第二章-单自由度系统的自由振动课件

1、第二章单自由度系统的自由振动 振动理论与测试技术88学时讲课教师 殷祥超中国矿业大学力学与建筑工程学院力学与工程科学系二一四年八月第二章单自由度系统的自由振动 振动理论与测试技术88学时第二章 单自由度系统的自由振动2.1 单自由度力学模型和基本概念（2）基本系统和力学模型 质量弹簧系统是单自由度系统的基本力学模型。（1）振动系统的自由度数: 能完全确定系统在空间的几何位置所需要的独立座标的数目。 只需一个独立坐标就可完全确定的其几何位置系统，称为单自由度系统。 第二章 单自由度系统的自由振动2.1 单自由度力学模型和基 单自由度系统的力学模型惯性元件，惯性力弹性元件，弹性力阻尼元件，阻尼力静

2、平衡时 单自由度系统的力学模型惯性元件实际振动系统的简化实际振动系统的简化拖拉机驾驶员的胃的垂直振动质量弹簧系统拖拉机驾驶员的胃的垂直振动质量弹簧系统 根据振动形式的不同，独立座标可以选取线位移 或者角位移 来表示。 其它形式的振动系统 根据振动形式的不同，独立座标可以选取线位移 描述系统的广义坐标对应于广义坐标的广义激振力对于不同的广义坐标，采用：等效质量等效阻尼系数等效刚度描述系统的广义坐标对应于广义坐标的广义激振力对于不同的广义坐本章研究：1、振动系统的固有频率2、系统在初始条件下的响应3、有阻尼系统的自由振动本章研究：1、振动系统的固有频率2.2 单自由度无阻尼系统的自由振动令：标准形

3、式通解为：或者：式中 为任意常数，由初始条件确定。简谐振动振幅：A相位：初相位：圆频率：弧度秒（rad/s）质量弹簧系统2.2 单自由度无阻尼系统的自由振动令：标准形式通解为：或无阻尼自由振动（固有振动）的特性：1、简谐振动。2、振动频率仅与系统本身的固有参数有关，称为系统的固有频率。3、振幅A，相位由初始条件确定。初始条件：带入求得：通解为：无阻尼自由振动（固有振动）的特性：1、简谐振动。2、振动频率例2-1提升系统匀速下降试求：绳的上端突然被卡住时重物的振动频率、振动规律及钢丝绳中的最大张力。解：系统的振动频率为： 系统的振动规律为：其中振幅为：例2-1提升系统匀速下降试求：绳的上端突然被

4、卡住时重物的振动 钢丝绳中最大张力等于静平衡时的张力和振动引起的动张力之和：其中动张力 钢丝绳中最大张力等于静平衡时的张力和振动引起的例2-2 复摆已知：质量为m，转动惯量为Io ，求：复摆的运动微分方程及微幅摆动的周期T 。解：由刚体定轴转动微分方程得非线性方程微幅摆动时化为标准形式：线性方程系统的固有频率微幅摆动的周期 复摆的振动例2-2 复摆已知：质量为m，转动惯量为Io ，求：复摆的微幅摆动的周期复摆法测量物体转动惯量的原理：由平行轴定理 复摆的振动微幅摆动的周期复摆法测量物体转动惯量的原理：由平行轴定理 复扭振系统例2-3 扭振系统已知：杆件的直径为d，长度为l，材料的剪切模量为G，

5、圆盘的转动惯量为I 。试求：系统的固有频率。解：由材料力学理论可知为扭转刚度系数由达朗伯原理扭振系统的固有频率为：扭振系统例2-3 扭振系统已知：杆件的直径为d，长度为l例2-4 测振仪，已知 试建立该系统的运动微分方程，并求系统的固有频率。解：单自由度系统取 为广义坐标系统的拉格朗日函数为：微幅振动时：例2-4 测振仪，已知 试建立该系统带入拉格朗日方程得到：化为标准形式：系统的固有频率为：带入拉格朗日方程得到：化为标准形式：系统的固有频率为：质量弹簧系统2.3 固有频率的计算一、静变形法静变形由静平衡条件：系统的固有频率为：弹簧的刚度系数：静平衡位置弹簧原长位置质量弹簧系统2.3 固有频率

6、的计算一、静变形法静变形由静平例2-5 质量为 m 的物体从高处h 自由落下，与一根抗弯刚度为 EI 、长 l 的简支梁作完全非弹性碰撞。如不计梁的质量，求梁的自由振动的频率和最大挠度。解：静变形梁的自由振动频率为：设撞击时刻为零时刻则：自由振动的振幅为：梁的最大挠度则为：例2-5 质量为 m 的物体从高处h 自由落下，二、能量法保守系统系统的动能系统的势能将T、U 带入得到：即：势能是一个相对量。取系统静平衡位置处的势能为零点，即U=0平衡位置 T=Tmax U=0最大位移处 U=Umax T=0机械能守恒二、能量法保守系统系统的动能系统的势能将T、U 带入得到：即例2-6 无定向摆系统已知

7、：试用能量法确定其固有频率。解：以摇杆偏离平衡位置的角位移 为广义坐标设：则：最大动能为：最大势能为：总势能为：1-摇杆 2-摆轮例2-6 无定向摆系统已知：试用能量法确定其固有频率。解微幅摆动时：系统的固有频率为：带入数据得到微幅摆动时：系统的固有频率为：带入数据得到例2-7 一个重量为 W、半径为 r 的均质圆柱体在一个半径为 R 的圆柱面内作无滑动滚动。求:圆柱体在平衡位置附近作微幅振动的微分方程和固有频率。 解：带入得到即：系统的固有频率为：例2-7 一个重量为 W、半径为 r 的均质圆柱体在一个三、瑞利（Rayleigh）法 考虑弹性元件的分布质量对系统固有频率的影响 首先对弹性元件

8、在振动过程中的形态作出假设，一般称为振型函数。 如果假设的振型与实际振型比较接近，将得到相当准确的固有频率值。三、瑞利（Rayleigh）法 考虑弹性元件的分布质量例2-8 振动物体的质量为m，弹簧的原长为l，单位长度质量为 ，刚度系数为k，试求系统的固有频率。解：微段微段 的动能弹簧质量的动能：整个系统的动能为：系统的最大动能为：例2-8 振动物体的质量为m，弹簧的原长为l，单位长度质系统的最大动能为： 系统的最大势能为：得到：近似解与精确解的相对误差为 0.5%；近似解与精确解的相对误差为 0.75%；近似解与精确解的相对误差为 3% 。系统的最大动能为： 系统的最大势能为：得到：近似解与

9、精确解的例2-9已知：均质简支梁求：系统的固有频率。解：假设梁的动挠度曲线振型曲线与静挠度曲线一致。梁中点的静挠度梁的动挠度曲线可假设为：梁中点的动挠度弹性梁的动能为各微段 dx 的动能之和例2-9已知：均质简支梁求：系统的固有频率。解：假设梁的动挠系统的总动能：动能的最大值：弹性梁的势能最大值为：弹性梁的等效刚度系数： 对简支梁计入质量的影响，只要将梁质量的17/35集中在梁的中点，梁就可以简化为质量弹簧系统。 等截面悬臂梁在自由端的等效质量为系统的总动能：动能的最大值：弹性梁的势能最大值为：弹性梁的等 瑞利法计算系统的固有频率时，必须先假定系统弹性元件的振型。 假定的振型通常与真实振型存在

10、着差异，这相当于对系统附加了某些约束，因而增加了系统的刚度，使得求出的固有频率略高出精确值。 假定的振型越接近于真实振型，瑞利法算出的固有频率就越精确。 实践证明，以系统的静变形曲线作为假设振型，所得结果精度较高。 瑞利法计算系统的固有频率时，必须先假定系统弹性元2.4 等效质量与等效弹簧刚度系统的动能和势能当 、 分别取得最大值时，动能T、势能U也分别取得最大值： 其中 Me 及 Ke 称为简化系统的等效质量和等效刚度。2.4 等效质量与等效弹簧刚度系统的动能和势能当 这里所说的位移和力是指广义位移和广义力，即包括角位移和力矩。 等效刚度还可以定义为：使系统在选定的广义坐标方向上产生单位位移

11、时，在此广义坐标方向所需要施加的力，称为系统在此广义坐标方向上的等效刚度。 等效质量也可以定义为：使系统在选定的广义坐标方向上产生单位加速度时，在此广义坐标方向所需要施加的力，称为系统在此广义坐标方向上的等效质量。 这里所说的位移和力是指广义位移和广义力，即包括角位移和例2-10 一端固定的等直圆杆 设杆长为l，截面积为A，截面惯性矩为I，截面极惯性矩为Ip，材料弹性模量为E，剪切弹性模量为G。取坐标如图所示。试确定自由端且处在x方向、y方向和绕x轴转动方向的刚度。解：拉压刚度确定沿 x 方向的刚度确定沿 y 方向的刚度确定绕 x 轴转动方向的刚度弯曲刚度扭转刚度例2-10 一端固定的等直圆杆

12、 设杆长为l串联和并联弹簧系统等效刚度的计算方法1、并联弹簧的等效刚度等效刚度为：2、串联弹簧的等效刚度等效刚度为：即：串联和并联弹簧系统等效刚度的计算方法1、并联弹簧的等效刚度等串联弹簧和并联弹簧串联弹簧和并联弹簧例2-11 刚性杆AB上固结两个集中质量m1 、m2 ，如不计刚性杆的质量，求系统对于坐标 x 的等效质量和等效刚度。解：（1）用能量法求解例2-11 刚性杆AB上固（2）用定义方法求解 设使系统在x方向上产生单位加速度需要施加力P，则在质量m1 、m2 上将有惯性力对支承点取矩:得到 同样，设使系统在x方向上产生单位位移需要施加力P，则在弹簧k1 、k2 上将有弹性恢复力对支承点

13、取矩:得到（2）用定义方法求解 设使系统在x方向上产生单位加速例2-12 电动式激振器测试件固有频率 被测试件简化为弹簧质量系统k1、m1，试验时激振器的顶杆与试件刚性联接，激振器的可动部件质量为m2，支承弹簧的刚度为k2。1-试件2-激振器可动部件例2-12 电动式激振器测试件固有频率 例2-12 电动式激振器测试件固有频率 被测试件简化为弹簧质量系统k1、m1，试验时激振器的顶杆与试件刚性联接，激振器的可动部件质量为m2，支承弹簧的刚度为k2。（1）试计算系统的等效刚度； （2）设测得系统的固有频率为 f，已知激振器的可动系统的固有频率 f2=7Hz，可动部件质量m2 与试件质量m1 之比

14、为0.01，求试件的固有频率 f1。1-试件2-激振器可动部件解：刚性联接（1）求系统的等效刚度：等效刚度为：相当于两个并联弹簧（2）求试件的固有频率 f1 ：系统的固有频率为：例2-12 电动式激振器测试件固有频率 （2）求试件的固有频率 f1 ：系统的固有频率 f 为：激振器可动系统的固有频率 f2 为：试件的固有频率 f1 为：可动部件m2 与试件m1 的质量比为带入 f 求出：测量误差：如果测得 f=50Hz（2）求试件的固有频率 f1 ：系统的固有频率 f 为：激2.5 有阻尼系统的自由振动线性粘滞阻尼R 粘滞阻尼力;v 相对速度;c 粘滞阻尼系数, 简称阻尼系数，单位为Ns /m;

15、令：n 称为衰减系数，单位为1/s 。系统的固有频率再令：有阻尼自由振动方程的标准形式2.5 有阻尼系统的自由振动线性粘滞阻尼R 粘滞阻尼力;设：特征方程：特征根：方程的解：一、大阻尼情况s1 、s2 为两个不等的负实根得到：设：特征方程：特征根：方程的解：一、大阻尼情况s1 、s2 时的振动曲线 时的振动曲线二、小阻尼情形s1 、s2 为两个共轭的复根令：方程的通解：将 ， ， 带入可以改写为：称为有阻尼系统的固有频率。二、小阻尼情形s1 、s2 为两个共轭的复根令：方程的通解：振动衰减曲线称为瞬时振幅称为衰减振动的频率阻尼对自由振动的影响：振动的频率降低；周期增大；振动幅值衰减。定义衰减振

16、动的周期：振动衰减曲线称为瞬时振幅称为衰减振动的频率阻尼对自由振动的影阻尼使衰减振动的周期增大，频率降低。当 时当 时 在小阻尼情况下，计算系统的固有频率时可以不考虑阻尼的影响，近似认为：阻尼使衰减振动的周期增大，频率降低。当 减幅系数：定义： 有阻尼自由振动的振幅按几何级数衰减，衰减的快慢程度取决于衰减系数振动10次后，振幅减少为原来的对数衰减率：减幅系数：定义： 有阻尼自由振动的振幅按几何级数对数衰减率：测定阻尼系数对数衰减率：测定阻尼系数 相对阻尼系数较小时：即：小阻尼时： 相对阻尼系数较小时：即：小阻尼时：通过实验确定阻尼系数的方法通过实验确定阻尼系数的方法三、临界阻尼情形两个相等的重根通解为： 系统的运动也不再具有往复振动的特性，而是随时间迅速衰减并趋于零。称为临界阻尼系数，仅仅取决于系统本身的特性。相对阻尼系数，相对阻尼比三、临界