顿迭代格式是3、设4、在区间 上的插值型求积公式系数5、二阶龙格库塔法的局部截断误差是三、解答题（每小题 10 分，共 50 分）1、用列主元消去法解线性方程组-完整版学习资料分享4 01 12 062

4、3 f (x)dx Af( h) Bf(1h)，要求保留10 分，共 20 分）1(x(x1- x1x2x3的近似值，取初始值3 7 34 01 12 062 3 f (x)dx Af( h) Bf(1h)，要求保留10 分，共 20 分）1(x(x1- x1x2x3的近似值，取初始值3 7 3ynx )(xx )(x(x x )(x0 x1)593x0h2x ).(xx ).(x0(x02，进行二次迭代。 f (xn,xn)xn)(xx1)(x0yn)x0)(xx2)f (xnx1)1,.yn ，并证明该方法是二阶方法。(x(x01)x0)(xx1)(x0 x1).(xx2).(x0 xnx

5、n)1)2322、用牛顿法求3、已知有 y=f(x) 的函数表如下x 1 y 1 求其代数插值多项式并给出其余项。4、给出数值积分公式：hh确定 A、B 使得该数值积分公式的代数精度尽可能的高，并确定其代数精度为多少？5、用欧拉法解初值问题 4位有效数字。y x y(0 x 1,h 0.5)y(0) 1四、综合题（每小题1、试利用数值积分的方法推导求解初值问题的梯形公式为yn2、设 l0(x)是以 n+1个互异点 x0,x1,x2,xn 为节点的拉格朗日插值基函数l (x)试利用牛顿插值法证明：l0(x)-完整版学习资料分享3分，共 15分）12x10 分，共 50 分）412114383xx

6、22121 52 2P (x)a12a13a1- 8k 101012323593，f (x)(2(2a2 14a29a210 xk5939r319262125a0a037216xk13r223470,x22x, (x)a x a x21a13分，共 15分）12x10 分，共 50 分）412114383xx22121 52 2P (x)a12a13a1- 8k 101012323593，f (x)(2(2a2 14a29a210 xk5939r319262125a0a037216xk13r223470,x22x, (x)a x a x21a1a21f(xk)f (xk)1 1r12 01r0

7、4,x1x5249201 21119r2231227112f(x)f (x)2.5002.450，则（3分）10( )r14 0905972分13分（3分）1258分14320.006253r323(231x 6)，rxn11162(xnx) 7 分n数值计算基础考试样卷参考答案一、单项选择题（每小题1、D 2、D 3、C 4、B 5、D 二、填空题（每小题 3分，共 15分）1、2、3、6 4、b-a 5、O(h3) 三、解答题（每小题1、解：232300回代得2、解：f(x)x0 x1x23、解法一： 待定系数法设a0a0a0-完整版学习资料分享P (x)(3分)1 3 7(1分)yi1

8、3 7 f (x0) fx0,x1(x x0)（4分）f ( )2f (B13hfdxfx3dx- 2(3分)一阶差商24 fx ,x ,x2(6x)2hBf (x)dx(x)23(x)0 x2二阶差商1 0 1x1,xA012x2h3，右 hx3，右=x 1xP (x)(3分)1 3 7(1分)yi1 3 7 f (x0) fx0,x1(x x0)（4分）f ( )2f (B13hfdxfx3dx- 2(3分)一阶差商24 fx ,x ,x2(6x)2hBf (x)dx(x)23(x)0 x2二阶差商1 0 1x1,xA012x2h3，右 hx3，右=x 1x x0)(1)(x时，该公式精确

9、成立，则12Bhf(=212（1分）x x1)2)(x2分h32h)1h3)4分h32( h)3 h (1h)3（3分）hf(1hh)232 3)332491分h (1h)2h423左31分h3左1分即法二： Lagrange插值法2P2(x) yili(x)i 0(x 2)(x 3) (x 1)(x 3) (x 1)(x 2)(1 2)(1 3) (2 1)(2 3) (3 1)(3 2)x2 x 1法三： Newton 插值法xi123 （3分）N2(x)1 2(x 1) (x 1)(x 2)x2 x 1余项为 R (x)4、解：令AA即h令h左=令h左=h-完整版学习资料分享2次1 n6

10、分2分2分10 分，共 20 分）11y1)1y1h y (x )2 1y(xn)h h O(h3)1)- 1分y(xn)yn(y(xn)ynny(xn)y (xn) y(xn) h O2次1 n6分2分2分10 分，共 20 分）11y1)1y1h y (x )2 1y(xn)h h O(h3)1)- 1分y(xn)yn(y(xn)ynny(xn)y (xn) y(xn) h O(h2)y (xn)2ynxxnh2xn )y (xn)hh2y(xn) yh2n21n 1 f (xn,1y (xn)2 f(xn,，右边的f(xn,y(xn) f(xn y(xn(2) O(h3)f (x,y(x

11、)dxyn)ynhyn)n 11, 1)2分2分h2f (xn12f (xny(xn ) f (xn,y(xn)4分1,O(h3)O(h3)1,1f (xn y(xn )yn )(1) yn )1, 112分1即公式的代数精度为5、解：使用欧拉法计算公式为yn yn hf(x ,yn)yn h(xn yn)(1 h)yn hxn1.5yn 0.5xny1 1.5y0 0.5x01.5 1 0.5 01.500y2 1.5y1 0.5x11.5 1.5000 0.5 0.52.500四、综合题（每小题1、解：y(xn )yn阶次的证明：即证y(xnyn令yny(xn)y(xn)(1)(2), 得

12、y(xn2、-完整版学习资料分享x0)0 0,1lNn(x)Nn(x)- 1,l0(xk(x(x0(0l ( )(1x1)l0(xi)(xi)x0)x1)n 1)(0n 1)!(x(x00,l0(l0(x0)(x0)(x(x0(x)n 1)(x0)x1)x2),.l0(1(x0 x0)(xx1)(x00，故有x x0)(x(x(x0 xn)x1)(x0 x1)x2)x0)0 0,1lNn(x)Nn(x)- 1,l0(xk(x(x0(0l ( )(1x1)l0(xi)(xi)x0)x1)n 1)(0n 1)!(x(x00,l0(l0(x0)(x0)(x(x0(x)n 1)(x0)x1)x2),.l0(1(x0 x0)(xx1)(x00，故有x x0)(x(x(x0 xn)x1)(x0 x1)